Control PID por Asignación de Polos
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En esta entrada aprenderemos como podemos diseñar un control PID por asignación de polos utilizando la técnica de asignación de polos, muy similar a la entrada pasada del controlador PI, que por cierto si aún no la has visto, te invito a echarle un vistazo dando click aqui. Con esta explicación de PID claro sabrás un método muy efectivo de sintonizar este famoso controlador.

Tipos de PID

En la literatura existen varias configuraciones de controladores PID que pueden ser:

PID Convencional

C(s)=k_c\left(1+\dfrac{1}{\tau_is}+\tau_ds \right)

donde k_c es la ganancia proporcional, \tau_i es el tiempo integral del controlador y \tau_d es el tiempo derivativo del controlador.

PID ISA

Control PID Serie

C(s)=k_c\dfrac{1+\tau_is}{\tau_is}(\tau_ds+1)

PID Serie

Control PID Paralelo

C(s)=K_p+\dfrac{K_i}{s}+K_ds

donde K_p=k_c, K_i=\dfrac{1}{\tau_i} y K_d=\tau_d.

PID Paralelo

PID Convencional

Reescribiendo la ecuación:

C(s)=\dfrac{k_c\tau_i\tau_ds^2+k_c\tau_is+k_c}{\tau_is}

Sin embargo si observamos la ecuación del control PID convencional, vemos que es una función de transferencia NO propia, quiere decir que el orden del numerador es mayor al orden del denominador, por lo tanto el controlador NO es implementable.

Para solucionar ese problema, se adiciona un filtro pasa-bajos a la ecuación del PID en la acción derivativa al momento de implementar el controlador con el objetivo de volver la ecuación implementable y también para poder filtrar los ruidos en alta frecuencia que son amplificados por el término derivador del controlador. Así el control PID con el filtro pasa bajos viene dado por:

PID con Filtro - Control PID por Asignación de Polos

C(s)=k_c\left(1+\dfrac{1}{\tau_is}+\dfrac{\tau_ds}{\alpha\tau_ds+1} \right)

Reescribiendo la ecuación:

C(s)=\dfrac{(\alpha k_c\tau_i\tau_d+k_c\tau_i\tau_d)s^2+(k_c\tau_i+\alpha k_c\tau_d)s+k_c}{\alpha\tau_d\tau_is^2+\tau_is}

donde el parámetro \alpha\in(0,1) es un parámetro de sintonia relacionado a cuestiones de atenuación de ruido y robustez del controlador.

Además de la ecuación convencional del PID con filtro, tenemos las otras configuraciones incluyendo también el filtro:

Control PID Serie

C(s)=k_c\dfrac{1+\tau_is}{\tau_is}\dfrac{\tau_ds+1}{\alpha\tau_ds+1}

Control PID Paralelo

C(s)=K_p+\dfrac{K_i}{s}+\dfrac{K_ds}{\alpha K_ds+1}

Control PID por Asignación de Polos

Para este control vamos a suponer que tenemos el modelo matemático (función de transferencia) que representa nuestro proceso real y que esta FT es de segundo orden:

G(s)=\dfrac{K\omega_n^2}{s^2+2\zeta\omega_ns+\omega_n^2}

donde K es la ganancia del sistema, \omega_n es la frecuencia natural del sistema, \zeta es el factor de amortigumiento.

Vamos a utilizar la ecuación del controlador PID convencional (Nota: pueden usar cualquier configuración del controlador, cada configuración dará caracteristicas diferentes en la dinámica del sistema).

C(s)=\dfrac{k_c\tau_i\tau_ds^2+k_c\tau_is+k_c}{\tau_is}

Normalizando la ecuación del controlador:

C(s)=\dfrac{k_c\tau_d s^2+k_cs+\dfrac{k_c}{\tau_i}}{s}

y de la misma forma como lo hicimos en el control PI, asignamos ambas funciones de transferencia a variables que representan POLINOMIOS, de la siguiente forma:

G(s)=\dfrac{K\omega_n^2}{s^2+2\zeta\omega_ns+\omega_n^2}=\dfrac{k}{s^2+as+b}=\dfrac{A}{B}

C(s)=\dfrac{k_c\tau_d s^2+k_cs+\dfrac{k_c}{\tau_i}}{s}=\dfrac{d_2s^2+d_1s+d_0}{s}=\dfrac{D}{E}

donde sabemos que la función de transferencia de Lazo cerrado viene dado por:

H(s)=\dfrac{DA}{EB+DA}

Ahora solo nos resta reemplazar los valores de los polinomios:

H(s)=\dfrac{k(d_2s^2+d_1s+d_0)}{s(s^2+as+b)+k(d_2s^2+d_1s+d_0)}

H(s)=\dfrac{k(d_2s^2+d_1s+d_0)}{s^3+(a+kd_2)s^2+(b+kd_1)s+kd_0}

Llegamos a una función de transferencia de tercer orden. Ahora solo nos falta asignar los polos a nuestro controlador para que la función de transferencia H(s) se comporte como nosotros queremos. Para eso vamos a usar los mismos criterios de diseño vistos para el control PI, donde definiremos una ecuación característica dominante de Segundo Orden, (De la misma forma vista en el PI)

P_d(s)=s^2+h_1s+h_2

P_d(s) es el polinomio o ecuación característica deseada, que contiene los dos polos dominantes que van a gobernar la dinámica de mi sistema. Notemos que como en H(s) tenemos una función de transferencia de TERCER orden, deberemos completar el polinomio deseado con un polo Rápido (p_1) (Bien alejado del eje imaginario) el cual será un polos insignificante que no afectaran mucho el comportamiento dado por los dos polos dominantes.

P_d(s)=(s^2+h_1s+h_2)(s+p_1)

Hacemos el producto de los polos y así llegamos a una ecuación caracteristica deseada:

P_d(s)=s^3+\alpha_1s^2+\alpha_2s+\alpha_3

Entonces lo que haremos será tomar las dos ecuaciones características (denominador) de H(s) y de P_d(s) e igualarlas, y con esto podremos determinar cuanto será nuestra ganancia k_c, nuestro tiempo integral \tau_i, nuestro tiempo derivativo \tau_d, que son los parametros del Control PID por Asignación de Polos.

s^3+(a+kd_2)s^2+(b+kd_1)s+kd_0=s^3+\alpha_1s^2+\alpha_2s+\alpha_3

igualando coeficientes:

(1) a+kd_2=\alpha_1

(2) b+kd_1=\alpha_2

(3) kd_0=\alpha_3

Reemplazando valores del controlador:

(4) a+k\tau_dk_c=\alpha_1

(5) b+kk_c=\alpha_2

(6) k\dfrac{k_c}{\tau_i}=\alpha_3

Resolviendo

(7) k_c=\dfrac{\alpha_2-b}{k}

(8) \tau_i=\dfrac{kk_c}{\alpha_3}

(9) \tau_d=\dfrac{\alpha_1-a}{kk_c}

Ejemplo Control PID Claro y Sencillo por Asignación de Polos

Utilizando el proceso de los dos tanques en cascada visto en una entrada del blog, (click aqui para ver el modelado de los tanques en cascada), donde la Función de transferencia del nivel del tanque 2 es:

Tanques de Nivel en Cascada

G(s)=\dfrac{0.0006}{s^2 + 0.03271 s + 0.0002297}=\dfrac{A}{B}

Como condiciones de Diseño vamos a establecer que queremos un pico máximo del 10% y un tiempo de estabilización 75% mas rápido que la dinámica en lazo abierto.

Si observamos la dinamica de la función de transferencia del Tanque, podemos saber cual es la constante de tiempo:

\tau=100s

Por lo tanto el tiempo de estabilización son cuatro veces la costante de tiempo, que serian 400s. Como deseamos que sea 75% mas rapido, vamos a diseñar nuestro controlador para que llegue al estacionario en 300 segundos.

Tss=300s

Mp=10\%

El factor de Amortiguamiento viene dado por:

M_p=100e^{\dfrac{-\pi \zeta}{\sqrt{1-\zeta^2}}}

\zeta=\sqrt{\dfrac{log\left(\dfrac{M_p}{100}\right)^2}{\pi^2+log\left(\dfrac{M_p}{100}\right)^2}}

\zeta=0.5912

Estableciendo la tolerancia permitida en el estacionario como 5\%, podremos determinar la frecuencia natural del sistema:

\omega_n=\dfrac{3}{\zeta Tss}

\omega_n=0.0173

Con estos datos podemos montar nuestra función de transferencia de lazo cerrado deseada, que tiene los polos ubicados justo donde queremos para que el sistema tenga el comportamiento deseado.

G_d(s)=\dfrac{K\omega_n^2}{s^2+2\zeta\omega_ns+\omega_n^2}

G_d(s)=\dfrac{0.0003}{s^2+0.0204s+0.0003}

Ecuación caracteristica:

P_d^*=s^2+0.0204s+0.0003

con los siguientes polos complejos conjugados:

p_{1,2}=-0.0102 \pm 0.0139i

Vamos a escoger un polo no dominante 10 veces más alejado de los polos complejos conjugados

p_3=10Real(-0.0102 \pm 0.0139i)

p_3=-0.102

Y dejamos el cuarto polo, para encontrarlo solucionando el sistema de ecuaciones ([/latex]p_4[/latex]), con esto tenemos que la ecuación característica deseada de cuarto orden viene dado por:

P_d=(s^2+0.0204s+0.0003)(s+0.102)

P_d=(s^3+0.1225s^2+0.0024s+3.0438\times10^{-5})

Igualando Coeficientes:

s^3+(a+kd_2)s^2+(b+kd_1)s+kd_0=(s^3+0.1225s^2+0.0024s+3.0438\times10^{-5})

tenemos que los parámetros del control PID por asignación de polos resolviendo el sistema de ecuaciones con MATLAB:

k_c=\dfrac{\alpha_2-b}{k}=\dfrac{0.0024-2.297\times10^{-4}}{6\times10^{-4}}=3.5875

\tau_i=\dfrac{kk_c}{\alpha_3}=\dfrac{(3.5875)(6\times10^{-4})}{3.0438\times10^{-5}}=70.7187

\tau_d=\dfrac{\alpha_1-a}{kk_c}=\dfrac{0.1225-0.0327}{(3.5875)(6\times10^{-4})}=41.7117

 

Para bajar los archivos de Simulink puedes hacerlo dando CLICK AQUI

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Control PID por Asignación de Polos
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Control PID por Asignación de Polos
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El control PID es uno de los controladores industriales más populares que podemos encontrar hoy en día en toda industria. Existen muchos métodos para encontrar cuales son los parámetros más adecuados. En esta entrada se te muestra paso a paso como encontrar los parámetros del control PID usando la técnica de la Asignación de Polos
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