Control PI por Asignación de Polos

Control PI por Asignación de Polos
CALIFICA EL POST

En esta entrada aprenderemos a diseñar un controlador PI utilizando la técnica de asignación de polos.

Para este control vamos a suponer que tenemos el modelo matemático (función de transferencia) que representa nuestro proceso real y que esta FT es de primer orden:

G(s)=\dfrac{k_p}{\tau s+1}

donde k_p es la ganancia estática del proceso y \tau es la constante de tiempo del proceso. Un tiempo igual a 4\tau nos daría el tiempo que el proceso demoraría en llegar a la ganancia estática o estado estacionario.

Como sabemos que una función de transferencia son una división de polinomios vamos a expresar el numerador como el polinomio A y el denominador como un polinomio B asi:

G(s)=\dfrac{k_p}{\tau s+1}=\dfrac{A}{B}

tenemos que la función de transferencia del control PI viene dado por la siguiente expresión:

C(s)=k_c\dfrac{\tau_i s+1}{\tau_i s}

donde k_c es la ganancia proporcional y \tau_i es el tiempo integral del controlador. Y vamos a hacer lo mismo que hicimos para la FT del proceso, expresemos la FT del controlador en dos polinomios, D para el numerador y E para el denominador, asi nuestro controlador esta expresado como:

C(s)=k_c\dfrac{\tau_i s+1}{\tau_i s}=\dfrac{D}{E}

Ahora analizando el siguiente lazo control de control, podremos obtener la función de transferencia del lazo cerrado:

H(s)=\dfrac{C(s)G(s)}{1+C(s)G(s)}

Si reemplazamos en la ecuación de lazo cerrado lo que equivale las funciones de transferencia del controlador y de la planta, tendríamos que:

H(s)=\dfrac{\dfrac{D}{E}\dfrac{A}{B}}{1+\dfrac{D}{E}\dfrac{A}{B}}

Resolviendo tenemos que:

H(s)=\dfrac{\dfrac{DA}{EB}}{\dfrac{EB+DA}{EB}}

H(s)=\dfrac{DA}{EB+DA}

Ahora si reemplazamos lo que vale cada polinomio, tendremos nuestra expresión del sistema en lazo cerrado:

H(s)=\dfrac{k_ck_p(\tau_i s+1)}{\tau_i s(\tau s+1) + k_ck_p(\tau_i s+1)}

H(s)=\dfrac{k_ck_p(\tau_i s+1)}{\tau_i s(\tau s+1) + k_ck_p(\tau_i s+1)}

H(s)=\dfrac{k_ck_p(\tau_i s+1)}{\tau_i s\tau s^2 +(\tau_i + k_ck_p\tau_i) s+ k_ck_p}

H(s)=\dfrac{\dfrac{k_ck_p}{\tau_i \tau}(\tau_i s +1)}{ s^2 +\dfrac{1}{\tau}(1 + k_ck_p) s+ \dfrac{k_ck_p}{\tau_i \tau}}

ahora si observamos el denominador de la función de transferencia en lazo cerrado, este denominador es conocido en el mundo del control como la ecuación característica del sistema, los polos que se encuentran en esta función de transferencia son los que determinan la dinámica del sistema.

Como todavía no hemos definido cuales serán los parámetros del controlador PI, estos nos servirán para ubicar los polos en el lugar que nosotros queremos, es por eso que esta técnica es conocida como asignación de polos.

Como ingenieros de control, vamos a querer definir como será el comportamiento del sistema en lazo cerrado, para eso tenemos varias opciones a escoger:

Control PI respuesta segundo orden

Tiempo de Establecimiento:

Es el tiempo que queremos definir para que el proceso llegue al estado estacionario. Podemos definirlo con respecto a una banda de tolerancia que puede ser del 2% o del 5%:

Para un factor de amortiguamiento 0<\zeta<1

Establecimiento en la banda del 5%:

t_s=\dfrac{3}{\zeta \omega_n}

Establecimiento en la banda del 2%:

t_s=\dfrac{4}{\zeta \omega_n}

Máximo sobreimpulso:

Podemos defirnir cuanto es el máximo sobreimpulso que deseamos en el sistema, recordando que esto solo es para sistemas subamortiguados o sea con 0<\zeta<1.

M_p=e^{\dfrac{-\pi \zeta}{\sqrt{1-\zeta^2}}}

Con base a los criterios de diseño visto, podremos hacer que nuestra función de transferencia de lazo cerrado H(s) tenga el mismo comportamiento que una función de transferencia de segundo orden que nosotros definiremoscon el objetivo de alcanzar los criterios de diseño.

En otras palabras, tenemos que una función de transferencia de segundo orden convencional viene dada por la siguiente expresión:

G_d(s)=\dfrac{K\omega_n^2}{s^2+2\zeta\omega_ns+\omega_n^2}

Entonces lo que haremos será tomar las dos ecuaciones características (denominador) de H(s) y de G_d(s) e igualarlas, y con esto podremos determinar cuanto será nuestra ganancia k_c y nuestro tiempo integral \tau_i.

s^2 +\dfrac{1}{\tau}(1 + k_ck_p) s+ \dfrac{k_ck_p}{\tau_i \tau}=s^2+2\zeta\omega_ns+\omega_n^2=s^2+\alpha_1s+\alpha_2

s^2 +\dfrac{1}{\tau}(1 + k_ck_p) s+ \dfrac{k_ck_p}{\tau_i \tau}=s^2+\alpha_1s+\alpha_2

ahora igualando los coeficientes de cada lado de la expresión vamos a obtener el siguiente sistema de ecuaciones, podremos simplificar los coeficientes del sistema de segundo orden para no confundirnos en el calculo:

(1) \dfrac{1}{\tau}(1 + k_ck_p) = \alpha_1

(2) \dfrac{k_ck_p}{\tau_i \tau}=\alpha_2

Resolviendo tendremos que:

(3) k_c=\dfrac{\alpha_1\tau-1}{k_p}

(4) \tau_i=\dfrac{k_ck_p}{\alpha_2 \tau}

Ejemplo

Usaremos la función de transferencia del tanque de la entrada pasada para hacer este ejemplo, por lo tanto después de haber hecho la linealización llegamos a la siguiente expresión:

G(s)=\dfrac{h(s)}{a_1(s)}=\dfrac{0.1}{s+0.0375}=\dfrac{A}{B}

Control PI:

C(s)=k_c\dfrac{\tau_i s+1}{\tau_i s}=\dfrac{D}{E}

Como condiciones de Diseño vamos a establecer que queremos un pico máximo del 10\% y un tiempo de estabilización 75\% mas rápido que la dinámica en lazo cerrado.

Si observamos la función de transferencia del Tanque, podemos saber cual es la constante de tiempo:

\tau=\dfrac{1}{0.0375}=26.66s

Por lo tanto el tiempo de estabilización son cuatro veces la costante de tiempo, que serian 106.64s. Como deseamos que sea 75\% mas rapido, vamos a diseñar nuestro controlador para que llegue al estacionario en 80 segundos.

Tss=80s

Mp=10\%

Sabemos que la función de transferencia en lazo cerrado viene dado por:

H(s)=\dfrac{DA}{EB+DA}

Donde la ecuación característica es:

P_s={EB+DA}

Reemplazando tenemos:

P_s={(\tau_i s)(s+0.0375)+0.1k_c(\tau_i s+1)}

P_s= s^2 +(0.0375 + 0.1k_c) s+ 0.0038\dfrac{k_c}{\tau_i}

El factor de Amortiguamiento viene dado por:

M_p=100e^{\dfrac{-\pi \zeta}{\sqrt{1-\zeta^2}}}

\zeta=\sqrt{\dfrac{\left(\dfrac{M_p}{100}\right)^2}{\pi^2+\left(\dfrac{M_p}{100}\right)^2}}

\zeta=0.5912

Estableciendo la tolerancia permitida en el estacionario como [/latex]5\%[/latex], podremos determinar la frecuencia natural del sistema:

\omega_n=\dfrac{3}{\zeta Tss}

\omega_n=0.0634

Con estos datos podemos montar nuestra función de transferencia de lazo cerrado deseada, que tiene los polos ubicados justo donde queremos para que el sistema tenga el comportamiento deseado.

G_d(s)=\dfrac{K\omega_n^2}{s^2+2\zeta\omega_ns+\omega_n^2}

G_d(s)=\dfrac{0.0040}{s^2+0.0750s+0.0040}

Ecuación caracteristica:

P_d=s^2+0.0750s+0.0040=s^2+\alpha_1s+\alpha_2

Ahora igualamos las dos ecuaciones características. La deseada y la de nuestro sistema:

s^2+0.0750s+0.0040=s^2 +(0.0375 + 0.1k_c) s+ 0.0038\dfrac{k_c}{\tau_i}

Y ya habíamos definido como encontrar los parámetros del PI resolviendo el sistema de ecuaciones lineales:

(3) k_c=\dfrac{\alpha_1\tau-1}{k_p}

k_c=\dfrac{0.0750*26.66-1}{2.66}=0.3750

(4) \tau_i=\dfrac{k_ck_p}{\alpha_2 \tau}

\tau_i=\dfrac{0.3750*2.66}{0.0040 *26.66}=9.3190s

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