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Control Realimentado

Índices de Desempeño

Hola controleros y controleras, el día de hoy vamos a estudiar los índices de desempeño usados en los sistemas de control, que nos permitirá determinar si los parámetros del controlador fueron obtenidos de forma optima.

De forma general estudiaremos los índices de desempeño de la integral del error.

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Sintonía de Controladores

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Antes de comenzar a buscar una correcta sintonía de nuestro controlador el cual será implementado en un proceso con una dinámica conocida, se debe definir inicialmente cual es el desempeño deseado para el lazo cerrado de control. Ejemplos típicos de desempeño son:

  • La temperatura de un horno se debe mantener próximo a 300C y nunca puede sobrepasar los 350C.
  • El sistema de freno de un carro debe conseguir detener el vehículo a 200km/h en 50 metros sin derrapar.
  • El sistema debe ser capaz de perseguir un setpoint rápidamente sin presentar sobreimpulso.
  • Este lazo cerrado de control debe ser muy lenta para no perturbar otro sistema de control más crítico dentro de la planta.

Sin duda alguna, el principal criterio que cualquier sistema de control debe garantizar es la estabilidad del sistema, por lo tanto, todos los polos de la función de transferencia de lazo cerrado deben ubicarse en el semiplano izquierdo. Una forma de comprobar esta estabilidad es aplicando el Criterio de Estabilidad de Routh Hurwitz.

Si tenemos un sistema de control convencional de lazo cerrado como el mostrado en la siguiente figura:

Sabemos que la función de transferencia en lazo cerrado viene dada por:

T(s) = \dfrac{G(s)C(s)}{1 + G(s)C(s)}

Por lo tanto, si tenemos un proceso cualquiera G(s) y le aplicamos por ejemplo el control más popular que existe (control PID), entonces la estabilidad del lazo cerrado de control también depende de los parámetros de sintonía del controlador C(s). La función de transferencia de un controlador PID paralelo clásico viene representado por:

C(s)=k_c\left(1+\dfrac{1}{\tau_i s} +\tau_ds\right)

En la siguiente figura se muestra un posible ejemplo de una respuesta dinámica deseada para una variable controlada.

Respuesta dinámica de un lazo de control
Respuesta dinámica de un lazo de control

Algunos criterios de desempeño que pueden ser usados para sintonizar el controlador PID pueden ser:

  • Menor sobreimpulso (o sea igual A/B)
  • Una razón de declino (C/A) igual a un determinado valor
  • Menor tiempo de subida (t_r) posible.
  • Menor tiempo de establecimiento (t_{ss})
  • Mínima energía o actuación de la variable manipulada
  • Utilización de un índice de desempeño para evaluar la calidad del controlador.

Índices de Desempeño

Un índice de desempeño es una medida cuantitativa del desempeño de un sistema y se elige de manera que se dé énfasis a las especificaciones importantes del sistema.

En otras palabras, este índice es un número que nos dice que tan «bueno» es el desempeño del sistema de control.

Un sistema de control se considera óptimo si los parámetros se escogen de tal forma que minimicen o maximicen (dependiendo de la situación) estos índices de desempeño. comúnmente se escoge los parámetros que minimicen los índices de desempeño.

Diferentes criterios de error han sido definidos en la literatura correspondiente a índices de desempeño basados en la integral del error. Aquí discutiremos los siguientes índices de desempeño del error y su aproximación trapezoidal discreta (Error performance Indexes).

índice de desempeñoDescripciónExpresiónAproximación
Trapezoidal
ISEIntegral square-error criterion
(criterio de la integral del error al cuadrado)		\int_{0}^{T}e^2(t)dt \sum_{k=0}^{M}\dfrac{e^2(k)+e^2(k-1)}{2}T_s
ITSEIntegral of time multiplied squared error criterion
(Integral del error cuadrado multiplicado por el tiempo)		\int_{0}^{T}te^2(t)dt\sum_{k=0}^{M}k\dfrac{e^2(k)+e^2(k-1)}{2}T_s
IAEIntegral Absolute Error Criterion
(Criterio de la integral del valor absoluto del error)		\int_{0}^{T}|e(t)|dt\sum_{k=0}^{M}\left| \dfrac{e(k)+e(k-1)}{2}T_s\right|
ITAEIntegral of time multiplied Absolute Error Criterion
(Criterio de la integral del valor absoluto del error multiplicado por el tiempo)		\int_{0}^{T}t|e(t)|dt\sum_{k=0}^{M}k\left| \dfrac{e(k)+e(k-1)}{2}T_s\right|

El límite superior T o M es un tiempo finito elegido arbitrariamente de manera que la integral se aproxima a un valor de estado estable. Suele ser conveniente elegir T o M como tiempo de estabilización t_{ss}.

Integral square-error criterion (ISE)

Un sistema se considera optimo si consigue minimizar este índice de desempeño. En particular el ISE se usa con frecuencia cuando se implementa entradas determinísticas (escalón) y entradas estadísticas dado a su facilidad de implementación tanto digital como analíticamente.

Este criterio discriminará entre sistemas excesivamente sobreamortiguados y excesivamente subamortiguados. El valor mínimo de la integral se produce para un valor de compromiso de la amortiguación. Por lo tanto, este criterio da un mayor peso cuando hay un error grande y peso suave cuando el error es pequeño.

Un sistema que sea diseñado utilizando este criterio tiende a mostrar una rápida disminución del error en los instantes iniciales. Por lo tanto, la respuesta es rápida y oscilatoria, lo que puede conllevar a un sistema con una estabilidad pobre. Sin embargo, la minimización del ISE tiene una gran significancia a nivel práctico, porque minimizar el índice ISE implica en minimizar el consumo de energía para algunos tipos de sistemas como por ejemplo sistemas aeroespaciales.

Integral of time multiplied square-error criterion (ITSE)

Tiene la característica de que ante una entrada del tipo escalón unitario la respuesta posee un error inicial grande dado a que posee un peso pequeño, sin embargo a medida que el tiempo va avanzando, el error se va penalizando con más fuerza.

Integral Absolute Error Criterion (IAE)

Es uno de los índices de la integral del error más fáciles de ser implementados. Si se emplea este criterio, sistemas que son altamente subamortiguados o altamente sobreamortiguados no conseguirán el óptimo. Un sistema óptimo basado en este criterio es un sistema que posea un amortiguamiento razonable y una respuesta transitoria satisfactoria.

Sin embargo, este índice de desempeño no es fácil de ser evaluado con medios analíticos.

Integral of time multiplied Absolute Error Criterion (ITAE)

Al igual que el criterio anterior, un gran error inicial ante una entrada del tipo escalón unitario la respuesta es poco penalizada, pero a medida que el tiempo avanza, la penalización es mayor.

Un sistema diseñado con este criterio tiene la característica de tener un pequeño sobreimpulso en la respuesta transitoria y las oscilaciones del sistema son adecuadamente amortiguadas.

Este criterio posee una buena selectividad y es una versión mejorada del criterio IAE. Sin embargo, es un criterio difícil de evaluar analíticamente a pesar de que es de fácil medición experimentalmente.

El índice de rendimiento ITAE proporciona la mejor selectividad de los índices de rendimiento; es decir, el valor mínimo de la integral es fácilmente discernible a medida que se varían los parámetros del sistema. La forma general de la integral de rendimiento es:

J=\int_{0}^{T}f\left( e(t),r(t),y(t),t\right)dt

donde f es una función del error, la entrada, la salida y el tiempo. Podemos obtener numerosos índices basados en varias combinaciones de las variables del sistema y el tiempo.

Tenga en cuenta que la minimización de IAE o ISE es a menudo de importancia práctica. Por ejemplo, la minimización de un índice de desempeño puede estar directamente relacionada con la minimización del consumo de combustible para aeronaves y vehículos espaciales.

Los índices de rendimiento son útiles para el análisis y diseño de sistemas de control.

Criterio de desempeño ejemplo

En la Figura se muestra un sistema de control de lazo cerrado, donde la frecuencia natural es el valor normalizado \omega=1. La función de transferencia de lazo cerrado es entonces:

T(s)=\dfrac{1}{s^2+2\zeta+1}
índices de desempeño
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En la siguiente figura se muestran cuatro índices de rendimiento, IAE, ISE, ITAE e ITSE, calculados para varios valores de la relación de amortiguamiento \zeta y para una entrada del tipo escalon.

Estas curvas muestran la selectividad del índice ITAE en comparación con el índice ISE. El valor del coeficiente de amortiguamiento \zeta elegido sobre la base de ITAE es 0,707. Para un sistema de segundo orden, esto da como resultado una respuesta rápida a un paso con un sobrepaso del 4,6%.

Criterios de indices de desempeño
Criterios de indices de desempeño
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Bibliografía

  •  Modern Control Engineering. Katsuhiko Ogata. Editorial Prentice Hall, 2nd edition.
  • Controles Típicos de Equipamentos e Processos Industriais. Eng. Mario Cesar M. Massa de Campos , Eng. Herbert Campos Gonçalves Teixeira.
  • Richard C. Dorf and Robert H. Bishop. 2011. Modern Control Systems (12th. ed.). Prentice-Hall, Inc., USA.

Eso es todo por la entrada del dia de hoy, espero les haya gustado y hayan aprendido algo nuevo. Si te ha servido el contenido de esta entrada, de los videos y los códigos de implementación y deseas apoyar mi trabajo invitandome a un café super barato, puedes hacerlo en el siguiente link:

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