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Control Automático Educación

Lugar Geométrico de las Raíces

Hola controleros y controleras el día de hoy vamos a comenzar a comprender como formular e interpretar el lugar geométrico de las raíces (LGR) en los sistemas de control

Esta entrada hace parte del curso gratuito de CONTROL REALIMENTADO o CONTROL CLÁSICO.

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Lugar Geométrico de las Raíces

Un método sencillo para encontrar las raíces de la ecuación característica fue desarrollado por Walter Richard Evans el cual ha sido extensamente utilizado en la teoría de control.

Este método es llamado como el lugar de las raíces (root locus method) donde el movimiento de las raíces de la ecuación característica se grafican para todos sus valores en base a un parámetro variable, (generalmente es la ganancia del sistema pero puede ser otra variable de la función de transferencia de lazo abierto).

Por ejemplo, suponga que se tiene un proceso que es un horno de temperatura representado por una función de transferencia de primer orden y que a ese proceso se le coloca un controlador PI en lazo cerrado.

Inicialmente el sistema en lazo cerrado tendrá dos polos y un cero ubicados en una determinada posición. Pero si comenzamos a aumentar la ganancia del controlador PI, los polos comenzarán a moverse haciendo que la respuesta del sistema de control sea mucho más rápida. Encuanto el cero se mantendrá estatico.

Lugar geométrico de las raíces

En la figura anterior se puede ver el recorrido del polo superior en una traza roja, y el polo inferior en una traza verde en la medida que la ganancia del controlador se fue aumentando. Ese trazado nos muestra el lugar geométrico de las raíces, es decir el camino por donde los polos se desplazan conforme modificamos algún parámetro del sistema.

Para comenzar a entender este método, debemos partir inicialmente, que tendremos un polinomio característico de variable compleja (s para tiempo continuo, z para tiempo discreto) y CON COEFICIENTES REALES. Dicho polinomio dependerá de un parámetro real (k).

P(c,k)=0

Donde: P es el polinomio, c es la variable compleja y k es el parámetro real que puede variar entre (-\infty,\infty) o en cualquier otro intervalo de interés.

Note la importancia del método del lugar de las raíces el cual puede ser aplicado indiferentemente para sistemas en tiempo continuo con la variable compleja c=s o para sistemas en tiempo discreto con la variable compleja c=z. Lo único que cambia va a ser el análisis. Donde el sistema en tiempo continuo es estable si todos los polos están en el semiplano izquierdo del plano complejo y para tiempo discreto será estable si todos los polos están dentro del circulo unitário.

El polinomio característico DEBE tener siempre coeficientes reales, porque esto va a permitir que el Polinomio tenga simetría con sus raíces, donde dichas raíces podrán ser raíces complejas conjugadas. Esta suposición es valida desde que generalmente dichos polinomios característicos provienen de ecuaciones diferenciales de sistemas físicos reales donde dichos coeficientes van a depender de propiedades físicas como el área de un tanque, la abertura de una válvula, etc.

Desarrollo del método root locus

Dado que el polinomio característico depende del parámetro k, siempre será posible expresar dicho polinomio con la siguiente ecuación característica:

P(c,k)=A(c)+kB(c)=0

donde el grado del polinomio A es mayor o igual al grado del polinomio B, Grado[A(c)]\geq Grado[B(c)] y el polinomio A y B son mónicos (es decir el coeficiente del máximo exponente será 1).

Por ejemplo, si tenemos la siguiente ecuación característica en tiempo continuo: P(s,k)= s^2+s+k podemos expresarla como:

\underset{A(s)}{\underbrace{s^2+s}}+\underset{kB(s)}{\underbrace{k.1}}

si tenemos la siguiente ecuación característica en tiempo discreto: P(z,k)= z^2+(k-1.9)z+0.9-0.6k podemos expresarla como:

\underset{A(z)}{\underbrace{z^2-1.9z+0.9}}+\underset{kB(z)}{\underbrace{k.(z-0.6)}}

Note que en los dos ejemplos anteriores siempre el Grado de A fue mayor igual al Grado de B y que ambos polinomios son mónicos.

Análisis del parámetro k

Para resolver la ecuación en el dominio complejo A(c)+kB(c)=0 procedemos a despejar el parámetro variable:

A(c)+kB(c)=0
\dfrac{1}{A(c)}+\dfrac{1}{kB(c)}=0
\dfrac{B(c)}{A(c)}=-\dfrac{1}{k}

Observe que la ecuación anterior estamos igualando una componente compleja con un número real, observe que el número real depende de k:

si k>0 entonces -\dfrac{1}{k}<0

si k<0 entonces -\dfrac{1}{k}>0

Siempre que igualamos un numero complejo con un número real debemos igualar tanto el módulo cuanto la fase o argumento. recuerde que cuando trabajamos con componentes complejas, indica que tenemos un par de números ordenados con componente real e imaginaria, o en el área del control módulo y fase.

Números complejos

En notación angular, a menudo usada en Electrotecnia se representa al fasor de módulo r y argumento \phi como:

z=r\angle \phi

No obstante, el ángulo \phi no está unívocamente determinado por z, pues pueden existir infinitos números complejos que tienen el mismo valor representado en el plano, que se diferencian por el número de revoluciones, ya sean de sentido antihorario (positivas) u horario (negativas) las cuales se representan por números enteros p\in {\mathbb {Z}}, como implica la fórmula de Euler:

z=re^{\mathrm {i} (\phi +2\pi {}p)}, \quad \forall {p}{\in }\mathbb {Z}

Por esto, generalmente \phi está restringido al intervalo [-\pi, \pi) y a este \phi restringido se le llama argumento principal de z y se denota \varphi=Arg(z). Con este convenio, las coordenadas están unívocamente determinadas por z.

Finalmente, el módulo puede definirse como:

r=|z|=\sqrt{a^2+b^2}

y la fase:

\phi = \text{tan}^{-1}\left( \dfrac{b}{a}\right)

Determinando la ganancia k

Volviendo al LGR, Inicialmente tenemos la condición del módulo:

\left |\dfrac{B(c)}{A(c)}\right |=\left |-\dfrac{1}{k}\right |=\dfrac{1}{k}

Igualando la fase:

\varphi\left( \dfrac{B(c)}{A(c)}\right)=\varphi\left( -\dfrac{1}{k}\right)

Como hemos visto en nuestro curso de diagrama de bode, la fase de un número real vale cero o \pm 180

(diagrama polar con la fase del numero real)

Por lo tanto la condición de la fase va a depender si nuestra ganancia es positiva o negativa:

si k>0 entonces \varphi\left( \dfrac{B(c)}{A(c)}\right)=\pm180\pm 360p

si k<0 entonces \varphi\left( \dfrac{B(c)}{A(c)}\right)=0\pm 360p

De la condición anterior puedo concluir rapidamente que lo único que necesito conocer para poder determinar el ángulo o la fase es saber si k es positivo o negativo.

Transformación del Problema Geométrico

Sabemos que tenemos dos polinomios B(c) y A(c), los cuales serían los ceros y los polos respectivamente de nuestro sistema, en forma polinómica podríamos verlos de forma general como:

B(c) = (c-z_1)(c-z_2)...(c-z_m)
A(c) = (c-p_1)(c-p_2)...(c-p_n)

recordando que c = s o c=z para tiempo continuo o discreto respectivamente, m es el orden del polinomio B y n el orden del polinomio A.

Recordemos que la fase de un cociente es:

\varphi\left( \dfrac{X}{Y}\right) =\varphi\left( X\right)-\varphi\left(Y\right)

Y la fase de un producto es:

\varphi(X.Y) = \varphi(X) + \varphi(Y)

Aplicando las dos propiedades anteriores a la condición de fase, tenemos que:

\varphi\left( B(c)\right)-\varphi\left(A(c)\right)= \varphi(c-z_1)+\varphi(c-z_2)+...+\varphi(c-z_m)-(c-p_1)-\varphi(c-p_2)-...-\varphi(c-p_n)=\pm180\pm360p

Por lo tanto, hemos transformado un problema de la teoría de control aparentemente complejo a un problema de fases muy simple de resolver. Donde representado graficamente podemos ubicar los polos en el plano complejo S o Z, y aplicar la condición de ángulo o condición de fase del LGR para saber si un determinado punto (llamado punto de prueba) está en el camino que van a recorrer los polos al momento de aumentar la ganancia del lazo cerrado de control.

Ejemplo conceptual del LGR en un punto de prueba

Por ejemplo, supongamos que estamos en tiempo continuo (domino transformado de laplace S) y contamos con un cero y un polo así:

\varphi\left( B(s)\right)-\varphi\left(A(s)\right)= \varphi(s-z_1)-\varphi(s-p_1)
Ubicacion Polo y Cero en plano complejo

Vamos a averiguar si el siguiente punto de prueba se encuentra en el lugar geométrico de las raíces, o sea si es punto está en el camino por donde pasaría el polo al momento de aumentar la ganancia del controlador en lazo cerrado. Para eso trazamos una recta desde el polo y el cero al punto.

Trazamos un punto p en el plano complejo y una recta desde el polo y el cero al punto p.

Debemos calcular todos los angulos para verificar si efectivamente cumple con la condición de fase.

Verifica la condicion de fase del LGR para determinar si el punto pertentece al LGR

Dado que hemos formado un triangulo, sabemos que la suma de todos los ángulos debe ser igual a 180, siendo \beta el ángulo complementário de \varphi(z_1)

(1)~\beta+\varphi(p_1)+\varphi(B/A)=180 \rightarrow \varphi(B/A)=180-\beta-\varphi(p_1)

Y que la suma de los ángulos complementarios de \beta y \varphi(z_1) es 180.

(2)~\beta + \varphi(z_1)=180 \rightarrow \beta = 180-\varphi(z_1)

(2) en (1)

\varphi(B/A)=180-180+\varphi(z_1)-\varphi(p_1)
\varphi(B/A)=\varphi(z_1)-\varphi(p_1)=\varphi(z_1/p_1)

Con seguridad el ángulo anterior, sin necesidad de realizar ninguna cuenta se sabe que no va a dar 180, a lo mucho daría al rededor de 80. Por lo tanto como no cumple la condición del ángulo, el punto p NO es una solución de la ecuación.

Con el análisis anterior, entonces tratemos de tomar un punto que no tenga parte imaginária para descubrir si dicho punto hace parte de la solución, dado que los puntos con parte imaginária nunca van a garantizar mi condición de fase.

El punto p es solución para la condición de tener una ganancia negativa, k<0

El ejemplo anterior muestra que sin necesidad de realizar cálculos muy elaborados consigo saber cuáles son los caminos o el lugar de las raíces. Es evidente que estar escogiendo puntos al azar es absurdo, el ejercicio solo busca permitir la comprensión del método. Para efectos prácticos, Evans desarrolló una serie de reglas que permiten sin mucho esfuerzo poder encontrar cuales son los caminos o lugar geométrico de las raíces de cualquier sistema y es justamente eso lo que vamos a aprender a calcular.

continuara …….



Eso es todo por la entrada del dia de hoy, espero les haya gustado y hayan aprendido algo nuevo. Si te ha servido el contenido de esta entrada, de los videos y los códigos de implementación y deseas apoyar mi trabajo invitandome a un café super barato, puedes hacerlo en el siguiente link:

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