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Control Automático Educación

Lugar Geométrico de las Raíces

Hola controleros y controleras el día de hoy vamos a comenzar a comprender como formular e interpretar el lugar geométrico de las raíces (LGR) en los sistemas de control

Esta entrada hace parte del curso gratuito de CONTROL REALIMENTADO o CONTROL CLÁSICO.

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¿Qué es LGR – Lugar Geométrico de las Raíces en Control?

En esta entrada veremos como se construye el lugar geométrico de las raíces en el plano s y en el plano z viendo ejemplos paso paso y ejercicios resueltos del LGR.

El Lugar Geométrico de las Raíces (LGR), también conocido como método de root locus, es una técnica visual utilizada en control automático para analizar cómo se desplazan las raíces de la ecuación característica de un sistema de control a lo largo del plano complejo en función de la variación de un parámetro específico, típicamente la ganancia del sistema. Esta herramienta fue desarrollada por Walter Richard Evans, y es fundamental en el campo de la teoría de control por su capacidad para ayudar a los ingenieros a diseñar controladores que aseguren la estabilidad y el desempeño óptimo del sistema.

Por ejemplo, suponga que se tiene un proceso que es un horno de temperatura representado por una función de transferencia de primer orden y que a ese proceso se le coloca un controlador PI en lazo cerrado.

Inicialmente el sistema en lazo cerrado tendrá dos polos y un cero ubicados en una determinada posición. Pero si comenzamos a aumentar la ganancia del controlador PI, los polos comenzarán a moverse haciendo que la respuesta del sistema de control sea mucho más rápida. Encuanto el cero se mantendrá estatico.

Lugar geométrico de las raíces

En la figura anterior se puede ver el recorrido del polo superior en una traza roja, y el polo inferior en una traza verde en la medida que la ganancia del controlador se fue aumentando. Ese trazado nos muestra el lugar geométrico de las raíces, es decir el camino por donde los polos se desplazan conforme modificamos algún parámetro del sistema.

Para comenzar a entender el método del lugar geométrico de las raíces, debemos partir inicialmente, que tendremos un polinomio característico de variable compleja (s para tiempo continuo, z para tiempo discreto) y CON COEFICIENTES REALES. Dicho polinomio dependerá de un parámetro real (k).

P(c,k)=0

Donde: P es el polinomio, c es la variable compleja y k es el parámetro real que puede variar entre (-\infty,\infty) o en cualquier otro intervalo de interés.

Note la importancia del método del lugar de las raíces el cual puede ser aplicado indiferentemente para sistemas en tiempo continuo con la variable compleja c=s o para sistemas en tiempo discreto con la variable compleja c=z. Lo único que cambia va a ser el análisis. Donde el sistema en tiempo continuo es estable si todos los polos están en el semiplano izquierdo del plano complejo y para tiempo discreto será estable si todos los polos están dentro del circulo unitário.

El polinomio característico DEBE tener siempre coeficientes reales, porque esto va a permitir que el Polinomio tenga simetría con sus raíces, donde dichas raíces podrán ser raíces complejas conjugadas. Esta suposición es valida desde que generalmente dichos polinomios característicos provienen de ecuaciones diferenciales de sistemas físicos reales donde dichos coeficientes van a depender de propiedades físicas como el área de un tanque, la abertura de una válvula, etc.

Desarrollo del método root locus

Dado que el polinomio característico depende del parámetro k, siempre será posible expresar dicho polinomio con la siguiente ecuación característica:

P(c,k)=A(c)+kB(c)=0

donde el grado del polinomio A es mayor o igual al grado del polinomio B, Grado[A(c)]\geq Grado[B(c)] y el polinomio A y B son mónicos (es decir el coeficiente del máximo exponente será 1).

Por ejemplo, si tenemos la siguiente ecuación característica en tiempo continuo: P(s,k)= s^2+s+k podemos expresarla como:

\underset{A(s)}{\underbrace{s^2+s}}+\underset{kB(s)}{\underbrace{k.1}}

si tenemos la siguiente ecuación característica en tiempo discreto: P(z,k)= z^2+(k-1.9)z+0.9-0.6k podemos expresarla como:

\underset{A(z)}{\underbrace{z^2-1.9z+0.9}}+\underset{kB(z)}{\underbrace{k.(z-0.6)}}

Note que en los dos ejemplos anteriores siempre el Grado de A fue mayor igual al Grado de B y que ambos polinomios son mónicos.

¿Qué efecto tiene la ganancia K en el lugar de las raíces?

El método del lugar de las raíces muestra cómo varían las trayectorias de los polos de lazo cerrado en función de la ganancia de retroalimentación 𝑘 (asumiendo retroalimentación negativa). Este enfoque se emplea para analizar cómo los cambios en las ganancias de retroalimentación afectan la posición de los polos de lazo cerrado.

Para resolver la ecuación en el dominio complejo A(c)+kB(c)=0 procedemos a despejar el parámetro variable:

A(c)+kB(c)=0
\dfrac{1}{A(c)}+\dfrac{1}{kB(c)}=0
\dfrac{B(c)}{A(c)}=-\dfrac{1}{k}

Observe que la ecuación anterior estamos igualando una componente compleja con un número real, observe que el número real depende de k:

si k>0 entonces -\dfrac{1}{k}<0

si k<0 entonces -\dfrac{1}{k}>0

Siempre que igualamos un numero complejo con un número real debemos igualar tanto el módulo cuanto la fase o argumento. recuerde que cuando trabajamos con componentes complejas, indica que tenemos un par de números ordenados con componente real e imaginaria, o en el área del control módulo y fase.

Números complejos

En notación angular, a menudo usada en Electrotecnia se representa al fasor de módulo r y argumento \phi como:

z=r\angle \phi

No obstante, el ángulo \phi no está unívocamente determinado por z, pues pueden existir infinitos números complejos que tienen el mismo valor representado en el plano, que se diferencian por el número de revoluciones, ya sean de sentido antihorario (positivas) u horario (negativas) las cuales se representan por números enteros p\in {\mathbb {Z}}, como implica la fórmula de Euler:

z=re^{\mathrm {i} (\phi +2\pi {}p)}, \quad \forall {p}{\in }\mathbb {Z}

Por esto, generalmente \phi está restringido al intervalo [-\pi, \pi) y a este \phi restringido se le llama argumento principal de z y se denota \varphi=Arg(z). Con este convenio, las coordenadas están unívocamente determinadas por z.

Finalmente, el módulo puede definirse como:

r=|z|=\sqrt{a^2+b^2}

y la fase:

\phi = \text{tan}^{-1}\left( \dfrac{b}{a}\right)

Determinando la ganancia k

Volviendo al LGR, Inicialmente tenemos la condición del módulo:

\left |\dfrac{B(c)}{A(c)}\right |=\left |-\dfrac{1}{k}\right |=\dfrac{1}{k}

Igualando la fase:

\varphi\left( \dfrac{B(c)}{A(c)}\right)=\varphi\left( -\dfrac{1}{k}\right)

Como hemos visto en nuestro curso de diagrama de bode, la fase de un número real vale cero o \pm 180

(diagrama polar con la fase del numero real)

Por lo tanto la condición de la fase va a depender si nuestra ganancia es positiva o negativa:

si k>0 entonces \varphi\left( \dfrac{B(c)}{A(c)}\right)=\pm180\pm 360p

si k<0 entonces \varphi\left( \dfrac{B(c)}{A(c)}\right)=0\pm 360p

De la condición anterior puedo concluir rapidamente que lo único que necesito conocer para poder determinar el ángulo o la fase es saber si k es positivo o negativo.

Transformación del Problema Geométrico

Sabemos que tenemos dos polinomios B(c) y A(c), los cuales serían los ceros y los polos respectivamente de nuestro sistema, en forma polinómica podríamos verlos de forma general como:

B(c) = (c-z_1)(c-z_2)...(c-z_m)
A(c) = (c-p_1)(c-p_2)...(c-p_n)

recordando que c = s o c=z para tiempo continuo o discreto respectivamente, m es el orden del polinomio B y n el orden del polinomio A.

Recordemos que la fase de un cociente es:

\varphi\left( \dfrac{X}{Y}\right) =\varphi\left( X\right)-\varphi\left(Y\right)

Y la fase de un producto es:

\varphi(X.Y) = \varphi(X) + \varphi(Y)

Aplicando las dos propiedades anteriores a la condición de fase, tenemos que:

\varphi\left( B(c)\right)-\varphi\left(A(c)\right)= \varphi(c-z_1)+\varphi(c-z_2)+...+\varphi(c-z_m)-(c-p_1)-\varphi(c-p_2)-...-\varphi(c-p_n)=\pm180\pm360p

Por lo tanto, hemos transformado un problema de la teoría de control aparentemente complejo a un problema de fases muy simple de resolver. Donde representado graficamente podemos ubicar los polos en el plano complejo S o Z, y aplicar la condición de ángulo o condición de fase del LGR para saber si un determinado punto (llamado punto de prueba) está en el camino que van a recorrer los polos al momento de aumentar la ganancia del lazo cerrado de control.

Ejemplo conceptual del LGR en un punto de prueba

Por ejemplo, supongamos que estamos en tiempo continuo (domino transformado de laplace S) y contamos con un cero y un polo así:

\varphi\left( B(s)\right)-\varphi\left(A(s)\right)= \varphi(s-z_1)-\varphi(s-p_1)
Ubicacion Polo y Cero en plano complejo

Vamos a averiguar si el siguiente punto de prueba se encuentra en el lugar geometrico de las raices, o sea si es punto está en el camino por donde pasaría el polo al momento de aumentar la ganancia del controlador en lazo cerrado. Para eso trazamos una recta desde el polo y el cero al punto.

Trazamos un punto p en el plano complejo y una recta desde el polo y el cero al punto p.

Debemos calcular todos los angulos para verificar si efectivamente cumple con la condición de fase.

Verifica la condicion de fase del LGR para determinar si el punto pertentece al LGR

Dado que hemos formado un triangulo, sabemos que la suma de todos los ángulos debe ser igual a 180, siendo \beta el ángulo complementário de \varphi(z_1)

(1)~\beta+\varphi(p_1)+\varphi(B/A)=180 \rightarrow \varphi(B/A)=180-\beta-\varphi(p_1)

Y que la suma de los ángulos complementarios de \beta y \varphi(z_1) es 180.

(2)~\beta + \varphi(z_1)=180 \rightarrow \beta = 180-\varphi(z_1)

(2) en (1)

\varphi(B/A)=180-180+\varphi(z_1)-\varphi(p_1)
\varphi(B/A)=\varphi(z_1)-\varphi(p_1)=\varphi(z_1/p_1)

Con seguridad el ángulo anterior, sin necesidad de realizar ninguna cuenta se sabe que no va a dar 180, a lo mucho daría al rededor de 80. Por lo tanto como no cumple la condición del ángulo, el punto p NO es una solución de la ecuación.

Con el análisis anterior, entonces tratemos de tomar un punto que no tenga parte imaginária para descubrir si dicho punto hace parte de la solución, dado que los puntos con parte imaginária nunca van a garantizar mi condición de fase.

El punto p es solución para la condición de tener una ganancia negativa, k<0

El ejemplo de lugar geométrico anterior muestra que sin necesidad de realizar cálculos muy elaborados consigo saber cuáles son los caminos o el lugar de las raíces. Es evidente que estar escogiendo puntos al azar es absurdo, el ejercicio solo busca permitir la comprensión del método. Para efectos prácticos, Evans desarrolló una serie de reglas que permiten sin mucho esfuerzo poder encontrar cuales son los caminos o lugar geométrico de las raíces de cualquier sistema y es justamente eso lo que vamos a aprender a calcular.

Reglas de Construcción del LGR

Existen una serie de pasos o reglas para construir el diagrama del lugar geométrico de las raíces a mano alzada, a continuación te enumero las reglas, sin embargo cada libro puede enumerar estas reglas de forma distinta, lo importante es que debes entenderlas e identificar cual debes usar dependiendo del tipo de sistema que estes estudiando en los sistemas de control.

Regla – 1: Puntos especiales del LGR

Partiendo de nuestra ecuación polinomial de análisis, vamos a entender que ella tiene algunos puntos especiales que serían el inicio y el fin del camino, en este caso consideremos solo el intervalo empleando la ganancia positiva para simplificar nuestro análisis. Consideremos nuestro polinomio característico:

A(c)+kB(c)=0

Donde el grado del polinomio A es n; el grado del polinomio B es m.

Es importante destacar que n \geq m, para que el sistema sea físicamente realizable.

Nota que el polinomio A contiene los polos del sistema, estos comenzarán a moverse en la medida que incrementemos la ganancia de lazo cerrado y eventualmente con una ganancia infinita estos polos van a morir en los ceros contenidos en el polinomio B, o irán a morir en infinito, si el polinomio B no tiene ceros suficientes.

Note que el LGR para control siempre inicia desde los polos cuando se considera una ganancia baja o nula, k=0:

A(c)=0\ \  \ \text{(n raíces)}

Ahora, el fin del camino del LGR control siempre se dá cuando colocamos una ganancia exageradamente alta, k=\infty:

A(c)=-kB(c)
\frac{B(c)}{A(c)}=-\frac{1}{k}
\frac{B(c)}{A(c)}=-\frac{1}{\infty}
B(c)=0\ \ \text{(m raíces)}

Si n>m entonces, ¿Dónde están las otras raíces?

n-m raíces van a infinito cuando c va a infinito

\dfrac{B(c)}{A(c)}\rightarrow 0

Regla – 2: Ramas del LGR

Esta regla nos permite identificar el número de ramas (o de caminos) que debemos identificar en nuestro diagrama del lugar geométrico de las raíces.

Partiendo de la idea de que tenemos un sistema de lazo cerrado de control, donde estamos variando un parámetro, en este caso la ganancia del sistema de cottrol, podremos observar como los polos comenzarán a moverse hacia los ceros o hacia el infinito, trazando un camino (rama) por donde ellos han pasado.

El número de ramas que deberé graficar siempre esta relacionado al grado del polinomio A, si tengo 3 polos, necesito graficar 3 ramas, si tengo 6 polos, necesito graficar 6 ramas.

Regla – 3: Simetría con el eje real del LGR en Control

El polinomio característico siempre posee coeficientes reales porque provienen de ecuaciones diferenciales de sistemas físicos reales donde dichos coeficientes van a depender de propiedades físicas. Esto va a permitir que el Polinomio tenga simetría con el eje real para todas sus raíces complejas conjugadas.

Esto es verdad debido a que, si una raíz es una solución del problema, su conjugado también tiene que ser solución del problema y esto es debido a que estamos trabajando siempre con polinomios con coeficientes reales.

P(c,k)=0\ \ \text{(Coeficientes reales)}
Simetria del eje real en el LGR
Simetria del eje real en el LGR

Regla – 4: Comportamiento Asintótico del LGR en COntrol

En el análisis de sistemas de control mediante el LGR, nos encontramos con situaciones donde algunos polos no están dirigidos hacia ceros finitos del sistema. En estos casos, los polos se dirigen hacia el infinito en el plano complejo, y para comprender esta tendencia utilizamos lo que conocemos como Comportamiento Asintótico.

Concepto de Asíntotas en el LGR

Las asíntotas son líneas que describen la trayectoria de los polos a medida que se dirigen hacia el infinito. Se presentan cuando existe una diferencia en el número de polos y ceros; es decir, cuando el grado del polinomio característico del denominador (polinomios A) es mayor que el grado del polinomio del numerador (polinomios B), matemáticamente expresado como n>m.

Reglas para Determinar las Asíntotas

Para determinar las asíntotas del LGR, se siguen ciertas reglas matemáticas y gráficas:

  1. Calculando la Ubicación de las Asíntotas:La dirección de las asíntotas se da por el ángulo que forman con el eje real positivo y se calcula con la fórmula:

    \theta_{asintota} = \frac{(2k + 1)180^\circ}{n - m}, \quad k = 0, 1, 2, \ldots, n-m-1

    Aquí, 𝑘 representa el índice de la asíntota, 𝑛 el número de polos y 𝑚 el número de ceros.
  2. Determinando el Punto de Salida hacia el Infinito:Los polos tienden a moverse hacia el infinito en direcciones que satisfacen las condiciones del sistema. Al no tener un cero atractor, su comportamiento asintótico es una parte crucial para entender la estabilidad y respuesta del sistema a medida que la ganancia aumenta.

Ejemplo Ilustrativo

Consideremos un sistema donde 𝑛−𝑚=3. Tendríamos tres asíntotas distribuidas uniformemente en 120∘ una de la otra. Aquí es recomendable insertar una figura ilustrativa basada en la diapositiva proporcionada.

Ejemplo Asintotas del LGR

Algunos otros casos podemos verlos a continuación donde se presentan varios comportamientos asintóticos hasta 4 asíntotas.

Aintotas en el LGR

Regla – 5: Cruce en el Eje Real de las Asíntotas

La regla para el cruce en el eje real de las asíntotas es una parte vital del análisis del LGR para sistemas de control. Esta regla es aplicable únicamente cuando existen asíntotas en el sistema, lo cual ocurre si el número de polos ( n ) es mayor que el número de ceros ( m ).

Centroide de las Asíntotas

El centroide de las asíntotas, denotado por ( \sigma_0 ), se calcula como el promedio de la suma de las ubicaciones de los polos menos la suma de las ubicaciones de los ceros dividido entre la diferencia del número de polos y ceros. La fórmula para encontrar el centroide de las asíntotas es:

\sigma_0 = \frac{\sum\limits_{i=1}^{n} p_i - \sum\limits_{i=1}^{m} z_i}{n - m}

donde ( p_i ) representa la posición de los polos y ( z_i ) la de los ceros.

El valor de ( \sigma_0 ) nos proporciona un punto de referencia en el eje real para determinar cómo se distribuirán las asíntotas en el plano s o en el plano z. Es importante para visualizar el comportamiento asintótico de los polos a medida que la ganancia ( k ) tiende a infinito.

Por ejemplo, para el siguiente polinomio característico:

\underset{A(s)}{\underbrace{(s+1)(s+2)(s+3)}}+\underset{kB(s)}{\underbrace{k.1}}

El centroide de las asintotas es:

\sigma_0=\dfrac{-1-2-3-0}{3-0}=\dfrac{-6}{3}=-2

Y su graficación de donde parten dichas asintotas viene dado por:

Cruce en el eje real de las asintotas del LGR

Regla – 6: Lugar de las Raíces en el Eje Real

El análisis del LGR para sistemas de control en el eje real es una parte crítica para comprender el comportamiento del proceso. A continuación, se detallan las observaciones y reglas pertinentes:

Observaciones Importantes

  • Si las raíces del numerador o las raíces del denominador de la función de transferencia de lazo abierto se encuentran fuera del eje real, entonces no contribuirán con un cambio de fase en el eje real. Es decir, las raíces en el eje real tendrán una contribución de fase igual a cero.
  • Solamente se deben considerar las raíces en el eje real que ocasionen una contribución en la fase de 0 o de 180 grados. Segmentos en el eje real que dejen a la derecha un número impar de raíces (ya sean polos o ceros) tendrán una fase de (180 \pm j360) para (k > 0) y la fase complementaria para (k < 0).
LR en el eje Real

Regla 7 – Polos Adyacentes en el Eje Real

Si existen dos polos adyacentes sobre el eje real, el lugar geométrico de las raíces abandona el eje, si existen dos ceros adyacentes sobre el eje real, el lugar geométrico de las raíces converge en el eje.

“Si un polinomio tiene una raíz múltiple en un punto, la derivada del polinomio también tendrá la raíz en ese mismo punto”

P(r_m, k)\rightarrow raíces\ múltiples
P(r_m,k)=A(r_m)+kB(r_m)= 0 \ (1)
k=-\dfrac{A(r_m)}{B(r_m)}\ (2)

Derivando el Polinomio

\dfrac{dP(r_m,k)}{dc}=\dfrac{dA(r_m)}{dc}+k\dfrac{dB(r_m)}{dc}=0\ (3)

Sustituyendo la ecuación (2) en (3)

\dfrac{dA(r_m)}{dc}-\dfrac{A(r_m)}{B(r_m)}\dfrac{dB(r_m)}{dc}=0
\left[B(r_m)\dfrac{dA(r_m)}{dc}-A(r_m)\dfrac{dB(r_m)}{dc}\right]_{r_m}=0

La solución de esta ecuación son posibles candidatos a resolver el problema.

Regla 8 – Ángulo de Partida en Raíces Complejas

Cuando se presentan raíces complejas conjugadas, es necesario calcular el ángulo de partida del polo o el ángulo de llegada al cero para saber la dirección de la rama.

Ángulo de partida del polo:

\phi=180-\sum \angle {\rm Polos}+\sum \angle {\rm Ceros}

Ángulo de llegada al cero:

\beta=180+\sum \angle {\rm Polos}-\sum \angle {\rm Ceros}

Regla 9 – Cruce con el eje imaginario

Los puntos en los cuales el lugar geométrico de las raíces corta al eje imaginario se determinan haciendo en la ecuación característica c=jω, igualando la parte real y la parte imaginaria a cero y resolviendo las ecuaciones resultantes para ω y k. Los valores obtenidos, dan la localización del punto de corte con el eje imaginario y la ganancia en dicho punto.

Ejemplo:

s^3+3s^2+2s+k=0
(j\omega)^3+3(j\omega)^2+2(j\omega)+k=0
k-3\omega^2 + j(2\omega-\omega^3)=0
k-3\omega^2 =0\ (1)
2\omega-\omega^3=0\ (2)

Solucionando el sistema de ecuaciones anterior se obtiene el curce con el eje imaginario del lugar geométrico de las raíces.

Notas sobre el LGR

Las siguientes aclaraciones pueden ayudarnos a comprender mejor el lugar geométrico de las raíces en los sistemas de ingeniería de control.

Nota 1 – Mapa de Polos y Ceros

El lugar geométrico de las raíces representa gráficamente el movimiento de los polos de la ecuación característica de lazo cerrado ante la variación de algún parámetro.

Sin embargo es importante entender que podemos tener dos tipos de sistemas de lazo cerrado como los que se ilustran a continuación donde la ecuación característica viene dado por el denominador de la función de transferencia de lazo cerrado.

Las raíces representadas en el LGR son las raíces de esta ecuación y NO son las raíces del sistema de lazo cerrado del sistema completo cuando se representa el diagrama de polos y ceros. Es decir, las raíces del LGR NO siempre coinciden con las raíces mostradas en el diagrama de Polos y Ceros del Lazo cerrado

Ejemplo

Note que si tenemos dos funciones de transferencia para G(s) y H(s), va a depender de la configuración que tengamos de lazo cerrado, es decir donde se ubica el bloque H(s), veremos que a pesar de tener la misma ecuación característica en ambos sistemas por lo tanto el mismo LGR, tendremos diferente mapa de polos y ceros.

Polos Y Ceros en LGR

Nota 2 – Ganancia Negativa

En el lugar geométrico de las raíces se hace el análisis para K<0 cuando tenemos una realimentación positiva o simplemente si la ganancia de la planta es negativa (respuesta inversa)

En ese caso modificamos las siguientes reglas para trazar el LGR siempre asumiendo K positivo.

{\bf{1)}} Si\ 𝑘<0\  entonces\ \varphi\left(\dfrac{B(c)}{A(c)}\right) =0±360𝑝
{\bf{2)}}\phi=0-\sum \angle {\rm Polos}+\sum \angle {\rm Ceros}

3) Se deben dejar a la derecha un número par de raíces (A o B) en el eje real

Una vez tenemos en mente todas las reglas del LGR Control vamos a proceder a entender el lugar geometrico de las raices con ejercicios resueltos.

Lugar Geométrico de las Raíces Ejemplos

A continuación vamos a presentar una serie de Ejercicios Resueltos del LGR desarrollados paso a paso y a mano graficando la trayectoria de los polos de los sistemas de la ingeniería de control. Adicionalmente en estos ejemplos del lugar geométrico de las raices haremos su resolución empleando el software de MATLAB y de PYTHON

Descargar Códigos del LGR en Matlab y Python

Todos los códigos de Matlab y Python de los ejercicios resueltos del lugar geométrico de las raíces puede ser descargado desde mi repositorio de GitHub

Ejemplo 1 – LGR

Resolver el LGR para el siguiente sistema. Realice un código en Matlab o en Python que grafique el LGR y que analice el comportamiento dinámico en lazo cerrado frente a la variación del parametro K (Control proporcional).

continuara …….



Eso es todo por la entrada del dia de hoy, espero les haya gustado y hayan aprendido algo nuevo. Si te ha servido el contenido de esta entrada, de los videos y los códigos de implementación y deseas apoyar mi trabajo invitandome a un café super barato, puedes hacerlo en el siguiente link:

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