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Control Realimentado

Sensibilidad y Sensibilidad Complementária

Hola controleros y controleras, en este video vamos a comenzar a introducir dos conceptos importantes en la teoría del control robusto y son la función de Sensibilidad y la función de Sencibilidad Complementária.

Antes de comenzar, te invito a ver las otras entradas del sitio web, referentes a la teoría del control (Click aqui 👉 Control Realimentado)

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Sensibilidad en un Sistema de Control

El concepto de Sensibilidad es una medida que nos permite diseñar controladores robustos.

Pero, antes que nada, para entender este concepto, podemos partir de que deseamos implementar un compensador o controlador cualquiera a una planta, para este caso, vamos a tomar la planta de temperatura, cuyo modelado matemático térmico ya fue abordado en este sitio web.

Esta planta puede ser caracterizada o identificada, aplicando una perturbación en la entrada y observando el comportamiento dinámico en la salida por medio de los sensores de temperatura instalados en ella.

De esa forma podríamos obtener una respuesta y un modelo matemático como los observados a continuación.

Indentificación de Modelo de Temperatura

Con esto, podemos comenzar a diseñar nuestro sistema de control en lazo cerrado y podremos entender las nociones referentes al control robusto dados por la sensibilidad a la variación de los parámetros de la planta que puede tener el lazo cerrado.

Si nuestro proceso está representado por una función de transferencia G(s), indudablemente este modelo estará sujeto a un entorno cambiante, que es provocado por el deterioro de los componentes físicos, el desconocimiento de los valores exactos de los parámetros del proceso, y otros factores naturales que afectan un proceso de control.

Sensibilidad y Sensibilidad Complementária

Esto lo podremos representar usando el siguiente diagrama de bloques:

Lazo cerrado de Control Con Incertidumbre

Donde C es el controlador, G es el modelo matemático del proceso, Gd es el modelo de la perturbación, r es la señal de referencia, e es la señal de error, u es la señal de control, y es la señal de salida dada por el sensor, n es la señal de ruído del sensor y d es la señal de perturbación externa no medida.

En el sistema de lazo abierto, dado por:

L(s) = G(s)C(s)


Todos los errores y incertidumbres van a dar como resultado una respuesta cambiante e inexacta.

Sin embargo, un sistema de lazo cerrado tendrá la capacidad de detectra el cambio en la salida del proceso provocado por las discrepancias del lazo de control e intentará corregir la señal de salida.

La sensibilidad de un sistema de control a las variaciones de parámetros son de primordial importancia.

Una de las principales ventajas que nos otorga un sistema en lazo cerrado (realimentado) es su capacidad para reducir la sensibilidad del sistema. Donde si C(s) G (s)>>1 para todas las frecuencias complejas de interés,
podemos obtener la siguiente respuesta:

y=\dfrac{GC}{1+GC}r+\dfrac{G_d}{1+GC}d-\dfrac{GC}{1+GC}n

De la ecuación anterior, vemos 3 funciones de transferencia acompañando cada una de las señales de entrada.

Deseamos diseñar el controlador (C) de forma que cada función de transferencia cumpla con unos requisitos deseados.

Funciones de transferencia sensibilidad

En la literatura de control, para el lazo cerrado del controlador que estamos diseñando, se definen las siguientes funciones:

Función de Sensibilidad

La función de sensibilidad, también conocida simplemente como sensibilidad, mide qué tan sensible es una señal a una perturbación. La retroalimentación de un sistema de control de lazo cerrado reduce la sensibilidad en la banda de frecuencia donde la ganancia de lazo abierto es mayor que 1.

S=\dfrac{1}{1+GC}

Función de Sensibilidad Complementária

La función de sensibilidad complementaria en un punto es la función de transferencia de lazo cerrado. Está relacionado con la función de transferencia de lazo abierto, L, y la función de sensibilidad, S, en el mismo punto de la siguiente manera:

T=\dfrac{GC}{1+GC}
S+T=1

De esa forma podemos reducir la expresión de salida del diagrama de bloques en:

y=Tr+SG_dd-Tn

Analizando el Error

Sabemos que la señal de error del diagrama de bloques viene dado por:

e=r-y

Sustituyendo:

e=r-Tr-SG_dd+Tn
e=(1-T)r-SG_dd+Tn
e=Sr-SG_dd+Tn

La esencia de un sistema de control es conseguir que el error sea cero o lo más pequeño posible, sin importar los disturbios, los ruidos o lo errores de modelado que existan en el lazo de control.

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Estudio de Sensibilidad de un Sistema de Control

Vamos a comenzar a estudiar como obtener la sensibilidad de una función de transferencia asociada a un lazo cerrado de control.

Es importante notar que cuando queremos regular un proceso podemos tener dos problemas fundamentales que son el error de modelado del sistema y las perturbaciones en un sistema de control tal y como puede ser observado en el siguiente diagrama de bloques:

Sistema de Control con Error de modelo y perturbación
Sistema de control con error de modelo y perturbación
  • R(s) es la referencia
  • E(s) es el error de control
  • Y(s) es la variable controlada
  • U(s) es la variable manipulada
  • N(s) es el ruido de medición
  • D(s) es la perturbación externa
  • C es el controlador
  • G es el modelo del sistema
  • ΔG es el error de modelo
  • G_r es el sistema real
  • G_d es el modelo de la perturbación

Que es un error de modelado

El error de modelo o model plant mismatch (en ingles, MPM) es la discrepancia existente entre el modelo matemático que hemos levantado al realizar el análisis del sistema en comparación con el sistema Real.

A nível práctico, este error de modelo siempre va a existir, dado que es muy complicado desarrollar un modelo que represente perfectamente la dinámica del proceso.

El error de modelo puede representarse de várias formas para ser considerado dentro de un lazo de control:

Incertidumbres no estructuradas

Permite estudiar las incertidumbres asociadas a dinámicas no modeladas por funciones de transferencia, no linealidades y efectos derivados de procesos de linealización. Sus dos representaciónes son:

Descripción aditiva o absoluta
G_r=G+\Delta G
Descripción multiplicativa o relativa
G_r=G(1+\delta G)

Que es una perturbación en un sistema de control

Una perturbación dentro de un sistema de control es una señal externa que proviene de otra etapa del proceso que se desea controlar, la cual puede alterar el comportamiento dinámico proyectado por nuestro controlador.

Por eso es importante, que nuestro sistema de control sea lo suficientemente robusto para que pueda rechazar estas señales externas y consiga llevar nuestras variables controladas dentro de la zona de operación deseada.

Obtención de las Funciones de Sensibilidad

Partiendo de la representación de error de modelo aditiva tenemos que:

G_r=G+\Delta G

Considerando solo el modelo nominal:

\dfrac{E}{R}=\dfrac{R-Y}{R}=1 - \dfrac{GC}{1+GC}
E=\dfrac{1}{1+GC}R

Considerando el efecto del error dado por la incertidumbre

E+\Delta E=\dfrac{1}{1+(G+\Delta G)C}R
\Delta E=\dfrac{1}{1+(G+\Delta G)C}R-\dfrac{1}{1+GC}R
\Delta E=\dfrac{-\Delta G\ C}{(1+GC+\Delta G\ C)(1+GC)}R

Del denominador anterior, si comparamos GC con \Delta G C en términos de magnitud, el \Delta G C sería insignificante, por lo tanto podemos aproximarlo a cero. O sea GC >> \Delta G C

\Delta E\approx\dfrac{-\Delta G\ C}{(1+GC)^2}R

Para eliminar el error del sistema, la ganancia del controlador generalmente es grande, entonces 1+GC\approx GC

\Delta E\approx\dfrac{-\Delta G\ C}{G^2C^2}R
\approx\dfrac{-\Delta G\ }{G^2C}R
\Delta E\approx-\dfrac{1}{L}
\dfrac{\Delta G\ }{G}R

Un L(s) de mayor magnitud significa un error pequeño en el error (es decir, poca sensibilidad, S(s), a la incertidumbre del proceso). Surge la pregunta, ¿cómo definimos la sensibilidad? Dado que nuestro objetivo es reducir la sensibilidad del sistema, tiene sentido definir formalmente el término.

La sensibilidad del sistema se define como la relación entre el cambio porcentual en la función de transferencia del sistema y el cambio porcentual de la función de transferencia del proceso.

La función de transferencia del sistema es:

T=\dfrac{Y}{R}

Por lo tanto:

S=\dfrac{\Delta T/T}{\Delta G / G}

En el límite, para pequeños cambios incrementales,

S=\dfrac{G}{T}\dfrac{\partial T}{\partial G}

La sensibilidad del sistema es la relación entre el cambio en la función de transferencia del sistema y el cambio de la función de transferencia del proceso (o parámetro) para un pequeño cambio incremental.

Sensibilidad Lazo Abierto y Cerrado

sistema en lazo abierto y cerrado
sistema en lazo abierto y cerrado

Sistema en lazo abierto

S=\dfrac{G}{T}\dfrac{\partial T}{\partial G}
T=GC
S=\dfrac{G}{GC}\dfrac{\partial}{\partial G}(GC)
S=\dfrac{GC}{GC}=1

El sistema es completamente sensible.

Sistema en lazo cerrado

T=\dfrac{GC}{1+GC}
S=\dfrac{G}{T}\dfrac{\partial T}{\partial G}
S=\dfrac{G}{\dfrac{GC}{1+GC}}\dfrac{\partial}{\partial G}\left(\dfrac{GC}{1+GC}\right)
S=\dfrac{1+GC}{C}\dfrac{(1+GC)C-GC^2}{(1+GC)^2}
S=\dfrac{1}{1+GC}

la sensibilidad del sistema puede reducirse por debajo de la del sistema de lazo abierto aumentando L(s) = G(s)C(s) sobre el rango de frecuencia de interés.

Efecto de la función de sensibilidad y función de sensibilidad complementária

Como sabemos estas dos funciones están relacionadas con el error del sistema de control en lazo cerrado:

e=Sr+SG_dd-Tn

Si deseo una Sensibilidad, S, pequeña en bajas frecuencias necesito un L muy grande.

Si deseo una Sensibilidad complementar, T, pequeña en altas frecuencias necesito un L pequeño.

Un control con integrador consigue estas características cuando la referencia es un escalón y la perturbación está en bajas frecuencias.

A continuación podemos ver una representación frecuencial usando el diagrama de bode, observando el comportamiento de la función de sensibilidad, S, la función de sensibilidad complementária, T, y la ganancia del lazo cuando implementamos un controlador con acción integradora, L.

Sensibilidad de un sistema de control
Sensibilidad de un sistema de control

Bibliografía

  • Richard C. Dorf and Robert H. Bishop. 2011. Modern Control Systems (12th. ed.). Prentice-Hall, Inc., USA.

Eso es todo por la entrada del dia de hoy, espero les haya gustado y hayan aprendido algo nuevo. Si te ha servido el contenido de esta entrada, de los videos y los códigos de implementación y deseas apoyar mi trabajo invitandome a un café super barato, puedes hacerlo en el siguiente link:

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Que esten muy bien, nos vemos en la siguiente entrada.

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