Saltar al contenido
Control Automático Educación

Sistemas Dinámicos de Primer Orden

Hola controleros y controleras, hoy vamos a entender en detalle en que consisten los Sistemas Dinámicos de Primer Orden, los cuales usaremos bastante en la aplicación de los sistemas de control.

Antes de comenzar, te hago la invitación para que veas todas las entradas de nuestro curso gratuito de Control Clásico.

Y que te suscribas al mayor canal de control de YouTube en español:

Sistemas de Primer Orden

Video en Español

Video em Português

Los sistemas de primer orden por definición son aquellos que tienen un solo polo y están representados por ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden. Considerando el caso de las ecuaciones diferenciales lineales de primer orden, con coeficientes constantes y condición inicial cero, tenemos:

a_1\dfrac{dy(t)}{dt}+a_0y(t)=b_0u(t),\ \ con:\ \ y(0)=0

Los sistemas de primer orden tienen diversas aplicaciones para aproximar y representar procesos y sistemas físicos cotidianos o industriales. Por ejemplo tenemos sistemas físicos de primer orden de circuitos eléctricos (circuito RC) donde el condensador es el componente encargado de almacenar la energia del sistema.

¿Para qué sirven los sistemas de Primer Orden?

Es un tipo de representación que sirve para poder expresar de una forma matemática y muy simple como se comporta un proceso o un sistema real a lo largo del tiempo cuando se aplica algún estímulo en sus entradas.

De esa forma podremos hacer análisis para mejorar y optimizar nuestro sistema.

Antes de entrar a estudiar los sistemas de primer orden, vamos a ver un ejemplo de como obtenemos la ecuación diferencial a partir de un sistema físico de primer orden común. Para eso vamos a considerar el llenado de un tanque:

Sistema de Primer Orden de un Tanque de Nivel
Sistema de un tanque de nivel con una válvula de entrada y una tubería larga

Si te interesa el modelado de sistemas hidráulicos dale un vistazo a nuestras entradas anteriores donde explicamos como modelar este sistema.

La ecuación diferencial de primer orden del sistema de tanques suponiendo una variación en su salida lineal (hipótesis):

A\dfrac{dh(t)}{dt}=q_i-q_o
A\dfrac{dh(t)}{dt}={k_1}H(t-\theta)\alpha(t-\theta)-{k_2}h(t)

Las funciones \alpha (abertura de la válvula) y Heaviside (H) están retrasadas en el tiempo theta veces, por causa de la tubería tener una longitud d. Si deseas entender como actúan estos sistemas con retardo, donde se aplica la función de heaviside, dale un vistazo a nuestras entradas anteriores.

A\dfrac{dh(t)}{dt}={k_1}H(t-\theta)\alpha(t-\theta)-{k_2}h(t)

 Aplicando transformada de Laplace:

AsH(s)=k_1e^{-\theta s}\alpha(s)-k_2H(s)
AsH(s)+k_2H(s)=k_1e^{-\theta s}\alpha(s)
(As+k_2)H(s)=k_1e^{-\theta s}\alpha(s)
\dfrac{H(s)}{\alpha(s)}=\dfrac{k_1}{As+k_2}e^{-\theta s}
\dfrac{H(s)}{\alpha(s)}=\dfrac{\dfrac{k_1}{k_2}}{\dfrac{A}{k_2}s+1}e^{-\theta s}

Hemos llegado a una función de transferencia de un sistema de primer orden, sin embargo vamos a representar sus constantes como K=k_1/k_2 y \tau=A/k_2, para llegar a la forma general de una función de transferencia de primer orden con retardo.

Características de un sistema de primer orden:

\dfrac{H(s)}{\alpha(s)}=\dfrac{K}{\tau s+1}e^{-\theta s}
  • H(S) = Salida del sistema (Altura del tanque)  
  • α(s) = Entrada del sistema (Abertura de la válvula)  
  • K = Ganancia estática del sistema  
  • τ = La constante de tiempo del sistema  
  • θ = Retardo de tiempo del sistema

Estos sistemas de primer orden son muy usados en la instrumentación y control para el análisis de diferentes procesos.

Como identificar un sistema de primer orden

Esto se hace de forma muy simple, para eso basta con observar el valor del máximo exponente de la derivada cuando el sistema es representado por ecuaciones diferenciales. En este caso el máximo exponente debe ser 1.

a_1\dfrac{dy(t)}{dt}+a_0y(t)=b_0u(t)

Cuando es representado por función de transferencia, se observa el denominador, donde el máximo exponente de la variable compleja s debe ser igual a 1.

\dfrac{H(s)}{\alpha(s)}=\dfrac{K}{\tau s+1}e^{-\theta s}

Respuesta de un Sistema de Primer Orden

 La respuesta de un sistema de primer orden en la ingeniería de control va a depender del tipo de entrada que le coloquemos al sistema. Las señales de prueba en ingeniería más comunes son:

Perturbaciones de Un sistema de Primer Orden con Retardo

Estos tipos de sistemas de primer orden son estudiados en carreras como la instrumentación y control, ingeniería mecatrónica, eléctrica, control, química, electrónica y afines.

Respuesta ante una Entrada Escalón

Partiendo que la entrada del sistema de primer orden corresponde a un escalón de magnitud A, vamos a resolver este ejercicio para obtener la respuesta en el tiempo de este sistema de control:

\alpha=\dfrac{A}{s}

La salida del sistema de primer orden en el dominio de Laplace:

H(s)=\dfrac{K}{\tau s+1}\dfrac{A}{s}e^{-\theta s}

 Resolviendo (fracciones parciales)

H(s)=AK\left(\dfrac{1}{s}-\dfrac{\tau}{\tau s+1}\right)e^{-\theta s}

Transformada inversa de Laplace, hemos llegado a la respuesta en el tiempo del sistema de primer orden ante una entrada escalón:

h(t)=AK\left(1-e^{-(t-\theta)/\tau} \right)H(t-\theta)

Sistema de Primer Orden SIN Retardo

Si partimos de la suposición que nuestro sistema no posee retardo, \theta=0 nuestras funciones de transferencia de primer orden y ecuaciones temporales del sistema, estarían regidas por:

\dfrac{H(s)}{\alpha(s)}=\dfrac{K}{\tau s+1}
h(t)=AK\left(1-e^{-t/\tau} \right)

de esa forma si sustituimos de la ecuación temporal de primer orden anterior la variable de tiempo t por diferentes valores, podremos obtener la respuesta dinámica característica del sistema de primer orden:

Respuesta temporal de un sistema de primer orden

En este punto es importante destacar que la respuesta en el tiempo de un sistema de control consta de dos partes fundamentales que son la respuesta transitoria y la respuesta en estado estable. Que las vamos a explicar a continuación.

Todo sistema de primer orden posee 1 polo el cual rige la dinámica del mismo. Si ese polo se encuentra cerca del eje imaginario, hace que la respuesta del sistema sea mucho más lenta (o sea que su estado transitório va a demorar más tiempo)

Si el polo se encuentra lejos del eje imaginario, la respuesta del sistema sera rápida (estado transitório rápido).

Al final, el polo deja de tener efecto, y la variable observada en la exponencial de la ecuación temporal h(t) se va a volver cero, lo que implica que el sistema habrá entrado en su regímen permanente.

En la siguiente figura se puede evidenciar la respuesta transitoria y permanente de un sistema de primer orden.

Polos de los Sistemas de Primer Orden Control

El estado estacionario del sistema es cuando la dinámica deja de variar y alcanza un equilibrio. Este valor de equilibrio puede ser encontrado a través del teorema del valor final.

h_{ee}=\underset{t\rightarrow \infty}{Lim}\ AK\left(1-e^{-t/\tau} \right)=AK

τ = La constante de tiempo del sistema: Tiempo que le toma al sistema  en llegar al 63.2% del estado estable.

Tiempo de Establecimiento: Tiempo que le toma al sistema en llegar al estado estable y se calcula como:

t_s=4\tau

Sistema de Primer Orden CON Tiempo Muerto

Cuando el sistema de primer orden tiene retardo, la dinámica del sistema tendrá el mismo crecimiento en el estado transitório, también se va a estabilizar en el mismo valor del estado permanente, lo único que cambia, es que el sistema va a demorar en responder un tiempo \theta una vez es aplicada la señal de entrada en el sistema (en este caso la señal del tipo escalón)

Sistema de Primer Orden con Retardo

Sistema de Primer Orden Entrada Rampa

En este caso la entrada viene dado por:

\alpha(s)=\dfrac{A}{s^2}

La salida del sistema en el dominio de Laplace

H(s)=\dfrac{K}{\tau s+1}\dfrac{A}{s^2}e^{-\theta s}

 Transformada inversa de Laplace:

h(t)=\dfrac{AK}{\tau}\mathscr{L}^{-1}\left[\dfrac{1}{s^2(s+1/\tau)}e^{-\theta s}\right]
h(t)=AK\tau \left(\dfrac{(t-\theta)}{\tau}-1+e^{-(t-\theta)/\tau} \right)H(t-\theta)

La respuesta de un sistema de primer orden con tiempo muerto ante una entrada rampa es:

Sistema de Primer Orden con Rampa

Sistema de Primer Orden Entrada Impulso Unitário

La entrada en el dominio de Laplace:

Impulso
Impulso de magnitud A
\alpha=1

La salida del sistema en el dominio de Laplace

H(s)=\dfrac{K}{\tau s+1}e^{-\theta s}

 Transformada inversa de Laplace:

h(t)=\dfrac{K}{\tau}\mathscr{L}^{-1}\left[\dfrac{1}{s+1/\tau}e^{-\theta s}\right]
h(t)=\dfrac{K}{\tau} e^{-(t-\theta)/\tau} H(t-\theta)

La ecuación temporal anterior también se puede obtener derivando la respuesta del sistema de primer orden ante un escalón.

Respuesta de un sistema de primer orden con retardo ante un impulso

El máximo pico en la respuesta al impulso para un sistema de primer orden es igual a AK. Donde A sería el valor del impulso.

Sistemas de Primer Orden en Matlab

Colocar un sistema de primer orden usando matlab es bastante sencillo, para eso nos vamos a valer del comando tf (transfer function).

Supongamos que tenemos el siguiente sistema de primer orden:

G(s)=\dfrac{10e^{-5s}}{2s+1}

El sistema de primer orden con retardo en matlab viene dado por:

Ejemplo

Sistema de primer orden ejemplo: Aplicando una entrada del tipo escalón unitario encuentre para el siguiente sistema:

\dfrac{Y(s)}{U(s)}=\dfrac{3}{4s+2}

Encontrar:

  • 1.La constante de tiempo y el tiempo de establecimiento
  • 2.Valor de la salida en estado estable
  • 3.La expresión de y(t) y su gráfica

Para ver la resolución del problema, basta con compartir el contenido de este post en tus redes sociales, de esa forma ayudas a que este sitio web continue aportando más contenido gratuito y de calidad:

 Se lleva el sistema a su forma de primer orden estándar

\dfrac{Y(s)}{U(s)}=\dfrac{3/2}{2s+1}=\dfrac{K}{\tau s+1}

 La constante de tiempo es: \tau=2

 El tiempo de establecimiento es: t_s=4\tau=4(2)=8

 Entrada: Escalón Unitario:

U(s)=\dfrac{A}{s}=\dfrac{1}{s}

 Estado estable:

y_{ee}=AK=(1)(3/2)=3/2
Respuesta de un Ejemplo de un sistema de primer orden

Eso es todo por la entrada del dia de hoy, espero les haya gustado y hayan aprendido algo nuevo. Si te ha servido el contenido de esta entrada, de los videos y los códigos de implementación y deseas apoyar mi trabajo invitandome a un café super barato, puedes hacerlo en el siguiente link:

👉 Invitar a Sergio a un Café ☕️

Que esten muy bien, nos vemos en la siguiente entrada.