▷ Sistemas de Primer Orden

Los sistemas de primer orden son un tema clave en la ingeniería y la tecnología de control de procesos. Estos sistemas se caracterizan por tener un tiempo de establecimiento corto y una respuesta rápida a los cambios en las condiciones de entrada.

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Sistemas de Primer Orden Control

En el siguiente video se explica detalladamente el contenido de esta entrada sobre los sistemas de control de primer orden en la teoría de control:

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¿Qué es un sistema de primer orden?

Los sistemas de primer orden por definición son aquellos que tienen un solo polo y están representados por ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden, Quiere decir que el máximo orden de la derivada es orden 1. Considerando el caso de las ecuaciones diferenciales lineales de primer orden, con coeficientes constantes y condición inicial cero, tenemos:

a_1\dfrac{dy(t)}{dt}+a_0y(t)=b_0u(t),\ \ con:\ \ y(0)=0

Los sistemas de primer orden tienen diversas aplicaciones para aproximar y representar procesos y sistemas físicos cotidianos o industriales. Por ejemplo tenemos sistemas físicos de primer orden de circuitos eléctricos (circuito RC) donde el condensador es el componente encargado de almacenar la energia del sistema.

¿Para qué sirven los sistemas de Primer Orden?

Es un tipo de representación que sirve para poder expresar de una forma matemática y muy simple como se comporta un proceso o un sistema real a lo largo del tiempo cuando se aplica algún estímulo en sus entradas.

De esa forma podremos hacer análisis para mejorar y optimizar nuestro sistema.

Ejemplo práctico de un sistema de primer orden

Los ejercicios resueltos de sistemas de primer orden son una excelente manera de entender cómo funcionan estos sistemas y cómo se pueden aplicar en diferentes escenarios.

A través del siguiente ejemplo podremos comprender como obtener la ecuación diferencial a partir de un sistema físico de primer orden común. Para eso vamos a considerar el llenado de un tanque:

Sistema de un tanque de nivel con una válvula de entrada y una tubería larga

Si te interesa el modelado de sistemas hidráulicos dale un vistazo a nuestras entradas anteriores donde explicamos como modelar este sistema.

Otros ejemplos de sistemas de primer orden son: la temperatura de un horno, un sistema masa resorte, un circuito RL, el enfriamiento del café a temperatura ambiente, el interés acumulado en una cuenta de ahorros, el crecimiento de una población, etc.

La ecuación diferencial de primer orden del sistema de tanques suponiendo una variación en su salida lineal (hipótesis):

A\dfrac{dh(t)}{dt}=q_i-q_o

A\dfrac{dh(t)}{dt}={k_1}H(t-\theta)\alpha(t-\theta)-{k_2}h(t)

Las funciones $\alpha$ (abertura de la válvula) y Heaviside (H) están retrasadas en el tiempo $theta$ veces, por causa de la tubería tener una longitud $d$ . Si deseas entender como actúan estos sistemas de primer orden con retardo, donde se aplica la función de heaviside, dale un vistazo a nuestras entradas anteriores.

A\dfrac{dh(t)}{dt}={k_1}H(t-\theta)\alpha(t-\theta)-{k_2}h(t)

Aplicando transformada de Laplace:

AsH(s)=k_1e^{-\theta s}\alpha(s)-k_2H(s)

AsH(s)+k_2H(s)=k_1e^{-\theta s}\alpha(s)

(As+k_2)H(s)=k_1e^{-\theta s}\alpha(s)

\dfrac{H(s)}{\alpha(s)}=\dfrac{k_1}{As+k_2}e^{-\theta s}

\dfrac{H(s)}{\alpha(s)}=\dfrac{\dfrac{k_1}{k_2}}{\dfrac{A}{k_2}s+1}e^{-\theta s}

Hemos llegado a una función de transferencia de un sistema de primer orden, sin embargo vamos a representar sus constantes como $K=k_1/k_2$ y $\tau=A/k_2$ , para llegar a la forma general de una función de transferencia de primer orden con retardo.

Función de Transferencia de Primer Orden

Características de un sistema de primer orden:

\dfrac{H(s)}{\alpha(s)}=\dfrac{K}{\tau s+1}e^{-\theta s}

H(S) = Salida del sistema (Altura del tanque)
α(s) = Entrada del sistema (Abertura de la válvula)
K = Ganancia estática del sistema de primer orden
τ = La constante de tiempo del sistema
θ = Retardo de tiempo del sistema

Estos sistemas de control de primer orden son muy usados en la instrumentación y control para el análisis de diferentes procesos.

¿Qué es la ganancia estática de un sistema?

Se denomina ganancia estática de un sistema a la la relación de ganancia entre la entrada y la salida del proceso. Es decir, cuando la entrada es constante (escalón) y la salida se estabiliza (regimen permanente), la razón del cambio de la salida entre el cambio de la entrada nos da la ganancia estática del sistema.

K=\dfrac{H_{max}-H_{min}}{α_{max}-α_{min}}

De lo anterior podemos intuir que la respuesta permanente o respuesta estacionaria se refiere al comportamiento de la salida de nuestro proceso o sistema cuando el tiempo tiende a infinito. Si la respuesta permanente es constante nuestro sistema es clasificado como estable, por el contrario si tiende a infinito nuestro sistema se define como inestable.

También podemos apreciar que la ganancia estática de un sistema de primer orden se puede observar facilmente directamente de la función de transferencia.

¿Qué es la constante de tiempo en un sistema de primer orden?

La constante de tiempo de un sistema de primer orden, generalmente denotada por la letra griega τ (tau), se define como el tiempo requerido para que el sistema alcance el 63,2% del valor final o de estado estable. Por lo tanto la constante muestra la velocidad del sistema ante una determinada entrada para alcanzar el regimen permanente.

Cuanto menor es la constante de tiempo, más rápida es la respuesta del sistema. Si la constante de tiempo es mayor, el sistema se mueve lentamente en su respuesta transitoria.

Entonces, la respuesta transitoria se define como la dinámica del sistema desde el estado inicial hasta alcanzar el estado estacionario, donde en un sistema de primer orden la respuesta transitoria tiene una duración de 4 veces la constante de tiempo.

Como identificar un sistema de primer orden

Esto se hace de forma muy simple, para eso basta con observar el valor del máximo exponente de la derivada cuando el sistema es representado por ecuaciones diferenciales. En este caso el máximo exponente debe ser 1.

a_1\dfrac{dy(t)}{dt}+a_0y(t)=b_0u(t)

Cuando es representado por función de transferencia, se observa el denominador, donde el máximo exponente de la variable compleja s debe ser igual a 1.

\dfrac{H(s)}{\alpha(s)}=\dfrac{K}{\tau s+1}e^{-\theta s}

Los sistemas de control de segundo orden también son importantes, pero difieren en tiempo de establecimiento y respuesta a los cambios. Es importante entender las diferencias entre sistemas de primer y segundo orden para poder seleccionar el adecuado para el proceso en cuestión. Por lo tanto puedes ver la siguiente entrada referente a los sistemas de segundo orden.

Respuesta de un Sistema de Primer Orden

La respuesta de un sistema de primer orden en la ingeniería de control va a depender del tipo de entrada que le coloquemos al sistema. Las señales de prueba en ingeniería más comunes son:

sistema rmer

Estos tipos de sistemas de primer orden en control son estudiados en carreras como la instrumentación y control, ingeniería mecatrónica, eléctrica, control, química, electrónica y afines.

¿Qué es una señal de entrada en un sistema de control?

Una señal de entrada en un sistema de control se define como una señal actuante que estimula el sistema a tener un determinado comportamiento dinámico en su salida dependiente de la forma y tipo de señal de entrada que se está aplicando.

A continuación veremos como responde un sistema de primer orden ante una señal de entrada del tipo escalón, rampa e impulso.

Anti Windup en un Control PID

Índices de Desempeño

Acción de Control Derivativo – Control PID

Respuesta ante una Entrada Escalón

Partiendo que la entrada del sistema de primer orden corresponde a un escalón de magnitud A, vamos a resolver este ejercicio para obtener la respuesta en el tiempo de este sistema de control:

\alpha=\dfrac{A}{s}

La salida del sistema de orden 1 en el dominio de Laplace:

H(s)=\dfrac{K}{\tau s+1}\dfrac{A}{s}e^{-\theta s}

Resolviendo (fracciones parciales)

H(s)=AK\left(\dfrac{1}{s}-\dfrac{\tau}{\tau s+1}\right)e^{-\theta s}

Transformada inversa de Laplace, hemos llegado a la respuesta en el tiempo del sistema de primer orden ante una entrada escalón:

h(t)=AK\left(1-e^{-(t-\theta)/\tau} \right)H(t-\theta)

Sistema de Primer Orden SIN Retardo

Si partimos de la suposición que nuestro sistema no posee retardo, $\theta=0$ nuestras funciones de transferencia de primer orden y ecuaciones temporales del sistema, estarían regidas por:

\dfrac{H(s)}{\alpha(s)}=\dfrac{K}{\tau s+1}

h(t)=AK\left(1-e^{-t/\tau} \right)

de esa forma si sustituimos de la ecuación temporal de primer orden anterior la variable de tiempo $t$ por diferentes valores, podremos obtener la respuesta dinámica característica del sistema de primer orden:

En este punto es importante destacar que la respuesta en el tiempo de un sistema de control consta de dos partes fundamentales que son la respuesta transitoria y la respuesta en estado estable. Que las vamos a explicar a continuación.

La identificación de polos y ceros de primer orden es esencial para el diseño y análisis de sistemas de control. Los polos y ceros determinan las características de estabilidad y tiempo de establecimiento del sistema.

Todo sistema de primer orden posee un polo el cual rige la dinámica del mismo. Si ese polo se encuentra cerca del eje imaginario, hace que la respuesta del sistema sea mucho más lenta (o sea que su estado transitório va a demorar más tiempo)

Si el polo se encuentra lejos del eje imaginario, la respuesta del sistema sera rápida (estado transitório rápido).

Al final, el polo deja de tener efecto, y la variable observada en la exponencial de la ecuación temporal h(t) se va a volver cero, lo que implica que el sistema habrá entrado en su regímen permanente.

En la siguiente figura se puede evidenciar la respuesta transitoria y permanente de un sistema de primer orden.

El estado estacionario del sistema es cuando la dinámica deja de variar y alcanza un equilibrio. Este valor de equilibrio puede ser encontrado a través del teorema del valor final.

h_{ee}=\underset{t\rightarrow \infty}{Lim}\ AK\left(1-e^{-t/\tau} \right)=AK

Básicamente, el estacionário de los sistemas dinámicos de primer orden se encuentra en la ganancia estática de un sistema multiplicado por la magnitud de la entrada.

τ = La constante de tiempo del sistema: Tiempo que le toma al sistema en llegar al 63.2% del estado estable.

Tiempo de Establecimiento: Tiempo que le toma al sistema en llegar al estado estable y se calcula como:

t_s=4\tau

La formula de tiempo de establecimiento es una herramienta valiosa para calcular el tiempo requerido para que un sistema alcance su estado estable.

Sistema de Primer Orden con Retardo o Tiempo Muerto

Cuando tenemos un sistema de primer con retardo, la dinámica del sistema tendrá el mismo crecimiento en el estado transitório, también se va a estabilizar en el mismo valor del estado permanente, lo único que cambia, es que el sistema va a demorar en responder un tiempo $\theta$ una vez es aplicada la señal de entrada en el sistema (en este caso la señal del tipo escalón)

Sistema de Primer Orden Entrada Rampa

En este caso la entrada viene dado por:

\alpha(s)=\dfrac{A}{s^2}

La salida del sistema en el dominio de Laplace

H(s)=\dfrac{K}{\tau s+1}\dfrac{A}{s^2}e^{-\theta s}

Transformada inversa de Laplace:

h(t)=\dfrac{AK}{\tau}\mathscr{L}^{-1}\left[\dfrac{1}{s^2(s+1/\tau)}e^{-\theta s}\right]

h(t)=AK\tau \left(\dfrac{(t-\theta)}{\tau}-1+e^{-(t-\theta)/\tau} \right)H(t-\theta)

La respuesta de un sistema de primer orden con tiempo muerto ante una entrada rampa es:

La función de rampa es una herramienta esencial para la implementación de sistemas de control de primer orden. La rampa de transferencia es utilizada para describir el comportamiento temporal de un sistema dinámico.

Sistema de Primer Orden Entrada Impulso Unitário

La entrada en el dominio de Laplace:

Impulso de magnitud A

\alpha=1

La salida del sistema en el dominio de Laplace

H(s)=\dfrac{K}{\tau s+1}e^{-\theta s}

Transformada inversa de Laplace:

h(t)=\dfrac{K}{\tau}\mathscr{L}^{-1}\left[\dfrac{1}{s+1/\tau}e^{-\theta s}\right]

h(t)=\dfrac{K}{\tau} e^{-(t-\theta)/\tau} H(t-\theta)

La ecuación temporal anterior también se puede obtener derivando la respuesta del sistema de orden 1 ante un escalón.

El máximo pico en la respuesta al impulso para un sistema de primer orden es igual a AK. Donde A sería el valor del impulso.

Lazo Abierto y Lazo Cerrado

Estabilidad Interna

Variables de Estado – Espacio de Estados – Control

Clasificación de los sistemas de primer orden

Como hemos estudiado hasta este punto, sabemos que un sistema de primer orden se define como una función de transferencia que tiene un polinomio en el denominador de primer grado, o si lo vemos desde la ecuación diferencial, es donde el máximo orden de la derivada es uno.

Sin embargo veremos que podremos encontrarnos con 3 tipos diferentes de sistemas de primer orden en la teoría del control, los cuales describimos a continuación:

Sistema de Primer Orden sin Cero (Clásico)

Este es el sistema clásico que hemos venido estudiando desde el comienzo de esta entrada, donde el sistema únicamente posee su ganancia estática en el numerador de la función de transferencia y posee una constante de tiempo $\tau$ (tau) que nos indica la velocidad de crescimento del sistema y además nos da un indicio de su estabilidad.

Si el $\tau$ es positivo, el sistema es estable, si es negativo es inestable. La función de transferencia se presenta nuevamente a continuación:

G(s)=\dfrac{Y(s)}{U(s)}=\dfrac{K}{\tau s+1}

Sistema de primer orden con cero nulo o derivador filtrado

En este caso tenemos un sistema de primer orden que posee una raíz en el numerador ubicado en el origen del plano complejo S, es decir tiene un cero NULO. Como puede ser observado en la siguiente función de transferencia:

G(s)=\dfrac{Y(s)}{U(s)}=\dfrac{Ks}{\tau s+1}

En este caso particular la ganancia K ya no es más la ganancia estática del sistema, y eso puede ser comprobado con el teorema del valor final, donde G(0)=0.

En otras palabras, por el motivo de tener un cero en el origen, este sistema de primer orden con cero nulo hará que la respuesta en el régimen permanente se establezca en CERO en caso del sistema ser estable

En este sistema, por causa del orden del numerador (grado uno) y el orden del denominador (grado uno) ser iguales, se conocen en la teoría del control como sistemas BIPROPIOS (grado relativo cero).

En este tipo de sistemas, podemos afirmar que tienen un comportamiento instantáneo (condición inicial) al momento de aplicar alguna señal de control en la entrada del sistema. Esta condición inicial puede ser encontrada con el Teorema del Valor Inicial

Como ejemplo veamos el siguiente sistema de primer orden con un derivador filtrado (cero en el origen) ante una entrada escalón unitario:

G(s)=\dfrac{Y(s)}{U(s)}=\dfrac{2s}{10 s+1}

Sistema de primer orden con cero nulo o derivador filtrado

De la respuesta anterior podemos ver que cuando ingresa el escalón en t=0 ya el sistema tiene una respuesta instantánea o una condición inicial de y=0.2. Vemos que en el estado estable el sistema llega a CERO. Y que la constante de tiempo $\tau$ =10 por lo tanto el sistema llega al estado estacionario en 40 segundos.

Sistema de primer orden con cero no nulo

En este caso, tenemos un sistema de primer orden que posee un cero ubicado en una posición diferente del origen.

G(s)=\dfrac{Y(s)}{U(s)}=\dfrac{K(Ts+1)}{\tau s+1}

Este caso es similar a la estructura clásica donde nuevamente la ganancia K coincide con la ganancia estática del sistema, o sea que K nos indica el valor donde el proceso va a entrar en régimen permanente con relación a la entrada que coloquemos.

En un sistema de primer orden con cero no nulo, la adición de el cero lo que hace es acelerar la respuesta del sistema, tal y como fue detallado en la entrada de Ceros de una Función de Transferencia

Esto quiere decir que si el parámetro del cero (T) es muy grande, el cero estará más cerca del origen en el plano complejo S y por lo la respuesta instantánea o condición inicial será mas grande. Si T es pequeño la condición inicial del sistema será más pequeña.

Veamos el siguiente ejemplo de un sistema de primer orden con un cero no nulo ante una entrada escalón unitario.

G(s)=\dfrac{Y(s)}{U(s)}=\dfrac{2(2s+1)}{10 s+1}

primer orden con cero no nulo

En este caso vemos que la ganancia estática K=2 por lo tanto el sistema entró en regimen permanente en este valor. Vemos que T=2 por lo tanto la condición inicial del sistema fue de 0.4 (acelerando un poco la respuesta) y por último la constante de tiempo $\tau$ =10 por lo tanto el sistema demora 40 segundos en entrar en régimen permanente.

Sistemas de Primer Orden en Matlab

Colocar un sistema de primer orden de control usando matlab es bastante sencillo, para eso nos vamos a valer del comando tf (transfer function).

Supongamos que tenemos el siguiente sistema de primer orden:

G(s)=\dfrac{10e^{-5s}}{2s+1}

El sistema de primer orden con retardo en matlab viene dado por:

num=10; %Numerador
den=[2,1]; %Denominador
G=tf(num,den); %Función de Transferencia
G.iodelay=5  %Retardo

Ejemplo

Sistema de primer orden ejemplo: Aplicando una entrada del tipo escalón unitario encuentre para el siguiente sistema:

\dfrac{Y(s)}{U(s)}=\dfrac{3}{4s+2}

Encontrar:

1.La constante de tiempo y el tiempo de establecimiento
2.Valor de la salida en estado estable
3.La expresión de y(t) y su gráfica

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Se lleva el sistema a su forma de primer orden estándar

\dfrac{Y(s)}{U(s)}=\dfrac{3/2}{2s+1}=\dfrac{K}{\tau s+1}

La constante de tiempo es: $\tau=2$

El tiempo de establecimiento es: $t_s=4\tau=4(2)=8$

Entrada: Escalón Unitario:

U(s)=\dfrac{A}{s}=\dfrac{1}{s}

Estado estable:

y_{ee}=AK=(1)(3/2)=3/2

%% Ejemplo Sistema POR
% Sergio Andres Castaño Giraldo
% https://controlautomaticoeducacion.com/control-realimentado/sistemas-dinamicos-de-primer-orden/
clc
clear 
close all

%Tamaño de las letras
ftsz2=12;
ftsz1=20;

%Vector tiempo
t=0:0.1:13;
%Funcion de transferencia
G=tf(3/2,[2 1]);
G.iodelay=0;

%Vector entrada
u(1:length(t))=1;

%Vector salida
yd=lsim(G,u,t);
% ye=(1-exp(-(t-2))).*heaviside(t-2);
figure
plot([2 2],[0 0.632*3/2],'-k','Linewidth',1);
hold on
text(1.8,-0.15,'\tau','fontsize',ftsz2);

plot([8 8],[0 0.982*3/2],'-k','Linewidth',1);
text(7.8,-0.15,'t_s','fontsize',ftsz2);

text(-1.8,1.7,'y(t)','fontsize',ftsz2);
axis([0 t(end) 0 1.8])

hold on
% plot([t(1) t(end)],[-1.5 -1.5],'-k','Linewidth',1);
plot([t(1) t(end)],[3/2 3/2],'--k','Linewidth',2);
plot(t,yd,'-','Linewidth',3);

figure
plot(t,u,'Linewidth',3);
text(-1,-0.5,'1','fontsize',ftsz2);
text(-1.8,1.2,'u(t)','fontsize',ftsz2);

xlabel('t','fontsize',ftsz2);
set(gca,'fontsize',ftsz1, 'FontName', 'Times New Roman' )
axis([0 t(end) 0 1.3])

Eso es todo por la entrada del dia de hoy, espero les haya gustado y hayan aprendido algo nuevo. Si te ha servido el contenido de esta entrada, de los videos y los códigos de implementación y deseas apoyar mi trabajo invitandome a un café super barato, puedes hacerlo en el siguiente link:

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Sergio A. Castaño Giraldo

Mi nombre es Sergio Andres Castaño Giraldo, y en este sitio web voy a compartir una de las cosas que mas me gusta en la vida y es sobre la Ingeniería de Control y Automatización. El sitio web estará en constante crecimiento, voy a ir publicando material sobre el asunto desde temas básicos hasta temas un poco más complejos. Suscríbete al sitio web, dale me gusta a la página en Facebook y únete al canal de youtube. Espero de corazón que la información que comparto en este sitio, te pueda ser de utilidad. Y nuevamente te doy las gracias y la bienvenida a control automático educación.