2. Control por asignación de polos (RST Incremental)

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El control RST Incremental es basicamente el mismo control RST visto anteriormente, solo que presenta una pequeña modificación en el lazo de control que altera la ley de control y altera la identidad polinomial de la siguiente manera.

a. Planta:

$A(z^{-1})\Delta y(t)=z^{-d}B(z^{-1})\Delta u(t)$

Donde:

$\Delta=1-z^{-1}\rightarrow \Delta u(t)-u(t-1)$

b. Ley de Control

$R(z^{-1})\Delta u(t)=T(z^{-1})y_i(t)-S(z^{-1})y(t)$

Con esto, el diagrama de bloques del sistema en lazo cerrado queda de la siguiente manera:

Notese que en el Lazo de control se adiciono un Integrador que acompaña al polinomio R y es denotado como Δ, este termino garantiza que el sistema siga la referencia y también que pueda sobrellevar perturbaciones del sistema como el do(t) que esta ingresando a la salida de la planta.

c. Identidad:

$A(z^{-1})\Delta R(z^{-1})+z^{-d}B(z^{-1})S(z^{-1})=PMF$

$N_R=N_B+d-1$ Tamaño del Polinomio R

$N_S=N_A$ Tamaño del Polinomio S

$N_B$ Tamaño del Polinomio B Numerador

$N_A$ Tamaño del Polinomio A Denominador

Acomodando la ley de control con el modelo estimado de la planta se obtiene:

$y(t)=\dfrac{z^{-d}*B*T}{A*\Delta * R+z^{-d}*B*S}*Y_i(t)=\dfrac{z^{-d}*B*T}{PMF(z^{-1})}$

Para garantizar eñ seguimiento del set point el polinomio T debe ser igual a la suma de todos los coeficientes del polinomio S

$T(1)=S(1)$

Para un sistema de Segudo Orden por ejemplo, la identidad polinomial quedaria de la siguiente manera:

$Gm(z)=\dfrac{b_0+b_1z^{-1}}{1+a_1z^{-1}+a_2z^{-2}}z^{-1}$

$n_a=2;n_b=1;d=1$

$n_r=n_b+d-1=1+1-1=1\rightarrow (R_0+R_1z^{-1})$

$n_s=n_a=2\rightarrow (S_0+S_1z^{-1}+S_2z^{-2})$

$(1+a_1z^{-1}+a_2z^{-2})(1-z^{-1})(R_0+R_1z^{-1})+z^{-1}(b_0+b_1z^{-1})(S_0+S_1z^{-1}+S_2z^{-2})=(1+p_1z^{-1}+p_2z^{-2})$

P1 y P2 son los polos asignados.

Si multiplicamos los terminos del denominador (A) con el integrador (Δ) tenemos:

$\bar{A}=A(z^{-1})\Delta=1+\bar{a_1}z^{-1}+\bar{a_2}z^{-2}$

$\bar{A}=A(z^{-1})\Delta=(1+a_1z^{-1}+a_2z^{-2})(1-z^{-1})$

$\bar{A}=A(z^{-1})\Delta=1+(a_1-1)z^{-1}+(a_2-a_1)z^{-2}-a_2z^{-3}$

$\bar{a_1}=(a_1-1),\bar{a_2}=(a_2-a_1),\bar{a_3}=a_2$

$\begin{bmatrix} 1 &b_0 &0 &0 \\ \bar{a_1} &b_1 &b_0 &0 \\ \bar{a_2} &0 &b_1 &b_0 \\ \bar{a_3} &0 &0 &b_1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} R_1\\ S_0\\ S_1\\ S_2 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} p_1-\bar{a_1}\\ p_2-\bar{a_2}\\ -\bar{a_3}\\ 0 \end{bmatrix}$

$T=S_0+S_1+S_2$

Recordar que $R_0=1$

Ley de Control

$R(z^{-1})\Delta u(t)=T(z^{-1})y_i(t)-S(z^{-1})y(t)$

$(1+R_1)(1-z^{-1})u(t)=TY_i(t)-(S_0+S_1z^{-1}+S_2z^{-2})y(t)$

Despejando U y aplicando transformada inversa Z

$u(k)=TY_i(k)-S_0y(k)-S_1y(k-1)-S_2y(k-2)-(R_1-1)u(k-1)-R_1u(k-2)$

Usando el ejemplo numero 2 visto en la entrada anterior, se hace el mismo tratamiento para un RST incremental usando las ecuaciones anteriormente descritas que son para un sistema de segundo orden. Se presenta entonces el codigo en matlab.

clc
clear all
close all
%% Simulacion
% Condições iniciais
clear all;  clc; close all;
nit = 400; umin = 0; umax = 4.9; ts = 0.1;
u(1:10) = 0; erro(1:10) = 0; y(1:10) = 0;
% Referência
r(1:100) = 1; r(101:200) = 4; r(201:300) = 3; r(301:nit) = 3;
%% Planta
T=0.1;                          %Tempo da Amostragem
num=1;                          %Numerador Continuo
den=[0.1 1.1 1];                %Denominador Continuo
gp=tf(num,den);                 %Função de transferencia
ftz=c2d(gp,T);                  %Planta Discreta
[B,A]=tfdata(ftz,'v');          %Divide Numerador em B e denominador em A
nb=length(B);                   %Ordem do numerador
na=length(A)-1;                 %Ordem do Denominador
nr=nb-1;                        %Ordem do polinomio R
ns=na;                        %Ordem do Polinomio S

gpz=filt(B,A,T,'name','Planta');      %Funcao de transferenca discreta

%% PMF
%Alocaçao de polos por condições de disenho.
Ts=1;                     %Tempo de estabelecimento desejado
ep=0.6;                     %Epsilon 
wn=4/(ep*Ts);               %

%Polos conjugados
za=exp(-ep*wn*T);
th=57.3*wn*T*sqrt(1-ep^2);
polos=za*[cosd(th)+i*sind(th),cosd(th)-i*sind(th)];

% Polinomio desejado, com polo insignificante igual a zero
Am=poly([polos 0 0]);

%Delata A. Multiplica por integrador
DA=conv(A,[1 -1]);

%Resolução de Equações metodo matricial
M=[1 B(2) 0 0; DA(2) B(3) B(2) 0; DA(3) 0 B(3) B(2);DA(4) 0 0 B(3)];
q=[Am(2)-DA(2); Am(3)-DA(3);Am(4)-DA(4);Am(5)];
X=inv(M)*q;

R=[1 X(1)];             %Polinomio R
S=X(2:end)';            %Polinomio S

%Polinomio T
Tz=sum(S);

%Ingresa la perturbacion en el instante 300
d0(1:300)=0;
d0(301:nit)=0.05;

for k = 5:nit
    %Salida de la Planta
    y(k)=B(2)*u(k-1)+B(3)*u(k-2)-A(2)*y(k-1)-A(3)*y(k-2)+d0(k);
    %Ley de Control
    u(k)=Tz*r(k)-S(1)*y(k)-S(2)*y(k-1)-S(3)*y(k-2)-(R(2)-1)*u(k-1)+R(2)*u(k-2);
    %     Saturação
    if u(k) >= umax 
     u(k) = umax;
     elseif u(k) <= umin
     u(k) = umin;
    end
end

t = 0:ts:(nit-1)*ts;

figure
subplot(2,1,1),plot(t,r,'--k',t,y,'-r','Linewidth',2.5)
xlabel('Tempo (s)');
ylabel('Velocidade');
legend('y_r','y','Location','SouthEast')
grid on;
hold
subplot(2,1,2),plot(t,u,'--b','Linewidth',3)
xlabel('Tempo (s)');
ylabel('Controle (volts)');
legend('u')
grid on;

clc

clear all

close all

%% Simulacion

% Condições iniciais

clear all; clc; close all;

nit = 400; umin = 0; umax = 4.9; ts = 0.1;

u(1:10) = 0; erro(1:10) = 0; y(1:10) = 0;

% Referência

r(1:100) = 1; r(101:200) = 4; r(201:300) = 3; r(301:nit) = 3;

%% Planta

T=0.1; %Tempo da Amostragem

num=1; %Numerador Continuo

den=[0.1 1.1 1]; %Denominador Continuo

gp=tf(num,den); %Função de transferencia

ftz=c2d(gp,T); %Planta Discreta

[B,A]=tfdata(ftz,'v'); %Divide Numerador em B e denominador em A

nb=length(B); %Ordem do numerador

na=length(A)-1; %Ordem do Denominador

nr=nb-1; %Ordem do polinomio R

ns=na; %Ordem do Polinomio S

gpz=filt(B,A,T,'name','Planta'); %Funcao de transferenca discreta

%% PMF

%Alocaçao de polos por condições de disenho.

Ts=1; %Tempo de estabelecimento desejado

ep=0.6; %Epsilon

wn=4/(ep*Ts); %

%Polos conjugados

za=exp(-ep*wn*T);

th=57.3*wn*T*sqrt(1-ep^2);

polos=za*[cosd(th)+i*sind(th),cosd(th)-i*sind(th)];

% Polinomio desejado, com polo insignificante igual a zero

Am=poly([polos 0 0]);

%Delata A. Multiplica por integrador

DA=conv(A,[1 -1]);

%Resolução de Equações metodo matricial

M=[1 B(2) 0 0; DA(2) B(3) B(2) 0; DA(3) 0 B(3) B(2);DA(4) 0 0 B(3)];

q=[Am(2)-DA(2); Am(3)-DA(3);Am(4)-DA(4);Am(5)];

X=inv(M)*q;

R=[1 X(1)]; %Polinomio R

S=X(2:end)'; %Polinomio S

%Polinomio T

Tz=sum(S);

%Ingresa la perturbacion en el instante 300

d0(1:300)=0;

d0(301:nit)=0.05;

for k = 5:nit

%Salida de la Planta

y(k)=B(2)*u(k-1)+B(3)*u(k-2)-A(2)*y(k-1)-A(3)*y(k-2)+d0(k);

%Ley de Control

u(k)=Tz*r(k)-S(1)*y(k)-S(2)*y(k-1)-S(3)*y(k-2)-(R(2)-1)*u(k-1)+R(2)*u(k-2);

% Saturação

if u(k) >= umax

u(k) = umax;

elseif u(k) <= umin

u(k) = umin;

end

t = 0:ts:(nit-1)*ts;

figure

subplot(2,1,1),plot(t,r,'--k',t,y,'-r','Linewidth',2.5)

xlabel('Tempo (s)');

ylabel('Velocidade');

legend('y_r','y','Location','SouthEast')

grid on;

hold

subplot(2,1,2),plot(t,u,'--b','Linewidth',3)

xlabel('Tempo (s)');

ylabel('Controle (volts)');

legend('u')

grid on;

La respuesta del sistema de control RST es la siguiente.
Notese que a los 30 segundos ingresa una perturbación al sistema, y el controlador RST incremental es capaz de reaccionar para volver a llevar la variable al punto de referencia, cosa que no sucedía con el control RST Posicional.

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2. Control por asignación de polos (RST Incremental)

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