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Control Automático Educación

Control por Realimentación de Estados con Integrador tipo Servo

En esta entrada aprenderemos como realizar un control por realimentación de variables de estado con seguimiento de referencia denominado como sistema de control tipo servo, con la inclusión de un integrador en el lazo directo de control, entendiendo inicialmente el funcionamiento de un pre-compensador estático.

Antes de comenzar te hago la invitación para que veas nuestro CURSO GRATUITO DE VARIABLES DE ESTADO.

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Sistema de control con entrada de referencia.

Hasta este punto del curso de Sistemas Dinámicos Lineales por variables de estado hemos considerado apenas sistemas de regulación.

En estos sistemas reguladores, la entrada de referencia se establece durante un largo período de tiempo, y las perturbaciones externas crean estados distintos de cero.

La ecuación característica entonces es la encargada de definir la velocidad mediante la cual los estados no nulos se acercan al origen.

En la mayoría de los casos, es necesario que la salida y siga a una entrada de referencia u, este sistema se denomina “sistema de control tipo Servo” y su configuración básica se muestra en el siguiente diagrama de bloques:

Lazo Cerrado de Control
Lazo Cerrado de Control

Donde se busca que y(t=\infty)=r(t=\infty) y e(t=\infty)=0 independiente del valor de la perturbación w(t=\infty).

El control en variables de estado parte del mismo punto de la ecuación en lazo cerrado del espacio de estados cuando le fue aplicada la realimentación de estados, como visto anteriormente.

En este contexto, para poder seguir una referencia constante existen dos estrategias de control por realimentación de estados los cuales vamos a presentar a continuación:

  1. Pré-compensador estático
  2. Inclusión de un integrador  en el lazo directo

Pre-compensador estático

Si has venido siguiendo el curso de sistemas dinámicos del sitio web, en la entrada anterior habíamos definido la ley de control en lazo cerrado con inclusión de referencia dado por:

u=r-\mathbf{kx}

de esa forma la ecuación por realimentación de estados se conviente en \mathbf{(A-bk,b,c)} y la respuesta provocada por las condiciones iniciales \mathbf{x}(0) viene dado por:

y(t)=\mathbf{c}e^{\mathbf{(A-bk)}t}\mathbf{x}(0)

si todos los autovalores de \mathbf{(A-bk)} están en el semiplano izquierdo del dominio complejo entonces la respuesta caerá rapidamente a cero caracterizandolo como un sistema estable (sistema regulatório).

Sin embargo el seguimiento de referencia es un poco más complejo y en términos generales además de adicionar una realimentación de estados, es necesaria una ganancia feedforward H.

u=Hr-\mathbf{kx}

Este sistema lo conoceremos como un precompensador estático, donde su diagrama de bloques es representado por:

pre compensador estático
Pre compensador estático en Espacio de Estados

Esta es una solución simple para forzar que la salida sea igual que la entrada incluyendo un termino constante en la entrada de la realimentación de estados en lazo cerrado para lograr que la salida sea igual a la entrada en régimen permanente de nuestro sistema en variables de estado.

El objetivo es determinar los valores de K y H. Para eso sustituimos la ley de control que contiene el feedforward dentro de la ecuación de la representación en variables de estado.

\dot{\mathbf{x}}(t)=\mathbf{Ax}(t)+\mathbf{Bu}(t)
\mathbf{y}(t)=\mathbf{Cx}(t)

Sustituyendo u(t) llegamos a la dinámica en lazo cerrado:

\dot{\mathbf{x}}(t)=\mathbf{(A-BK)x}(t)+\mathbf{BHr}(t)

De la misma forma, se puede obtener la representación en función de transferencia de lazo cerrado (entre la referencia y la salida)

\mathbf{G_f}=\dfrac{\mathbf{y}(s)}{\mathbf{r}(s)}=\mathbf{C(sI-\bar{A})}^{-1}\mathbf{BH}=\mathbf{G}(s)\mathbf{H}

Aplicando el concepto del teorema del valor final en la transformada de laplace tenemos que:

\mathbf{G_f}(0)=\mathbf{I}

Si la señal de entrada no es constante, por ejemplo, si es una señal periódica basta con hacer que la ecuación, al igual que en el caso anterior sea igual a la identidad en régimen permanente:

\mathbf{G}(s)=\mathbf{C(sI-\bar{A})}^{-1}\mathbf{BH} = \mathbf{I}

Y en una señal periódica eso se consigue igualando s=jω, donde ω es la frecuencia de la señal de entrada. Es decir, se aplica el concepto del modelo interno.

Por lo tanto el pré-compensador es determinado por la siguiente ecuación:

\mathbf{H}=\mathbf{G}(0)^{-1}=-\mathbf{(C\bar{A}^{-1}B)^{-1}}

siendo \mathbf{\bar{A}=A-BK}

La utilización de un pré-compensador estático para tener un error en régimen permanente nulo ante una referencia constante tiene el inconveniente de ser poco robusto ante las variaciones de los parámetros del modelo de la planta.

Para tratar ese problema, existe un método robusto que permite el seguimiento de referencias y el rechazo de perturbaciones de una forma más eficiente, que lo veremos a continuación.

Introducción sistemas LTI

Modelos Dinámicos Lineales

Realimentación de Estados Tipo Servo

Para obtener un error en regimen permanente nulo ante una entrada constante y que a la vez sea robusto ante las incertezas del modelo de la planta, la mejor opción es adicionar un integrador en el lazo directo del sistema de control.

De esa forma estamos incluyendo al lazo de control, el conocido principio del modelo interno. El cual nos indica que entre la entrada y la salida del sistema, debemos incluir en ese trayecto los modos no estables de la señal de entrada.

Control por Realimentación de Estados Tipo Servo
Control por Realimentación de Estados Tipo Servo

La estructua de control mostrada en el esquema anterior es similar a un controlador PI clásico, siendo la acción porporcional calculada en relación a la señal de salida.

Para realizar el proyecto de la ley de control:

\mathbf{u}(t)=-\mathbf{K_1x}(t)+\mathbf{K_2\xi}(t)

en la realimentación \mathbf{K_1} es referente a los estados del sistema y \mathbf{K_2} a los estados del controlador que fue colocado en el lazo de control.

El error del sistema de control es:

\mathbf{e}(t)=\mathbf{\dot{\xi}}(t)=\mathbf{r-y}=\mathbf{r-Cx}

Para eso es necesario construir el siguiente sistema aumentado:

\begin{bmatrix}\dot{\mathbf{x}}(t)\\dot{\mathbf{\xi}}(t)\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}
\mathbf{A}& \mathbf{0} \
\mathbf{-C} & 0
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}{\mathbf{x}}(t)\{\mathbf{\xi}}(t)\end{bmatrix}
+\begin{bmatrix}\mathbf{B}\0\end{bmatrix}\mathbf{u}(t)+
\begin{bmatrix}\mathbf{0}\\mathbf{I} \end{bmatrix}\mathbf{r}(t)

El cual puede ser reescrito de la siguiente forma compacta:

\dot{\mathbf{x_a}}(t)=\mathbf{A_ax_a}(t)+\mathbf{B_au}(t)+\mathbf{E_ar}(t)
\mathbf{u}(t)=-\mathbf{K_ax_a}(t)

donde:

\dot{\mathbf{x_a}}=\begin{bmatrix}{\mathbf{x}}(t)\{\mathbf{\xi}}(t)\end{bmatrix}
\mathbf{A_a}=\begin{bmatrix}
\mathbf{A}& 0 \
\mathbf{-C} & \mathbf{0}
\end{bmatrix}
\mathbf{B_a}=\begin{bmatrix}\mathbf{B}\\mathbf{0}\end{bmatrix}
\mathbf{E_a}=\begin{bmatrix}\mathbf{0}\\mathbf{I} \end{bmatrix}
\mathbf{K_a}=\begin{bmatrix}\mathbf{K_1}&-\mathbf{K_2} \end{bmatrix}

Teorema

Si el par (\mathbf{A,b}) es controlable y g(s)=\mathbf{c(sI-A)^-1b} no tiene ceros en el origen, entonces los autovalores de la matriz aumentada \mathbf{A_a} pueden ser arbitrariamente definidos por la realimentación de estados \mathbf{k_a}=\begin{bmatrix}\mathbf{k_1}&-k_2 \end{bmatrix}

Por lo tanto, para proyectar una dinamica del sistema aumentado, basta con definir una ecuación característica deseada de grado n+1

Por ejemplo, si tenemos un modelo de una planta que posee 4 estados, entonces definimos una ecuación característica de cuarto orden.

Ejemplo

Considere que la siguiente ecuación diferencial representa la dinámica de un sistema:

\dot{y}-\alpha y = u

Para el sistema anterior, se desea implementar una acción de control que garantice un error nulo para el seguimiento de referencias constantes independientemente del valor del parámetro \alpha.

Con este objetivo, suponga inicialmente que \alpha=1 y considere el siguiente polinomio característico para la dinámica aumentada:

\Delta_f=s^2+3s+2

Solución

El sistema en espacio de estados es:

\dot{x}(t)=\alpha x(t)+u(t)
y(t)=x(t)

El controlador es:

\dot{\xi}=e
e = r - y

El sistema aumentado es:

\dot{\mathbf{x_a}}(t)=\begin{bmatrix}
1& 0 \
-1 & 0
\end{bmatrix}\mathbf{x_a}(t)+
\begin{bmatrix}1\0\end{bmatrix}\mathbf{u}(t)+
\begin{bmatrix}0\1\end{bmatrix}\mathbf{r}(t)
y(t)=\begin{bmatrix}
1& 0
\end{bmatrix}

La ecuación característica del sistema es:

\Delta(\lambda)=\lambda(\lambda-1)

Deseo realizar una realimentación de estados tal que

u=\mathbf{K_a}\begin{bmatrix}{x}(t)\{\xi}(t)\end{bmatrix}\rightarrow \Delta_f=\lambda^2+3\lambda+2

Comenzamos calculando la ganancia de la realimentación de estados:

\underline{\begin{matrix}
 \lambda^2& +3\lambda &+2 \
 -(\lambda^2& -1\lambda &0)
\end{matrix}}\
\begin{matrix}
0\lambda^2&  +4\lambda& +2
\end{matrix}
\mathbf{K_a}=\begin{bmatrix}4 & 2\end{bmatrix}

Sistema en Lazo Cerrado

\dot{x}_a(t)=(\mathbf{A_a-B_aK_a})\vec{x}_a(t)+\mathbf{E_ar}(t)
\dot{x}_a(t)=\left(\begin{bmatrix}
1& 0 \
-1 & 0
\end{bmatrix}-\begin{bmatrix}1\0\end{bmatrix}\begin{bmatrix}4 & 2\end{bmatrix}\right)\vec{x}_a(t)+\begin{bmatrix}0\1\end{bmatrix}\mathbf{r}(t)
\dot{x}_a(t)=\begin{bmatrix}
-3& 2 \
-1 & 0
\end{bmatrix}\vec{x}_a(t)+\begin{bmatrix}0\1\end{bmatrix}\mathbf{r}(t)
y(t)=\begin{bmatrix}
1& 0
\end{bmatrix}

Rechazo de Perturbaciones

El uso de una acción integral dentro del lazo directo del sistema de control además de garantizar un error nulo en el seguimiento de referencias constantes también le da al sistema la propiedad de rechazar perturbaciones en regimen permanente.

Para demostrar esta propiedad, se considera un sistema de control SISO sujeto a una perturbación aditiva en la entrada del proceso:

Sistema de Control con Perturbación en la Carga
Sistema de Control con Perturbación en la Carga

Suponiendo una representación por variables de estado del sistema ampliado (donde se incluye el integrador en el lazo directo), el sistema puede ser representado por:

\dot{\mathbf{x_a}}(t)=\mathbf{A_ax_a}(t)+\mathbf{B_a}\left( u(t) + w(t) \right)+\mathbf{E_a}r(t)\

y(t)=\mathbf{C_ax_a}(t)\

u(t)=-\mathbf{K_ax_a}(t)

Donde el diagrama de bloques del sistema de control por realimentación de estados viene dado por:

Rechazo de Perturbaciones Variables de Estado

Si el sistema en lazo cerrado en el espacio de estados del diagrama anterior, se representa por medio de una función de transferencia G(s) equivalente, que relaciona la señal de perturbación v con la señal de salida y considerando una realimentación de estados de -K_1x:

G(s)=\dfrac{N(s)}{D(s)}=\mathbf{C(sI-\bar{A})}^{-1}\mathbf{B}

Donde \mathbf{\bar{A}}=\mathbf{A-BK_1}

como ilustrado en el siguiente diagrama de bloques:

Por lo tanto, la función de transferencia que relaciona w(s) y y(s) viene definida por:

G_{wy}(s)=\dfrac{y(s)}{w(s)}=\dfrac{N(s)s}{N(s)K_2+D(s)s}

Si aplicamos el teorema del valor final a la ecuación anterior, podremos notar que en régimen permanente, la perturbación se vuelve cero en la salida, es decir, la perturbación es totalmente rechazada.

s=0 entonces G_{wy}(s)=0

Realimentación de Estados Tipo Servo Discreto

Por lo general, en el sistema de seguimiento es necesario que el sistema tenga uno o más integradores dentro del lazo cerrado. (A menos que la planta a controlarse tenga una propiedad integradora), a fin de eliminar el error en estado permanente a entradas escalón, es necesario añadir uno o más integradores dentro del lazo.


Una forma de introducir un integrador en el modelo matemático de un sistema en lazo cerrado, es introduciendo un nuevo vector de estado, que integre la diferencia entre el vector de comando R y el vector de salida Y.

Sistema de Seguimiento con integrador: Considere el sistema de seguimiento mostrado en la siguiente figura. Se supone que la planta es de estado completamente controlable y completamente observable. Suponga que la planta no tiene un integrador. La ecuación de estado de la planta y su
ecuación de salida son:

\mathbf{x}(k+1)=\mathbf{Ax}(k)+\mathbf{Bu}(k)
\mathbf{y}(k)=\mathbf{Cx}(k)
Seguimiento de Referencia con Integrador
Seguimiento de Referencia con Integrador

La ecuación de estado del integrador es:

v(k)=v(k-1)+r(k)-y(k)

Que puede reescribirse como:

v(k+1)=v(k)+r(k+1)-y(k+1)
v(k+1)=v(k)+r(k+1)-Cx(k+1)
v(k+1)=v(k)+r(k+1)-C[Ax(k)+Bu(k)]
v(k+1)=-CAx(k)+v(k)-CBu(k)+r(k+1)

El vector de Control es

u(k)=-K_1x(k)+K_2v(k)

Que puede reescribirse como:

u(k+1)=-K_1x(k+1)+K_2v(k+1)
u(k+1)=-K_1(Ax(k)+Bu(k))+K_2(-CAx(k)+v(k)-CBu(k)+r(k+1))
u(k+1)=(-K_1A-K_2CA)x(k)+(-K_1B-K_2CB)u(k)+K_2v(k)+K_2r(k+1))

De la expresión u(k) puedo despejar K_2v(k):

K_2v(k)=u(k)+K_1x(k)

Para llegar a la expresión de u(k+1):

u(k+1)=(K_1-K_1A-K_2CA)x(k)+(I-K_1B-K_2CB)u(k)+K_2r(k+1)

Resumiendo, tenemos las siguientes dos expresiones:

\mathbf{x}(k+1)=\mathbf{Ax}(k)+\mathbf{Bu}(k)
u(k+1)=(K_1-K_1A-K_2CA)x(k)+(I-K_1B-K_2CB)u(k)+K_2r(k+1)

Si observamos que u(k) es una combinación lineal de los vectores de estado x(k) y v(k), podemos definir un nuevo vector de estado formado por x(k) y u(k) [en vez de x(k) y <em>v(k)]. De las ecuaciones obtenemos la siguiente ecuación en variables de estado:

\begin{bmatrix}\dot{\mathbf{x}}(k+1)\\dot{\mathbf{u}}(k+1)\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}
\mathbf{A}& \mathbf{B} \
\mathbf{(K_1-K_1A-K_2CA)} & \mathbf{(I-K_1B-K_2CB)}
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}{\mathbf{x}}(k)\{\mathbf{u}}(k)\end{bmatrix}
+\begin{bmatrix}\mathbf{0}\\mathbf{\mathbf{K_2}}\end{bmatrix}
\mathbf{y}(k)=\begin{bmatrix}\mathbf{C}&&\mathbf{0}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}\mathbf{x}(k)\\mathbf{u}(k)\end{bmatrix}

Si la referencia es un escalón de magnitud r, entonces r(k+1)=r(k)=r.

Con esta consideración, la ecuación en espacio de estados se puede escribir en la forma:

\begin{bmatrix}\dot{\mathbf{x}}(k+1)\\dot{\mathbf{u}}(k+1)\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}
\mathbf{A}& \mathbf{B} \
\mathbf{(K_1-K_1A-K_2CA)} & \mathbf{(I-K_1B-K_2CB)}
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}{\mathbf{x}}(k)\{\mathbf{u}}(k)\end{bmatrix}
+\begin{bmatrix}\mathbf{0}\\mathbf{\mathbf{K_2r}}\end{bmatrix}

Analizando el sistema en régimen permanente ante una entrada constante:

\mathbf{v}(\infty)=\mathbf{v}(\infty)+\mathbf{r}(\infty)-\mathbf{y}(\infty)
\begin{bmatrix}\dot{\mathbf{x}}(\infty)\\dot{\mathbf{u}}(\infty)\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}
\mathbf{A}& \mathbf{B} \
\mathbf{(K_1-K_1A-K_2CA)} & \mathbf{(I-K_1B-K_2CB)}
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}{\mathbf{x}}(\infty)\{\mathbf{u}}(\infty)\end{bmatrix}
+\begin{bmatrix}\mathbf{0}\\mathbf{\mathbf{K_2r}}\end{bmatrix}

Definiendo los siguientes vectores de error:

\mathbf{x}_e(k)=\mathbf{x}(k)-\mathbf{x}(\infty)
\mathbf{u}_e(k)=\mathbf{u}(k)-\mathbf{u}(\infty)

Restando las dos ecuaciones anteriores obtenemos el siguiente EE

\begin{bmatrix}\dot{\mathbf{x}_e}(k+1)\\dot{\mathbf{u}_e}(k+1)\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}
\mathbf{A}& \mathbf{B} \
\mathbf{(K_1-K_1A-K_2CA)} & \mathbf{(I-K_1B-K_2CB)}
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}{\mathbf{x}_e}(k)\{\mathbf{u}_e}(k)\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}\dot{\mathbf{x}_e}(k+1)\\dot{\mathbf{u}_e}(k+1)\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}
\mathbf{A}& \mathbf{B} \
\mathbf{0} & \mathbf{0}
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}{\mathbf{x}_e}(k)\{\mathbf{u}_e}(k)\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}
\mathbf{0}& \mathbf{0} \
\mathbf{K_1-K_1A-K_2CA} & \mathbf{I-K_1B-K_2CB}
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}{\mathbf{x}_e}(k)\{\mathbf{u}_e}(k)\end{bmatrix}

Definiendo

\mathbf{w}(k)=\begin{bmatrix}
\mathbf{K_1-K_1A-K_2CA} & \mathbf{I-K_1B-K_2CB}
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}{\mathbf{x}_e}(k)\{\mathbf{u}_e}(k)\end{bmatrix}

La ecuación puede modificarse como:

\begin{bmatrix}\dot{\mathbf{x}_e}(k+1)\\dot{\mathbf{u}_e}(k+1)\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}
\mathbf{A}& \mathbf{B} \
\mathbf{0} & \mathbf{0}
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}{\mathbf{x}_e}(k)\{\mathbf{u}_e}(k)\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}
\mathbf{0}\
\mathbf{I}
\end{bmatrix}
\mathbf{w}(k)

Donde

\mathbf{\xi}(k+1)=\begin{bmatrix}\dot{\mathbf{x}_e}(k+1)\\dot{\mathbf{u}_e}(k+1)\end{bmatrix}
\mathbf{A_a}(k)=\begin{bmatrix}
\mathbf{A}& \mathbf{B} \
\mathbf{0} & \mathbf{0}
\end{bmatrix}

\mathbf{B_a}=\begin{bmatrix}
\mathbf{0}\
\mathbf{I}
\end{bmatrix}

Por lo tanto:

\mathbf{\xi}(k+1)=\mathbf{A_a\xi}(k)+\mathbf{B_aw}(k)
\mathbf{w}(k)=-\mathbf{K_a\xi}(k)
\mathbf{K_a}=-\begin{bmatrix}
\mathbf{K_1-K_1A-K_2CA} & \mathbf{I-K_1B-K_2CB}
\end{bmatrix}

Recordar: Si el sistema original es controlable, el sistema aumentado también será controlable.

Determinando la ganancia del control integral y la de realimentación de estados:

\mathbf{K_a}=\begin{bmatrix}
\mathbf{K_1} & \mathbf{K_2}
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}
\mathbf{A-I} & \mathbf{B}\
\mathbf{CA} & \mathbf{CB}
\end{bmatrix}-\begin{bmatrix}
\mathbf{0} & \mathbf{I}
\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}
\mathbf{K_1A-K_1+K_2CA} & \mathbf{K_1B+K_2CB-I}
\end{bmatrix}

Por lo tanto:

\begin{bmatrix}
\mathbf{K_1} & \mathbf{K_2}
\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}\mathbf{K_a}+&\begin{bmatrix}
\mathbf{0} & \mathbf{I}
\end{bmatrix}
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
\mathbf{A-I} & \mathbf{B}\
\mathbf{CA} & \mathbf{CB}
\end{bmatrix}^{-1}

Debe observarse que, cuando u(k) es un vector de dimensión m, y m > 1, la matriz K_a no es única. En consecuencia, es posible determinar más de un conjunto de matrices K_1 y K_2,. (Cada K_a posible genera un conjunto de matrices K_1 y K_2.) En general, debe escogerse el conjunto de K_1 y K_2 que dé el mejor desempeño general del sistema en variables de estado.

La ecuación de estados en lazo cerrado del diagrama de bloques:

\mathbf{x}(k+1)=(\mathbf{A-BK_1})\mathbf{x}(k)+\mathbf{B}K_2v(k)

De la ecuación del integrador:

v(k+1)=v(k)+r(k+1)-y(k+1)
v(k+1)=v(k)+r(k+1)-\mathbf{Cx}(k+1)
v(k+1)=v(k)+r(k+1)-\mathbf{C}[(\mathbf{A-BK_1})\mathbf{x}(k)+\mathbf{B}K_2v(k)]

Combinando las dos ecuaciones matricialmente
obtenemos el sistema en Lazo Cerrado:

\begin{bmatrix}\dot{\mathbf{x}}(k+1)\\dot{\mathbf{v}}(k+1)\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}
\mathbf{A-BK_1}& \mathbf{B}K_2 \
\mathbf{-CA+CBK_1} & \mathbf{I-CBK_2}
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}{\mathbf{x}}(k)\{\mathbf{v}}(k)\end{bmatrix}
+\begin{bmatrix}\mathbf{0}\\mathbf{\mathbf{I}}\end{bmatrix}r(k+1)

Ejemplo

Considere el control digital de una planta mediante el uso de realimentación del estado y control integral y determine la constante de ganancia integral K_2  y la matriz de ganancia de realimentación del estado K_1

\dfrac{Y(z)}{U(z)}=\dfrac{z^{-2} + 0.5 z^{-3}}{1 - z^{-1} + 0.01 z^{-2} + 0.12 z^{-3}}

▪Su representación en espacio de estados:

\mathbf{x}(k+1)=\begin{bmatrix}
1& -0.01 & -0.12\
1 & 0 & 0 \
0 & 1 & 0 
\end{bmatrix}\mathbf{x}(k)+\begin{bmatrix}1\0\0\end{bmatrix}\mathbf{u}(k)
y(k)=\begin{bmatrix}0 & 1 & 0.5 \end{bmatrix}\mathbf{x}(k)

▪Sistema aumentado en variables de estado: Planta + Controlador

\begin{bmatrix}\dot{\mathbf{x}_e}(k+1)\\dot{\mathbf{u}_e}(k+1)\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}
1&-0.01&-0.12& 1 \
1&0&0& 0 \
0&1&0& 0 \
0&0&0& 0 
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}{\mathbf{x}_e}(k)\{\mathbf{u}_e}(k)\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}
0\0\0\1
\end{bmatrix}
\mathbf{w}(k)

Autovalores del sistema:

\Delta(\lambda)=\lambda^4-\lambda^3+0.01\lambda^2+0.12\lambda

Matriz de controlabilidad

\mathbb{C}=\begin{bmatrix}
\mathbf{B} &  \mathbf{AB}& \mathbf{A}^2\mathbf{B} & \mathbf{A}^3\mathbf{B}
\end{bmatrix}
\mathbb{C}=\begin{bmatrix}
0& 1 & 1 & 0.99\
0 & 0 & 1 &1 \
0 & 0 & 0 &1 \
1& 0 & 0 &0
\end{bmatrix}
\rho(\mathbb{C})=4

Sistema Controlable.

La ecuación característica de lazo cerrado deseada del sistema EE es:

\Delta_f(\lambda)=(\lambda-0.1)(\lambda-0.2)(\lambda^2-\lambda+0.5)=\lambda^4-1.3\lambda^3+0.82\lambda^2-0.17\lambda+0.01

Encuentro la ganancia de realimentación auxiliar:

\begin{matrix}
 \lambda^4&-1.3\lambda^3&+0.82\lambda^2&-0.17\lambda&+0.01 \
 -(\lambda^4&-\lambda^3&+0.01\lambda^2&+0.12\lambda&+0)\
& -0.3\lambda^3&  +0.81\lambda^2&  -0.29\lambda& +0.01

\end{matrix}
\bar{k}=\begin{bmatrix}
-0.3&  0.81& -0.29& 0.01

\end{bmatrix}

Encuentro la matriz de similitud:

\mathbf{Q}=\mathbf{P}^{-1}=\mathbb{C}\begin{bmatrix}
1& \alpha_1 & \alpha_2 & \alpha_3\
0 & 1 & \alpha_1 &\alpha_2 \
0 & 0 & 1 &\alpha_1 \
0& 0 & 0 &1
\end{bmatrix}
\mathbf{P}=\begin{bmatrix}
1   &-0.01   &-0.12   &1\
    1   &0   &0         &0\
         0    &1   &0        &0\
         0         &0    &1         &0
\end{bmatrix}

Vector de ganancias:

\mathbf{K_a}=\bar{k}\mathbf{P}
\mathbf{K_a}=\begin{bmatrix}
0.51&  -0.287&  0.046& -0.3

\end{bmatrix}

▪El calculo de las ganancias de realimentación de estados y el controlador integral viene dado por:

\begin{bmatrix}
\mathbf{K_1} & \mathbf{K_2}
\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}\mathbf{K_a}+&\begin{bmatrix}
\mathbf{0} & \mathbf{I}
\end{bmatrix}
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
\mathbf{A-I} & \mathbf{B}\
\mathbf{CA} & \mathbf{CB}
\end{bmatrix}^{-1}
\begin{bmatrix}
\mathbf{K_1} & \mathbf{K_2}
\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}
0.51&    -0.28&   0.046&    0.7
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
         0   &-0.01   &-0.12    &1\
         1   &-1.     &    0    &0\
         0   & 1.     &-1.      &0\
         1   & 0.5    &    0    &0
\end{bmatrix}^{-1}
\begin{bmatrix}
\mathbf{K_1} & \mathbf{K_2}
\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}
0.7&    0.27&   -0.13&    0.24
\end{bmatrix}

Realimentación de estados:

\mathbf{K_1}=\begin{bmatrix}
0.7&    0.27&   -0.13
\end{bmatrix}

Ganancia del Integrador:

\mathbf{K_2}=0.24

Códigos en Matlab y Python

A continuación puedes descargar los códigos de ejemplo que hemos realizado en los videos de esta entrada.

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Control en Variables de Estado tipo Servo

Rechazo de Perturbación

Seguimiento de Referencia Discreto

Bibliografía

  • Ingenieria de Control Moderna – Katsuhiko Ogata – Segunda Edición.
  • Sistemas de Control en Tiempo Discreto – Katsuhiko Ogata – Segunda Edición.
  • Notas de Sistemas de Control Avanzado – Luis Edo García Jaimes
  • Linear System Theory And Design – Chi-Tsong Chen