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Sistemas Dinámicos Lineales

Realización Mínima – Funciones Coprimas

Cuando el numerador y denominador de la función de transferencia no tengan ningún termino en común (funciones coprimas) se puede generar una realización mínima y sistema por variables de estado será controlable y observable y también si el sistema tiene estabilidad BIBO implica que tendrá estabilidad Interna, lo que quiere decir que el denominador tiene exactamente el mismo grado que el orden del sistema.

En esta entrada continuaremos abordando las realizaciones de los sistemas dinámicos, como lo vimos en la entrada pasada en donde llegamos a la conclusión de la descomposición de las formas canónicas controlables y observables *Click aqui para ir a la entrada pasada.

Realización Mínima

lo que quiere decir que el n°de autovalores de A = numero de polos de g(s)

donde g(s)=\dfrac{N(s)}{D(s)}

Para saber si una función de transferencia tiene todas las simplificaciones posibles, o sea es una función coprima, lo que indica que N(s) y D(s) no tienen términos en común.

Existe una prueba que puede hacerse donde:

Si g(s)=N(s)D^{-1}(s) y existen polinomios \bar{N}(s) y \bar{D}(s) con grados menores que N(s) y D(s) quiere decir que todavía se puede eliminar algunos términos, caso contrario ese problema no tendrá solución.

\exists \bar{N}(s),\bar{D}(s):\dfrac{N(s)}{D(s)}=\dfrac{\bar{N}(s)}{\bar{D}(s)}

para eso se monta el siguiente sistema de ecuaciones:

D(s)(-\bar{N}(s))+N(s)(\bar{D}(s))=0

D(s)= D_0+D_1s+D_2s^2

N(s)= N_0+N_1s+N_2s^2
\bar{D}(s)=\bar{D}0+\bar{D}_1s
\bar{N}(s)= \bar{N}_0+\bar{N}_1s

N(s) y D(s) son los polinomios que yo conozco de la función de transferencia y \bar{N}(s) y \bar{D}(s) son polinomios de s un grado menor de los polinomios de la función de transferencia.

Sm=0

donde S es la matris resultante de Sylvester

S=\begin{bmatrix} D_0&N_0&0&0\\ D_1&N_1&D_0&N_0\\ D_2&N_2&D_1&N_1\\ 0&0&D_2&N_2 \end{bmatrix}
m=\begin{bmatrix} -\bar{N}_0\\ \bar{D}_0\\ -\bar{N}_1\\ \bar{D}_1\\ \end{bmatrix}

Si encuentro una solución a ese sistema de ecuaciones quiere decir que todavía tengo elementos que puedo simplificar.

o sea:

si det(S)=0 entonces N(s)D^{-1}(s) pueden ser reducidos a \bar{N}(s)\bar{D}^{-1}(s)

EJEMPLO:

g(s)=\dfrac{s+1}{s^2+2s+1} yo se a simple vista que el denominador es (s+1)^2 es simplemente para mostrar la prueba.

D(s)= 1+2s+s^2
N(s)= 1+s
\bar{D}(s)= \bar{D}_0+\bar{D}_1s
\bar{N}(s)= \bar{N}_0

Realizando el sistema de ecuaciones:

D(s)(-\bar{N}(s))+N(s)(\bar{D}(s))=0
(1+2s+s^2)(-\bar{N}_0)+(1+s)(\bar{D}_0+\bar{D}_1s)=0
-\bar{N}_0+\bar{D}_0+(\bar{D}_0+\bar{D}_1-2\bar{N}_0)s+(\bar{D}_1-\bar{N}_0)s^2=0

Expresado en forma matricial:

S=\begin{bmatrix} 1&1&0\\ 2&1&1\\ 1&0&1 \end{bmatrix}
m=\begin{bmatrix} -\bar{N}_0\\ \bar{D}_0\\ \bar{D}_1 \end{bmatrix}

Tenemos que el det(S)=0 entonces N(s)D^{-1}(s) pueden ser reducidos a \bar{N}(s)\bar{D}^{-1}(s)

Esto es simple de ver ya que:

g(s)=\dfrac{s+1}{s^2+2s+1}=\dfrac{s+1}{(s+1)^2}=\dfrac{1}{s+1}

Eso es todo por la entrada del dia de hoy, espero les haya gustado y hayan aprendido algo nuevo. Si te ha servido el contenido de esta entrada, de los videos y los códigos de implementación y deseas apoyar mi trabajo invitandome a un café super barato, puedes hacerlo en el siguiente link:

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Que esten muy bien, nos vemos en la siguiente entrada.

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