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Control Automático Educación

Observadores de Estados

Hola controleros y controleras, el día de hoy vamos a estudiar los estimadores o observadores de estados, que nos permitirá reconstruir las variables de estado de un sistema cuando no es posible tener una medición de dicha variable.

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¿Qué son los observadores o estimadores de estado?

La técnica de control por realimentación de estados se asume que todos los estados del sistema que deseamos controlar están disponible para realizar propiamente la realimentación.

No obstante, en situaciones prácticas, la suposición de que todos los estados de un sistema son conocidos en líneas generalmente no es verdadera (falta de sensores o un alto costo en la medición de la variable).

En esta entrada del sitio web y el canal, nos enfocaremos a estudiar unos dispositivos llamados como observadores (o estimadores) de estados en el que de la medicación de un subconjunto de estados se puede reconstruir con el valor de los estados del sistema.

Primero, estudiaremos los observadores de orden completo (donde el orden del observador es igual al orden del sistema dinámico), y posteriormente, vamos a introducir el observador de orden reducido (donde el orden del observador es menor que el orden del sistema) para sistemas lineales.

Observadores de Estados en Lazo Abierto (Asintóticos)

Considerando el siguiente sistema dinámico:

\mathbf{\dot{x}}(t)=\mathbf{Ax}(t)+\mathbf{b}u(t)
\mathbf{y}(t)=\mathbf{cx}(t)

donde se supone que las matrices \mathbf{A}; \mathbf{b}; \mathbf{c} son conocidos y que las señales \mathbf{y}(t) y \mathbf{u}(t) están disponibles para el observador.

Observador de Estados Sistema Dinámico

Lo ideal es estimar el estado lo más rápido posible porque la idea es usar en la ley de control los estados del observador y no los estados de la planta.

El problema de obtener una estimación \hat{\mathbf{x}}(t) del estado \mathbf{x}(t) a partir de los valores de \mathbf{y}(t) y \mathbf{u}(t) se pueden resolver usando una copia del sistema anterior

\mathbf{\dot{\hat{x}}}(t)=\mathbf{A\hat{x}}(t)+\mathbf{b}u(t)

El sistema dinámico anterior se puede construir de forma analógica o digital para obtener una estimación de los estados.

El diagrama de bloques del observador de estados en lazo abierto se muestra a continuación:

Si la condición inicial del observador de estado de lazo abierto es la misma que la del sistema entonces \hat{\mathbf{x}}(t)=\mathbf{x}(t), para t\geq 0.

Cuando se desconoce la condición inicial del sistema, podemos estimar la condición inicial siempre y cuando el sistema sea observable:

\left.\begin{matrix}
\mathbf{u}(t),\mathbf{y}(t)\\
t\in[0,t_1]
\end{matrix}\right\}\Rightarrow \mathbf{x}(0)

A partir de la condición inicial, podemos determinar el valor de estado en el instante t_2\geq t_1 y actualizar el valor del observador:

\hat{\mathbf{x}}(t_2)=\mathbf{x}(t_2)

Recordando que la ecuación de estados completo viene dado por la ecuación:

x(t)=e^{\mathbf{A}t}x(0)+\int_{0}^{t}e^{-\mathbf{A}(t-\tau)}Bu(\tau)d\tau

Continuara…..

Observadores de Estados en Lazo Cerrado

Observadores de Estados de Orden Reducido


Eso es todo por la entrada del dia de hoy, espero les haya gustado y hayan aprendido algo nuevo. Si te ha servido el contenido de esta entrada, de los videos y los códigos de implementación y deseas apoyar mi trabajo invitandome a un café super barato, puedes hacerlo en el siguiente link:

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