Hola controlera o controlero, te doy la bienvenida a otra entrada de nuestro curso donde aprenderemos en que consiste la estabilidad Entrada – Salida de un sistema dinámico lineal.
Antes de comenzar te invito para que veas todo el curso de SISTEMAS LTI.
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Los sistemas dinámicos son proyectados para realizar determinado tipo de tareas o para procesar una determinada señal.
Pero debemos entender que si un sistema dinámico no es estable, este no podrá desempeñar su función cuando una determinada señal de entrada es aplicada al sistema.
Por lo tanto en la práctica un sistema dinámico debe operar siempre en una región de estabilidad.
Esta definición de estabilidad se realiza con base en la representación matemática usada:
Estabilidad Entrada-Salida
Estabilidad Interna.
Ya habíamos visto que la respuesta en el tiempo de los estados de un sistema LTI podia dividirse en dos partes:
donde g(t) es la respuesta al impulso del sistema.
Teorema
Un sistema SISO es BIBO estable si y solamente si g(t) es absolutamente integrable en el intervalo de:
[0,\infty)
O sea:
\int_{0}^{\infty}|g(t)|dt\leq M<\infty
Supongamos que la siguiente figura representa la respuesta del impulso del sistema:
Basta integrar desde cero a t del modulo del sistema
Al integrar, se puede apreciar que el sistema evidentemente es un sistema estable, pues el area de la curva es un area finita y limitada. Esto nos dice que de forma general, un sistema con una entrada impulso debe de tender para cero en el tiempo.
Si el sistema no va para cero al momento de hacer la integral va a dar ilimitada.
Este sistema es estable a pesar de que tenga un autovalor positivo. El estado de x2 va para infinito, solo que ese estado no aparece en la salida. En este caso se va a apreciar la DIFERENCIA que existe entre el concepto de estabilidad ENTRADA-SALIDA y el concepto de Estabilidad Interna.
Una de las ventajas de representar un sistema por variables de estado es que podemos tener todos los modos dinámicos del sistema inclusive aquellos que no tienen influencia en la salida.
Transformada de Laplace
Utilizando la transformada de Laplace podemos llegar a un teste de estabilidad BIBO facil
Si aplicamos la transformada de Laplace en g(t), (representado por L en este caso)
Por lo tanto el sistema es BIBO estable si y solamente si todos los polos de g(s) tienen parte real negativa.
Para sistemas MIMO
Un sistema MIMO con respuesta al impulso es BIBO estable si y solamente si cada elemento es absolutamente integrable en el intervalo de
Un sistema MIMO con una matriz de función de transferencia propia es BIBO estable si y solamente si los polos de cada elemento tienen parte real negativa.
Para sistemas Discretos
Para sistemas discretos la estabilidad entrada salida es caracterizada por la respuesta al impulso discreta.
y[k]=\sum_{m=0}^{k}g[k-m]u[m]
Una secuencia de entrada se dice que es limitada si
u[k]:|u[k]|\leq u_m<\infty,k=0,1,2,…
Un sistema discreto LTI es BIBO estable si toda secuencia de entrada limitada genera una secuancia de salida limitada (considerando condiciones iniciales nulas)
Un sistema discreto LTI con respuesta al impulso g[k] es BIBO estable si y solamente si g[k] es absolutamente sumable en el intervalo de
[0,\infty)
Entonces:
\sum_{k=0}^{\infty}|g[k]|\leq M<\infty
utilizando el concepto de transformada Z podemos facilmente verificar la estabilidad BIBO de un sistema discreto.
Por lo tanto esa secuencia es sumable si todos los polos de g(z) tienen un modulo menor que 1.
Para sistemas Discretos MIMO
un sistema multivariable discreto con respuesta al impulso es BIBO estable si y solamente si cada elemento es absolutamente sumable en el intervalo de
Un sistema MIMO con una matriz de función de transferencia propia es BIBO estable si y solamente si los polos de cada elemento tienen modulo menor que uno.
Eso es todo por la entrada del dia de hoy, espero les haya gustado y hayan aprendido algo nuevo. Si te ha servido el contenido de esta entrada, de los videos y los códigos de implementación y deseas apoyar mi trabajo invitandome a un café super barato, puedes hacerlo en el siguiente link:
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