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Impulso Unitário

En el día de hoy vamos a aprender sobre la función impulso unitário o respuesta impulsiva de un sistema dinámico.

Esta entrada le da continuidad a nuestro curso de análisis de sistemas utilizando transformadas de Laplace.

Da click en este enlace para ver todo el Curso de Análisis de Sistemas.

Impulso Unitário

La respuesta al impulso o respuesta impulsiva es el comportamiento dinámico de un sistema cuando en su entrada se coloca un Delta de Dirac (\delta(t)) o impulso. Y a través de esta respuesta podremos caracterizar una función de transferencia y poder conocer el comportamiento del sistema ante cualquier tipo de entrada que se aplique.

Respuesta al Impulso de un Sistema Dinámico

La señal impulso unitário puede considerarse como una entrada teórica, y para entenderla de una mejor forma, consideremos la señal rectangular que vimos en la entrada de funciones de transferencia (click aqui)

Función Pulso - Transformada de Laplace
u(t)\left\{\begin{matrix} A &0\leq t \leq T\\ 0 & t>T \end{matrix}\right.

Si consideramos que el área del rectángulo es unitario, implica que la altura es A=1/T

Pulso Unitário - Respuesta Impulsiva

u(t)\left\{\begin{matrix} 1/T &0\leq t \leq T\\ 0 & t>T \end{matrix}\right.

Ahora se empieza a reducir la amplitud de la función pulso rectangular, manteniendo siempre la misma área (área=1), para poder mantener esa área, evidentemente la altura del pulso tendrá que ir cresciendo. Con esto llegaremos a una función que será infinitamente alta e infinitamente corta, conocida como función impulso unitário o Función Delta de Dirac (\delta(t)).

\delta (t)=\underset{T\rightarrow 0}{Lim}\ u(t)=\ \underset{T\rightarrow 0}{Lim}\left\{\begin{matrix} 1/T &0\leq t \leq T\\ 0 & t>T \end{matrix}\right.

\delta(t)\left\{\begin{matrix} \infty &t=a\\ 0 & t\neq a \end{matrix}\right.

Al aplicar dicha función impulso o respuesta al impulso caso continuo sobre un sistema dinámico, y registrando el comportamiento de la salida, será posible caracterizar completamente el sistema y saber su comportamiento ante cualquier entrada, debido a un teorema de los sistemas dinámicos lineales conocido como el teorema de convolución.

La convolución entre dos señales (En la próxima entrada abordaremos en más detalle la integral de convolución)

y(t)=g(t)*u(t)=\int_{0}^{\infty}g(t-\tau)u(\tau)d\tau = \int_{0}^{\infty}g(t)u(t-\tau)d\tau

Aplicando la transformada de Laplace a la convolución, nos da un simple producto entre la transformada de Laplace de g(t) y la transformada de Laplace de u(t).

Y(s)=G(s)U(s)

Con lo cual queda demostrado que a través de la respuesta impulsiva llegamos a la función de transferencia G(s)=\dfrac{Y(s)}{U(s)}

Propiedades de La Respuesta al Impulso Unitário

Volviendo a nuestra función de impulso únitario o Función Delta de Dirac, podremos obtener algunas propiedades interesantes que nos van a permitir obtener la respuesta del sistema ante un impulso.

Por definición, la integral de una señal impulsional es:

\int_{-\infty}^{\infty}\delta(t)dt = 1

desplazando en el tiempo

Función Delta de Dirac
Función Delta de Dirac

\int_{-\infty}^{\infty}\delta(t-a)dt = 1

Matemáticamente la función impulso transladada en el tiempo puede expresarse como:

\delta(t)\left\{\begin{matrix} \infty &t=a\\ 0 & t\neq a \end{matrix}\right.

Propiedad de Filtrado de la Función Impulsiva

A partir de aqui, podemos analizar la propiedad de filtrado de la función impulso unitario continuo

\int_{-\infty}^{\infty}f(t)\delta(t-a)dt

como la función es cero para todo valor diferente de a, puede reescribirse la integral de la siguiente forma:

\int_{-\infty}^{\infty}f(a)\delta(t-a)dt

f(a)\int_{-\infty}^{\infty}\delta(t-a)dt=f(a)

Basicamente, si tengo una función cualquiera y la multiplico por el Delta de Dirac, la integral bajo la curva de ese producto, es la propia función en el punto donde se encuentra el impulso.

Función Impulso Unitário

Transformada de Laplace para función impulso unitário

La transformada de Laplace de la función impulso viene dado por:

\mathscr{L}\left\{\delta(t-a)\right\}=\int_{0}^{\infty}\delta(t-a)e^{-st}dt

\mathscr{L}\left\{\delta(t-a)\right\}=e^{-st}|_{t=a}=e^{-at}

Y su caso particular para cuando a=0

\mathscr{L}\left\{\delta(t)\right\}=1

Otra propiedad interesante, es que la función de Delta de Dirac, puede ser vista como la derivada del escalón unitario (función de Heaviside)

\delta(t-a)=\dfrac{d}{dt}H(t-a)

Dado que la función escalón unitario viene representada por la siguiente función

Función Escalón o Heaviside
Función Escalón o Heaviside

La derivada es nula en todo instante, con excepción del instante a, dado que la derivada es una medida de la variación de la función (en este caso ocurre una variación de 0 a 1 instantáneamente en el punto a), en el punto a la derivada va a tender para infinito. Y como vimos anteriormente, la función que en un único punto tiende hacia infinito es el Delta de Dirac.

Derivada del escalón unitário
Derivada del escalón unitário

Respuesta al Impulso Ejercicios Resueltos

Se tiene el siguiente reactor tanque de mezcla:

Reactor

Se desea conocer la efectividad de mezcla dentro del tanque usando una prueba de trazado en el sistema, para poder determinar las zonas muertas que existen dentro del tanque.


La idea es operar el reactor a una temperatura baja con el fin de no producir la reacción dentro del tanque y aplicar un pulso rectangular en la concentración de reactivo con un cambio de 0.25 min de duración (variable de entrada) de tal forma que la concentración en la salida cambie lo suficiente para tener una medida precisa.
Antes de realizar el experimento se desea tener una idea de los resultados que serán esperados si efectivamente la mezcla es perfecta.

Parámetros del problema:
 V= 4m^3,\ Q=2m^3/min,\ C_i= 1kg\ mol/m^3 , donde
 V es el volumen,  Q es el flujo total y  C_i es la concentración de alimentación nominal.

Como parte de la solución teórica de este problema, se quiere saber que tanto se puede aproximar la respuesta del pulso rectangular con la respuesta del sistema ante un impulso con una magnitud equivalente. Basado en esto:

  • Se desea obtener la magnitud del impulso equivalente al pulso rectangular.
  • La respuesta al impulso y la respuesta al pulso de la concentración del reactor.

Solución

El balance de masa de un reactor CSTR viene dado por:

V\dfrac{dC}{dt}=q(C_i-C)-VKC

C es la concentración del reactivo del componente A. Y como no hay reacción implica que K=0, por lo tanto reducimos el balance de masas a:

4\dfrac{dC}{dt}+2C=2C_i

Considerando que el sistema comienza en el estado estacionario, su concentración será igual a C(0)=1kg\ mol/m^3

a) Sabemos que el pulso es descrito como:

C_i^P\left\{\begin{matrix} 6 &0\leq t \leq 0.25min\\ 1 & t>0.25min \end{matrix}\right.

Es evidente notar que el pulso unitario inyectado en el sistema posee una altura de 5kg\ mol/m^3

La magnitud de una entrada impulso es equivalente a una pequeña variación en el tiempo de la ecuación del pulso mostrado encima, por lo tanto procedemos inicialmente a encontrar la integral del pulso rectangular que puede encontrarse facilmente como:

M=5kg\ mol/m^3 \times 0.25min = 1.25 (kg\ mol\ min)/m^3

Lo que es equivalente a la entrada impulsiva:

C_i^\delta(t)=1+1.25\delta(t)

b) La respuesta impulsiva se obtiene por medio de la transformada de Laplace del balance de masas usando la condición inicial C_i(0)=1

4sC(s)-4(1)+2C(s)=2C_i(s)C(s)=\dfrac{4}{4s+2}+\dfrac{2}{4s+2}C_i(s)

Aplicando la transformada de laplace en la señal impulso de la concentración de alimentación.

Descargar Tabla de La transformada de Laplace.

C_i^\delta(s)=\dfrac{1}{s}+1.25

Y aplicando la entrada en la función de transferencia.

C(s)=\dfrac{6.5}{4s+2}+\dfrac{2}{s(4s+2)}C(s)=\dfrac{3.25}{2s+1}+\dfrac{1}{s(2s+1)}

Aplicando la transformada inversa de laplace de las tablas que descargamos podemos ver que la respuesta en el tiempo viene dado por:

C(t)=1-e^{-t/2}+1.625e^{-t/2}=1+0.625e^{-t/2}

Se realiza el mismo procedimiento para el pulso rectangular, donde se aplica la transformada de Laplace

C_i^p(s)=\dfrac{1}{s}+\dfrac{5(1-e^{-0.25s})}{s}

Y aplicandolo en la entrada del sistema:

C(s)=\dfrac{4}{4s+2}+\dfrac{12}{s(4s+2)}-\dfrac{10e^{-0.25s}}{s(4s+2)}C(s)=\dfrac{2}{2s+1}+\dfrac{6}{s(2s+1)}-\dfrac{5e^{-0.25s}}{s(2s+1)}

Aplicando la transformada inversa de Laplace como fue discutido en la entrada pasada

C(t)=e^{-t/2}+6(1-e^{-t/2})-5[1-e^{-(t-0.25)/2}]H(t-0.25)

Note que existen dos soluciones,

Para t<0.25 min:

C^p(t)=e^{-t/2}+6(1-e^{-t/2})=6-5e^{-t/2}

Para t\geq0.25 min:

C^p(t)=e^{-t/2}+6(1-e^{-t/2})-5[1-e^{-(t-0.25)/2}]C^p(t)=1-5e^{-t/2}+5e^{-t/2}e^{+0.25/2}C^p(t)=1+0.6657e^{-t/2}

La respuesta del sistema ante el impulso y el pulso es mostrado a continuación. La respuesta del pulso rectangular se aproxima bastante de la respuesta al impulso para t>0.25 min. Obviamente, la aproximación no es muy buena despues de t=0.25 min par causa de que el efecto del pulso rectangular completo no se siente hasta dicho tiempo, mientras que el efecto total del impulso hipotetico, se siente inmediatamente al t=0

Respuesta al Impulso

A continuación te dejo el código en MATLAB para realizar la grafica de este problema

Respuesta al Impulso en Matlab

Matlab tiene un comando que nos permite aplicarle la respuesta al impulso a cualquier sistema, simplemente digitamos impulse sobre alguna función de transferencia por ejemplo.

 

Eso es todo por el día de hoy controleros y controleras, espero les haya servido y hayan aprendido algo nuevo.

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Espero que esten muy bien y nos vemos en la próxima.

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Cuando un sistema dinámico es sometido a un pulso infinitamente corto y alto de unidad unitaria, obtendremos la famosa respuesta al impulso o respuesta impulsiva de un sistema dinámico.
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