▷ Teorema de Valor Final y Inicial

El teorema de valor inicial y teorema de valor final son dos ecuaciones bastante útiles en el análisis de sistemas y en la teoría de control. La primera: el teorema de valor inicial, nos permite saber cual es la condición inicial en la que parte un sistema dinámico, y la segunda, el teorema de valor final nos indica cual es el valor en estado estacionario del sistema dinámico.

Es importante indicar que el teorema de valor inicial y final solo puede aplicarse SI Y SOLAMENTE SI el sistema es estable. O sea que no tenga polos fuera de la región de estabilidad.

A continuación te muestro como usar el teorema de valor inicial y el teorema de valor final en tiempo continuo (usando la transformada de Laplce) y en tiempo discreto (usando la transformada Z).

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Tiempo Continuo

A continuación entendamos el funcionamiento del teorema de valor inicial y final en tiempo continuo.

Teorema de Valor Final

El teorema de Valor Final en Laplace funciona de la siguiente forma:

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Cuando un sistema lineal llega a un estado estacionario, el sistema se estabiliza en un valor especifico, como lo podemos ver en la siguiente figura:

Como ya lo hemos estudiado anteriormente (ver entrada de función de transferencia) cuando un sistema dinámico que se encuentra representado por una ecuación diferencial, llega al estado estacionario cuando el tiempo va para infinito, quiere decir que los cambios en el sistema se vuelven nulos, en otras palabras las derivadas se vuelven cero. Teniendo como base esto, si aplicamos la transformada de Laplace sobre la derivada de nuestra variable tenemos:

$\mathscr{L}\left\{ \dfrac{df(t)}{dt} \right\}=\mathscr{L}\left\{ f'(t) \right\}$

Si aplicamos la definición de la transformada de Laplace, que es una transformación de una integral como lo vimos en la entrada de transformada de Laplace (click aquí para ir a la entrada) tenemos:

$\mathscr{L}\left\{ f'(t) \right\}=\int_{0}^{\infty}f'(t)e^{-st}dt=sF(s)-f(0)$

Como ya expliqué, en el estacionario no tenemos cambios cuando el tiempo tiende a infinito ( $t=\infty$ ) por lo tanto quiere decir que $\dfrac{df(t)}{dt}=0$ y en el dominio transformado $sF(s)=0$ , por lo tanto ( $s=0$ ). Entonces si aplicamos el limite en ambos lados de la ecuación tenemos que:

$\underset{s\rightarrow 0}{Lim}\left[\int_{0}^{\infty}f'(t)e^{-st}dt\right]=\underset{s\rightarrow 0}{Lim}\left[sF(s)-f(0)\right]$

si resolvemos el limite tenemos que:

$f(\infty)-f(0)=\underset{s\rightarrow 0}{Lim}\left[sF(s)\right]-f(0)$

las condiciones iniciales se cancelan y con eso llegamos a la ecuación del teorema del valor final en función del tiempo o en función de la transformada de Laplace, esta ecuación nos va a indicar para cual valor va a tender nuestro sistema.

$f(\infty)=\underset{Tiempo}{\underbrace{\underset{t\rightarrow \infty}{Lim}\left[f(t)\right ]}}=\underset{Laplace}{\underbrace{\underset{s\rightarrow 0}{Lim}\left[ sF(s)\right ]}}$

Teorema de Valor Inicial

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El valor inicial es la condición de arranque con la que comienza mi sistema dinámico, o sea en el tiempo ( $t=0$ ) o en el dominio de Laplace, seria en altas frecuencias cuando ( $s=\infty$ ). Para obtener la ecuación del teorema del valor inicial, partimos nuevamente de la transformada de Laplace de la derivada de nuestra variable, aplicando los limites de inicio.

$\underset{s\rightarrow \infty}{Lim}\left[\int_{0}^{\infty}f'(t)e^{-st}dt\right]=\underset{s\rightarrow \infty}{Lim}\left[sF(s)-f(0)\right]$

Notemos que siempre que resolvemos un sistema dinámico usando la transformada de Laplace y luego la transformada inversa de Laplace, nuestra función $f(t)$ siempre va a dar como resultado una exponencial (Tal y como lo vimos en la entrada de transformada de laplace click aquí), eso quiere decir que $f(t)$ es de orden exponencial, o sea va a dar algo como:

$f(t)=e^{\alpha t}$ entonces $f'(t)=e^{\alpha t}$

Si reemplazamos, tenemos que:

$\underset{s\rightarrow \infty}{Lim}\left[\int_{0}^{\infty}e^{-(s-\alpha)t}dt\right]=\underset{s\rightarrow \infty}{Lim}\left[sF(s)-f(0)\right]$

Y como (s) tiende a infinito, implica que $s>\alpha$ , por lo tanto $(s-\alpha)>0$ y eso implica que $e^{-\infty}=0$

$\underset{0}{\underbrace{\underset{s\rightarrow \infty}{Lim}\left[\int_{0}^{\infty}e^{-(s-\alpha)t}dt\right]}}=\underset{s\rightarrow \infty}{Lim}\left[sF(s)-f(0)\right]$

$0=\underset{s\rightarrow \infty}{Lim}\left[sF(s)\right]-f(0)$

Con eso llegamos al teorema de valor inicial tanto en tiempo continuo como en la transformada de Laplace

$f(0)=\underset{Tiempo}{\underbrace{\underset{t\rightarrow 0}{Lim}\left[f(t)\right ]}}=\underset{Laplace}{\underbrace{\underset{s\rightarrow \infty}{Lim}\left[ sF(s)\right ]}}$

Tiempo Discreto

A continuación entendamos el funcionamiento del teorema de valor inicial y final en tiempo discreto.

Teorema de Valor Final

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Para el teorema de valor final discreto, se supone que la función del sistema $x(kT)=0$ para todo instante de tiempo $k<0$ . Y como sabemos que cuando el sistema está en estado estacionario, quiere decir que no existen derivadas en la ecuación del sistema y como lo vimos anteriormente implica que la variable compleja de la transformada de Laplace ( $s=0$ ) pues no existen derivadas. Haciendo el mapeamento del dominio transformada S al dominio transformado Z tenemos que:

$z=e^{sT}$

donde $T$ es el periodo de muestreo, y si $s=0$ implica que $z=1$ .

Si aplicamos la definición teórica de la transformada Z

$x(z)=\sum_{k=0}^{\infty}x(kT)z^{-k}=x(0)+x(1)z^{-1}+x(2)z^{-2}+\cdots+x(\infty)z^{-\infty}$

Sabemos que del sumatorio anterior todas las $z=1$ , pero el teorema del valor final solo esta interesado en obtener el valor del coeficiente $x(\infty)$ , para eso debo eliminar el resto de coeficientes. Esto es fácil hacerlo, si tomamos la señal $x(kT)$ y la restamos a la misma señal, solo que retrasada un periodo de muestreo $x(kT-1)$ . Entonces esa ecuación queda asi, suponiendo nuestro $T=1$ :

$x(z)-z^{-1}x(z)=\sum_{k=0}^{\infty}x(k)z^{-k}-\sum_{k=0}^{\infty}x(k-1)z^{-k}$

$(1-z^{-1})x(z)=\sum_{k=0}^{\infty}x(k)z^{-k}-\sum_{k=0}^{\infty}x(k-1)z^{-k}$

Si aplicamos ahora el limite cuando $z=1$

$\underset{z\rightarrow 1}{Lim}\left[(1-z^{-1})x(z)\right]=\underset{z\rightarrow 1}{Lim}\left[\sum_{k=0}^{\infty}x(k)z^{-k}-\sum_{k=0}^{\infty}x(k-1)z^{-k}\right]$

Resolviendo el limite en el lado derecho y juntando los dos sumatórios:

$\underset{z\rightarrow 1}{Lim}\left[(1-z^{-1})x(z)\right]=\sum_{k=0}^{\infty}\left[x(k)-x(k-1)\right]$

si se abre el sumatorio del lado derecho, se puede notar que el único coeficiente que queda es $x(\infty)$ y el resto de coeficientes son cancelados, y recordando que $x(kT)=0$ para todo instante de tiempo $k<0$ .

$\sum_{k=0}^{\infty}\left[x(k)-x(k-1)\right]=[x(0)-x(-1)]+[x(1)-x(0)]+[x(2)-x(1)]+\cdots+[x(\infty)-x(\infty-1)]$

De esa forma llegamos al teorema del valor final discreto en ecuaciones en diferencias y en transformada Z

$x(\infty)=\underset{Diferencias}{\underbrace{\underset{k\rightarrow \infty}{Lim}\left[x(k)\right ]}}=\underset{Transformada Z}{\underbrace{\underset{z\rightarrow 1}{Lim}\left[(1-z^{-1})x(z)\right ]}}$

Teorema de Valor Inicial

Entendamos ahora como funciona el Teorema de Valor Inicial con Transformada Z:

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En el caso discreto es simple obtener el teorema del valor inicial, para eso tomamos la definición de la transformada Z

$x(z)=\sum_{k=0}^{\infty}x(kT)z^{-k}=x(0)+x(1)z^{-1}+x(2)z^{-2}+\cdots+x(\infty)z^{-\infty}$

Aquí, estamos interesados en saber cual es el primer valor, o sea $x(0)$ , por lo tanto debo eliminar los demás términos. Note que si $z=\infty$ todos los términos van a desaparecer, porque $z^{-1}=\dfrac{1}{z}=\dfrac{1}{\infty}=0$ , por lo tanto el teorema de valor inicial discreto en ecuaciones en diferencias y transformada Z es:

$x(0)=\underset{Diferencias}{\underbrace{\underset{k\rightarrow 0}{Lim}\left[x(k)\right ]}}=\underset{Transformada Z}{\underbrace{\underset{z\rightarrow \infty}{Lim}\left[x(z)\right ]}}$

Ejemplos de Teorema de Valor Final y Inicial

Encontrar el valor final y el valor inicial de los siguientes sistemas:

$G(s)=\dfrac{s+4}{s^2+2s+5}$ , $u(s)=\dfrac{1}{s}$
$G(s)=\dfrac{s^3-4s^2+3s+2}{s^3+2s^2+5s+1}$ , $u(s)=\dfrac{4}{s}$
$G(z)=\dfrac{0.3z^{-1}+0.45z^{-2}}{1-0.8z^{-1}+0.5z^{-2}}$ , $u(z)=\dfrac{1}{1-z^{-1}}$
$G(z)=\dfrac{0.3+0.45z^{-1}+0.9z^{-2}}{1-0.8z^{-1}+0.5z^{-2}}$ , $u(z)=\dfrac{1}{1-z^{-1}}$

Solución

A continuación está la solución de los ejercicios propuesto arriba, para ver la solución solo basta con compartir el contenido de este post con cualquiera de los siguientes tres botones, de esa manera ayudas que este sitio web continue aportando contenido gratuito y de calidad.

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1. Valor final

$f(\infty)=\underset{s\rightarrow 0}{Lim}\left[ sG(s)\right ]$

$f(\infty)=\underset{s\rightarrow 0}{Lim}\left[ s\dfrac{s+4}{s(s^2+2s+5)}\right ]=\dfrac{4}{5}$

Valor Inicial

$f(0)=\underset{s\rightarrow \infty}{Lim}\left[ s\dfrac{s+4}{s(s^2+2s+5)}\right ]=0$

2. Valor Final

$f(\infty)=\underset{s\rightarrow 0}{Lim}\left[ s\dfrac{4(s^3-4s^2+3s+2)}{s(s^3+2s^2+5s+1)}\right ]=8$

Valor Inicial

$y(s)=G(s)u(s)$

$f(0)=\underset{s\rightarrow \infty}{Lim}\left[ sy(s)\right ]$

$f(0)=\underset{s\rightarrow \infty}{Lim}\left[ s\dfrac{4(s^3-4s^2+3s+2)}{s(s^3+2s^2+5s+1)}\right ]$

Resolviendo:

$f(0)=\underset{s\rightarrow \infty}{Lim}\left[ \dfrac{4(\dfrac{s^3}{s^3}-\dfrac{4s^2}{s^3}+\dfrac{3s}{s^3}+\dfrac{2}{s^3})}{(\dfrac{s^3}{s^3}+\dfrac{2s^2}{s^3}+\dfrac{5s}{s^3}+\dfrac{1}{s^3})}\right ]$

$f(0)=\underset{s\rightarrow \infty}{Lim}\left[ \dfrac{4(1-\dfrac{4}{s}+\dfrac{3}{s^2}+\dfrac{2}{s^3})}{(1+\dfrac{2}{s}+\dfrac{5}{s^2}+\dfrac{1}{s^3})}\right ]$

$f(0)=\dfrac{4\left(1-0+0+0\right)}{1+0+0+0}=4$

3. Valor Final

$y(z)=G(z)u(z)$

$y(\infty)=\underset{z\rightarrow 1}{Lim}\left[(1-z^{-1})y(z)\right ]$

$y(\infty)=\underset{z\rightarrow 1}{Lim}\left[(1-z^{-1})\dfrac{1}{1-z^{-1}}\dfrac{0.3z^{-1}+0.45z^{-2}}{1-0.8z^{-1}+0.5z^{-2}}\right ]=1.0714$

Valor Inicial

$y(0)=\underset{z\rightarrow infty}{Lim}\left[\dfrac{1}{1-z^{-1}}\dfrac{0.3z^{-1}+0.45z^{-2}}{1-0.8z^{-1}+0.5z^{-2}}\right ]=0$

4. Valor Final

$y(\infty)=\underset{z\rightarrow 1}{Lim}\left[(1-z^{-1})\dfrac{1}{1-z^{-1}}\dfrac{0.3+0.45z^{-1}+0.9z^{-2}}{1-0.8z^{-1}+0.5z^{-2}}\right ]=2.3571$

Valor Inicial

$y(z)=G(z)u(z)$

$y(0)=\underset{z\rightarrow \infty}{Lim}\left[y(z)\right ]$

$y(0)=\underset{z\rightarrow \infty}{Lim}\left[\dfrac{1}{1-z^{-1}}\dfrac{0.3+0.45z^{-1}+0.9z^{-2}}{1-0.8z^{-1}+0.5z^{-2}}\right ]=0.3$

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Eso es todo por la entrada del dia de hoy, espero les haya gustado y hayan aprendido algo nuevo. Si te ha servido el contenido de esta entrada, de los videos y los códigos de implementación y deseas apoyar mi trabajo invitandome a un café super barato, puedes hacerlo en el siguiente link:

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Sergio A. Castaño Giraldo

Mi nombre es Sergio Andres Castaño Giraldo, y en este sitio web voy a compartir una de las cosas que mas me gusta en la vida y es sobre la Ingeniería de Control y Automatización. El sitio web estará en constante crecimiento, voy a ir publicando material sobre el asunto desde temas básicos hasta temas un poco más complejos. Suscríbete al sitio web, dale me gusta a la página en Facebook y únete al canal de youtube. Espero de corazón que la información que comparto en este sitio, te pueda ser de utilidad. Y nuevamente te doy las gracias y la bienvenida a control automático educación.

Tiempo Continuo

Teorema de Valor Final

Teorema de Valor Inicial

Tiempo Discreto

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Ejemplos de Teorema de Valor Final y Inicial

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