▷ Modelado Matemático Tanque Cerrado

Saludos controleros y controleras, en la entrada del día de hoy continuamos analizando sistemas y en esta oportunidad entenderemos como representar fenomenológicamente a través de ecuaciones diferenciales el comportamiento dinámico de un tanque cerrado.

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Proceso

En la siguiente figura veremos una representación gráfica del modelo que deseamos analizar y modelar:

Esquema de Tanque Cerrado

Instrumentación Industrial

Del proceso anterior podemos evidenciar los instrumentos industriales de medida y de actuación que operan dentro de este sistema de automatización y control.

Como elementos actuadores, tenemos dos válvulas las cuales pueden ser válvulas de control o válvulas manuales que permitan regular la altura al interior del tanque cerrado.

Como elementos primarios de medición (sensores) tenemos instalado en la base del tanque un transmisor de presión diferencial el cual me sirver para monitorear o medir en todo momento la altura del liquido al interior del tanque empleando para eso la medición de presión.

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Hipotesis Iniciales

Para realizar el modelo matemático del sistema hidráulico conformado por un tanque cerrado, vamos a considerar las siguientes hipotesis para el levantamiento del modelo por primeros principios.

De manera general el flujo que pasa por una válvula en dado por:

𝑄_𝑣=𝐶_𝑣 𝑓(𝑥)\sqrt{\Delta 𝑃/\rho}

𝑄_𝑣=K_𝑣 𝑓(𝑥)\sqrt{\Delta 𝑃/\rho}

Q_v: Flujo a través da válvula
$K_v, C_v$ : una constante [ $K_v=0.86C_v$ , $C_v=1.16K_v$ ]
$f(x)$ : Área de paso
$\Delta P$ : Presión diferencial a través de la válvula.
$\rho$ : Densidad del liquido

Hipotesis 1

ΔP=constante
$f(a_1 )=a_1$ , (Abertura lineal)
$\rho$ : Densidad del liquido constante

q_i=k_1a_1

Hipotesis 2

$f(a_2 )=a_2$ , (Abertura lineal)
$\rho$ : Densidad del liquido constante

q_o=k_2a_2\sqrt{\Delta P / \rho}

Control PID con Raspberry Pi Pico

Modelo Matemático de un Tanque de Nivel

Medidor de Nivel

Modelado Matemático Tanque Cerrado

Comenzamos realizando el balance de materia dentro del tanque, donde el cambio de materia es igual a el caudal másico que entra ( $\dot{m_i}$ ), menos el caudal másico que sale ( $\dot{m_o}$ ):

\dfrac{dm}{dt}=\dot{m_i}-\dot{m_o}\ (1)

La densidad viene dado por la siguiente ecuación, donde podemos cambiar de caudal másico a caudal volumétrico:

\rho = \dfrac{m}{V} \rightarrow m=\rho V

\dfrac{m}{t}=\rho \dfrac{V}{t} \rightarrow \dot{m}=\rho Q

La ecuación anterior la podemos involucrar en la ecuación (1) asociando los caudales de entrada y salida del sistema:

\dfrac{dm}{dt}=\rho (q_i-q_o)\ (2)

Note que dentro del tanque tengo dos materias diferentes debido a que el tanque está cerrado, materia del líquido ( $m_l$ ) y materia del gas ( $m_g$ ). Por lo tanto la derivada puede ser expresada como:

\dfrac{dm_g+m_l}{dt}=\rho (q_i-q_o)\ (2)

La materia del liquido es muchisimo mayor a la masa del gás, por lo tanto la masa del gas la podemos considerar constante (derivada de una constante es cero) y separando las derivadas:

\dfrac{dm_g}{dt}+\dfrac{dm_l}{dt}=\rho (q_i-q_o)

0+\dfrac{dm_l}{dt}=\rho (q_i-q_o)

\dfrac{dm_l}{dt}=\rho (q_i-q_o)\ (3)

Si consideramos el tanque cilindrico, sabemos que el volumen de un cilindro es $V = Ah$ . Por lo tanto partiendo de la ecuación de la densidad, si sustituyo el volumen por el volumen del cilindro se tiene que $m_l=\rho Ah$ y esto lo puedo sustituir en la ecuación (3).

\dfrac{d(\rho Ah)}{dt}=\rho (q_i-q_o)\ (4)

Dado que el área y la densidad se mantienen constantes puedo sacarlas de la derivada.

\rho A\dfrac{dh}{dt}=\rho (q_i-q_o)\ (5)

A\dfrac{dh}{dt}=q_i-q_o\ (5)

Ecuación de salida de la válvula

Partiendo de la ecuación de salida de la válvula:

q_o=k_2a_2\sqrt{\Delta P / \rho}

Tenemos que

\Delta P = P_1-P_2

Mire que $P_2=P_{atm}=101023Pa$ porque sale directo hacia la atmosfera. Por lo tanto la presión 1 viene dado por la presión hidroestática del tanque ( $P_l$ ) y la presión del gas ( $P_g$ ), donde $g$ es la constante gravitacional:

\Delta P = P_l+P_g-P_{atm}

\Delta P = \rho g h+P_g-P_{atm} \ (6)

Sustituyendo (6) en la ecuación del caudal de salida:

q_o=k_2a_2\sqrt{\dfrac{\rho g h+P_g-P_{atm}}{\rho}}\ (7)

Ecuación diferencial de tanque cerrado

Sustituyendo (7) en (5) reemplazando directamente quien es el caudal de entrada que se obtiene de la hipotesis 1:

A\dfrac{dh}{dt}=k_1a_1-k_2a_2\sqrt{\dfrac{\rho g h+P_g-P_{atm}}{\rho}} \ (8)

Para modelar la presión del gas ( $P_g$ ) empleamos la ecuación del gas ideal

PV=nRT\ (9)

$P$ Presión
$V$ Volumen
$n$ numero de moles
$R$ constante de los gases, [ $R=8.3145 \dfrac{m^3Pa}{mol K}$ ]
$T$ temperatura (K)

Despejando de (9) podemos saber cual es la presión del gas:

P_g=\dfrac{nRT}{V_g}

El volumen del gas ( $V_g$ ) también puedo considerarlo como un volumen cilindrico. Donde gracias al transmisor de presión diferencial consigo medir la altura del liquido ( $h$ ). Dado que es fácil medir la altura total del tanque ( $H$ ) es posible determinar la altura del colchon de gas la cual viene dado por la ecuación $h_g=H-h$ , por lo tanto el volumen del gas es $V_g=A(H-h)$

P_g=\dfrac{nRT}{A(H-h)}\ (10)

Sustituyendo (10) en (8)

A\dfrac{dh}{dt}=k_1a_1-k_2a_2\sqrt{\dfrac{\rho g h+\dfrac{nRT}{A(H-h)}-P_{atm}}{\rho}} \ (11)

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Sergio A. Castaño Giraldo

Mi nombre es Sergio Andres Castaño Giraldo, y en este sitio web voy a compartir una de las cosas que mas me gusta en la vida y es sobre la Ingeniería de Control y Automatización. El sitio web estará en constante crecimiento, voy a ir publicando material sobre el asunto desde temas básicos hasta temas un poco más complejos. Suscríbete al sitio web, dale me gusta a la página en Facebook y únete al canal de youtube. Espero de corazón que la información que comparto en este sitio, te pueda ser de utilidad. Y nuevamente te doy las gracias y la bienvenida a control automático educación.