▷ Modelo Matemático de un Sistema Térmico

En esta entrada vamos a realizar el modelo matemático de un sistema térmico el cual puede ser reproducido a sistemas clásicos como hornos, refrigeradores, calderas, etc. Y vamos a comparar el modelo matemático con un sistema real para validar el modelo.

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Transferencia de Calor

Existen diferentes formas de transferencia de calor: por radiación, convección y conducción.

La transferencia de calor por radiación proviene del movimiento de partículas y se emite como fotones electromagnéticos principalmente como radiación infrarroja.

La transferencia de calor por convección se da a través del fluido circundante, como por ejemplo el aire. La convección puede ser forzada, por ejemplo usando un ventilador o puede ocurrir de forma natural.

La transferencia de calor por conducción es a través del contacto físico de dos materiales donde ocurre la transferencia de energía, pero, a diferencia de la convección, el material de contacto es estacionario

Modelos Térmicos

Vamos a ver el modelado térmico de un proceso, el cual vamos posteriormente modificar o controlar su temperatura.

Existen diversos procesos térmicos que podríamos analizar, a continuación vemos vários ejemplos de sistemas térmicos: horno, duchas, refrigeradores o calentamiento de calderas.

Diferentes ejemplos de sistemas térmicos

Para este caso, vamos a tomar un componente electrónico y vamos modelar su comportamiento dinámico.

Vamos a utilizar un transistor que será usado como un calentador, en este caso aprovechamos para usar una tarjeta conocida como el Laboratorio de control de temperatura, diseñada por el Profesor John D. Hedengren de la universidad de Brigham Young University.

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Posteriormente, en otra entrada vamos a realizar un control de temperatura con Arduino usando esta tarjeta.

Toda la información del modelo matemático que veremos a continuación junto con información adicional de la tarjeta, implementaciones de controladores en Matlab o Python pueden ser encontradas en la página de APMonitor o en el canal de YouTube de APMonitor.

A continuación veremos un ejemplo de modelado de sistemas térmicos con ejercicios resuletos, para este caso en particular haremos el modelado de forma física y matemática para su comparación. Y este es un perfecto ejemplo del modelado matemático de sistemas de control.

¿Qué es un Sistema Térmico?

Los sistemas térmicos son aquellos procesos donde están involucrado el almacenamiento y la transferencia de calor.

Cuando un objeto material almacena calor este se manifiesta como una temperatura más alta con relación a otro objeto. Por ejemplo, un pedazo de metal caliente tiene más calor almacenado que un pedazo de metal a temperatura ambiente.

El calor fluye entre los objetos mediante uno de tres mecanismos: conducción, convección (o transferencia de masa) y radiación.

La transferencia de calor por conducción ocurre cuando existe una diferencia de temperatura a través de un objeto. Por ejemplo, el flujo de calor que ocurre a través de la pared de una casa cuando la temperatura al interior de esta es más alta (o más baja) que la temperatura del exterior.

La transferencia de calor por convección implica el flujo de calor a través de un medio líquido o gaseoso, como cuando un ventilador sopla aire frío a través de un objeto caliente; el aire se lleva parte del calor del objeto.

Transferencia de calor por radiación, como transferencia conductiva, es causado por una diferencia de temperatura entre objetos, no requiere un medio físico para el flujo de calor (es decir, el calor radiativo puede fluir a través del vacío). Está ejemplificado por la transferencia de calor del sol a la tierra.

Modelo Matemático de Sistema Térmico – Transistor BJT

En este proceso, vamos a necesitar conocer todo tipo de temperatura que entra y sale del sistema. Emplearemos ecuaciones famosas para el modelado de sistemas térmicos las cuales describimos a continuación.

T. Entrada: La temperatura del transistor aumenta a medida que la corriente eléctrica fluye a través del pequeño dispositivo

T. Salida: La energía que se dispersa fuera del transistor es provocada por dos mecanismos principales: convección y radiación.

$\dfrac{\Delta Q}{\Delta t}=Q_{in}-Q_{out}$

La temperatura de entrada:

Q_{in}=\alpha Q_i

$Q_i$ es el porcentaje de salida del calentador. El parámetro α es un factor que relaciona la salida del calentador (0-100%) con la potencia disipada por el transistor en vatios.

La temperatura de salida es dada por:

Q_{out}=k_T(T-T_{\infty})+\epsilon \sigma A (T^4-T_{\infty}^4)

El primer término de la ecuación se conoce como la Ley de enfriamiento de newton y el segundo como la Ley de Stefan-Boltzmann

$k_T$ constante de perdida para el ambiente, T temperatura del transistor,
$T_\infty$ temperatura del ambiente, ϵ emisividad, σ es la constante de Stefan-Boltzmann, A es el área

donde:

k_T=UA

U es el coeficiente de transferencia de calor, A es el área

Reemplazando valores tenemos que:

$\dfrac{\Delta Q}{\Delta t}=\alpha Q_i+UA(T_{\infty}-T)+\epsilon \sigma A (T_{\infty}^4-T^4)$

Utilizando el concepto de derivada

$\dfrac{d Q}{d t}=\alpha Q_i+UA(T_{\infty}-T)+\epsilon \sigma A (T_{\infty}^4-T^4)$

Podemos calcular el calor liberado o absorbido utilizando el calor específico, $c_p$ , la masa, $m$ , del componente y el cambio en temperatura $(T-T_{ref})$ en la ecuación:

Q=mc_p(T-T_{ref})

reemplazando tenemos:

$mc_p\dfrac{d T}{d t}-mc_p\dfrac{d T_{ref}}{d t}=\alpha Q_i+UA(T_{\infty}-T)+\epsilon \sigma A (T_{\infty}^4-T^4)$

Considerando que la temperatura de referencia es constante, por lo tanto la derivada da CERO, llegamos al modelo matemático de la temperatura del transistor:

$mc_p\dfrac{d T}{d t}=\alpha Q_i+UA(T_{\infty}-T)+\epsilon \sigma A (T_{\infty}^4-T^4)$

Medidores de Presión

Sistemas de Segundo Orden

Modelo Matemático de un Tanque de Nivel

Parámetros del Modelo

Los parámetros del modelo fueron tomados de la pagina de APMonitor, modificando el coeficiente de transferencia de calor y el factor del calentador para Mi caso específico:

Quantity	Value
Temperatura inicial (T0)	296.15 K (23^oC)
Temperatura Ambiente (T∞)	296.15 K (23^oC)
Salida del Calentador (Q)	0 to 1 W (0%-100%)
Factor del Calentador (α)	0.014 W/(% heater)
Capacidad Calorifica (C_p)	500 J/kg-K
Area de la superficie (A)	1.2×10^-3 m² (12 cm²)
Masa (m)	0.004 kg (4 gm)
Coeficiente de transferencia de calor(U)	5 W/m²-K
Emisividad (ε)	0.9
Stefan Boltzmann Constant (σ)	5.67×10^-8 W/m²-K⁴

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Linealización del Modelo Térmico

Por causa del término de $T^4$ agregado por la ecuación de radiación de la lay de Stefan Boltzmann, el modelo fenomenológico de la temperatura del transistor es NO lineal.

Procedemos a linealizar el modelo en un punto de equilibrio usando la expansion por series de Taylor.

Comenzamos definiendo el modelo como una función f:

$f(T,Q_i)=\dfrac{d T}{d t}=\dfrac{\alpha}{mc_p} Q_i+\dfrac{UA}{mc_p}(T_{\infty}-T)+\dfrac{\epsilon \sigma A}{mc_p} (T_{\infty}^4-T^4)$

Punto de Equilibrio

En el punto de equilibrio la derivada es nula, debido a que ya no existe más variación de temperatura dado que el sistema se ha estacionado.

0=\alpha Q_{is}+UA(T_{\infty s}-T_s)+\epsilon \sigma A (T_{\infty s}^4-T_s^4)

De esa forma llegamos a una ecuación algebraica de orden 4:

(\epsilon \sigma A)T_s^4+(UA)T_s-(\alpha Q_{is}+UAT_{\infty s}+\epsilon \sigma A T_{\infty s}^4)=0

Debemos encontrar las raíces de la ecuación anterior (serán 4 raíces) y seleccionar únicamente la raíz positiva. Note que la ecuación anterior depende de la entrada $Q_{is}$ que será la cantidad de potencia que vamos a aplicar al transistor para que genere calor.

La siguiente función en MATLAB puede ayudarlo a encontrar la raíz positiva de ese polinomio y entregar su resultado en grados Kelvin o en grados Celsius. Ta debe ser ingresada en Kelvin.

function [TK,TC] = T_ss(eps,sigma,A,U,Qi,Ta,alpha)
%Equilibrio
    p=[eps*sigma*A 0 0 U*A -alpha*Qi-U*A*Ta-eps*sigma*A*Ta^4];
    rp=roots(p);
    Ts=[];
    for i=1:4
        if isreal(rp(i)) && rp(i)>0
            Ts=[Ts;rp(i)];
        end
    end
  TK=Ts;
  TC=TK-273.15;

Series de Taylor

Aplicando las series de Taylor:

$\dfrac{dT}{dt}=\left.\begin{matrix}\dfrac{\partial f}{\partial T}\end{matrix}\right|_{T_s,Q_{is}}(T-T_s)+\left.\begin{matrix}\dfrac{\partial f}{\partial Q_i}\end{matrix}\right|_{T_s,Q_{is}}(Q_i-Q_{is})+f(T_s,Q_{is})$

Realizando las derivadas parciales con relación a la temperatura y a la entrada evaluando todo en los puntos de equilibrio encontrados anteriormente llegamos a la siguiente ecuación:

$\dfrac{dT}{dt}=\left(-\dfrac{UA}{mc_p}-\dfrac{4\epsilon \sigma A}{mc_p} T_s^3\right)\Delta T+\left( \dfrac{\alpha}{mc_p}\right)\Delta Q+\left.\begin{matrix}\dfrac{dT}{dt}\end{matrix}\right|_{T_s,Q_{is}}$

$\dfrac{d\Delta T}{dt}=\left(-\dfrac{UA}{mc_p}-\dfrac{4\epsilon \sigma A}{mc_p} T_s^3\right)\Delta T+\left( \dfrac{\alpha}{mc_p}\right)\Delta Q$

Función de Transferencia

Aplicando la transformada de Laplace al modelo lineal encontrado usando las series de Taylor:

$\Delta T(s)s+\left(\dfrac{UA}{mc_p}+\dfrac{4\epsilon \sigma A}{mc_p} T_s^3\right)\Delta T(s)=\left( \dfrac{\alpha}{mc_p}\right)\Delta Q(s)$

Ordenando tenemos que:

$\dfrac{\Delta T(s)}{\Delta Q(s)}=\dfrac{\left( \dfrac{\alpha}{mc_p}\right)}{s+\left(\dfrac{UA}{mc_p}+\dfrac{4\epsilon \sigma A}{mc_p} T_s^3\right)}$

Reemplazando los valores de la tabla y encontrando un punto de equilibrio cuando NO estoy inyectando potencia en el transistor $Q_{is}=0$ voy a encontrar que la temperatura en equilibrio será igual a la temperatura del ambiente $T_s=23C$ :

$G(s)=\dfrac{0.007}{s + 0.006213}$

Representando el sistema de primer orden en su forma estándar:

$G(s)=\dfrac{1.127}{160 s + 1}$

Retardo de Tiempo

Sin embargo, para que la temperatura en el transistor comience a ser evidenciado por el sensor, puede tomar algún tiempo.

Eso se conoce como el retardo del sistema. En nuestro caso, para dejar nuestro modelo mucho mas fiel al proceso real, podemos incrementar un retardo el cual podremos determinar experimentalmente (En mi caso encontré un retardo de 10 segundos).

Realizando experimentos, también opté por reducir un poco la ganancia de la función de transferencia.

$G(s)=\dfrac{1.04}{160 s + 1}e^{-10s}$

Validación del Modelo

A continuación veremos el comportamiento dinámico del sistema real vs los modelos lineales y no lineales que hemos desarrollado aquí:

Validación del Modelo Termodinámico

Descargar Código en Matlab

A continuación te dejo el código en matlab del modelo matemático del sistema térmico del transistor BJT donde se hace la comparación entre el modelo lineal y el modelo no lineal.

Descargar Códigos en Matlab

Eso es todo por la entrada del dia de hoy, espero les haya gustado y hayan aprendido algo nuevo. Si te ha servido el contenido de esta entrada, de los videos y los códigos de implementación y deseas apoyar mi trabajo invitandome a un café super barato, puedes hacerlo en el siguiente link:

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Que esten muy bien, nos vemos en la siguiente entrada.

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Sergio A. Castaño Giraldo

Mi nombre es Sergio Andres Castaño Giraldo, y en este sitio web voy a compartir una de las cosas que mas me gusta en la vida y es sobre la Ingeniería de Control y Automatización. El sitio web estará en constante crecimiento, voy a ir publicando material sobre el asunto desde temas básicos hasta temas un poco más complejos. Suscríbete al sitio web, dale me gusta a la página en Facebook y únete al canal de youtube. Espero de corazón que la información que comparto en este sitio, te pueda ser de utilidad. Y nuevamente te doy las gracias y la bienvenida a control automático educación.