6. Transformada de Laplace en An谩lisis de Sistemas
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En la entrada del dia de hoy, entender谩s la importancia de la transformada de Laplace en el an谩lisis de sistemas din谩micos y en la propia teoria del control. Donde veremos adem谩s como funcionan las difernetes perturbaciones en laplace, como la tansformada de laplace escal贸n, rampa, seno, impulso, etc.

Con esto le daremos continuidad a nuestro curso de聽聽馃憠 an谩lisis de sistemas din谩micos.

Introducci贸n

Hasta este punto del curso hemos podido comprender, que los sistemas din谩micos podemos representarlos por medio de ecuaciones diferenciales o ecuaciones algebraico-diferenciales, los cuales describen el comportamiento de mi sistema. Junto con esto, aprendimos que los sistemas No Lineales los podemos linealizar en torno de un punto de equilibrio que generalmente son los estados estacionarios del sistema.

Por ultimo aprendimos que podemos expresar la representaci贸n din谩mica de los procesos utilizando la transformada de Laplace, con el objetivo de transformar las ecuaciones diferenciales en ecuaciones algebraicas que facilitan el an谩lisis y entendimiento del sistema. Ese tipo de representaci贸n por transformada de Laplace es conocida como una representaci贸n entrada-salida y viene dada por la siguiente figura:

Funci贸n de Transferencia

Pongamos un ejemplo, si tuvi茅ramos un proceso industrial (un reactor), representado en la siguiente figura:

Reactor de Van de Vusse

sabemos que haciendo las hip贸tesis necesarias, puedo representar el comportamiento del componente B聽producido al interior del reactor, a trav茅s de una ecuaci贸n diferencial:

\dfrac{d(C_B)}{dt}=-\dfrac{F}{V}C_B+k_1C_A-K_2C_B

y que dicha representaci贸n de ecuaciones diferenciales puedo representarla en su forma lineal, linealizando en un punto de equilibrio, por medio de su representaci贸n en espacio de estados:

\dot{x}(t)=Ax(t)+Bu(t)

y(t)=Cx(t)+Du(t)

o tambi茅n por medio de su representaci贸n en entrada – salida, conocida como funci贸n de transferencia utilizando la transformada de Laplace:

G(s)=\dfrac{y(s)}{u(s)}=\dfrac{N(s)}{D(s)}

O incluso puedo aplicar transformada de Lapace sobre la representaci贸n de espacio de estados, para llevar todo al dominio transformado de “s”

sx(s)=Ax(s)+Bu(s)

y(s)=Cx(s)+Du(s)

La entrada u(t) puede tener un efecto diferente en la salida de nuestro sistema.

Por esa raz贸n se vuelve interesante analisar de que forma y con que intensidad el sistema o proceso responde ante una determinada se帽al de excitaci贸n en la entrada.

Los sistemas lineales en tiempo continuo pueden ser representados de las siguientes maneras: Normalmente un sistema lineal se representa en espacio de estados en el dominio del timepo, y este puede ser convertido en una funcion de transferencia (dominio de Laplace), respuesta en el dominio de la frecuencia (utilizando transformada de Fourier) o en una respuesta a partir de una integral de convoluci贸n (utilizando respuesta impulsional)

Transformada de Laplace

Ya hab铆amos visto que la transformada de Laplace es una herramienta que me permite pasar del dominio del tiempo, al dominio de la frecuencia compleja “s”. La transformada de Laplace por lo tanto est谩 definida por la siguiente ecuaci贸n:

F(s)=\int_{0}^{\infty}{f(t)e^{-st}dt}=\lim_{T\rightarrow \infty}{\int_{0}^{T}f(t)e^{-st}}

donde comunmente podemos expresarla como

F(s)=L \left[ f(t) \right]

Algunas de las propiedades de la transformada de Laplace son:

  1. F(s) me va a dar informaci贸n del comportamiento del sistema apenas en t>0
  2. – La transformada de Laplace es una operaci贸n Lineal
  3. – Existe tambi茅n la transformada inversa de Laplace, la cual tambi茅n es Lineal y me sirve como herramienta para volver al dominio del tiempo.

Algunos resultados interesantes que podemos hacer con la transformada de Laplace son los siguientes:

Transformadas de Laplace de derivadas de primer orden:

L \left[ \dfrac{df(t)}{dt} \right]=sF(s)-f(0)

Transformadas de Laplace de derivadas de orden superior:

L \left[ \dfrac{d^2f(t)}{dt} \right]=s^2F(s)-sf(0)-f'(0)

L \left[ \dfrac{d^3f(t)}{dt} \right]=s^3F(s)-s^2f(0)-sf'(0)-f''(0)

La transformada de Laplace de una integral:

L \left[ \int_{0}^{t}{f(\psi)d\psi} \right]=\dfrac{1}{s}F(s)

Pripiedad de traslaci贸n en el tiempo (shift) de la transformada de Laplace

L \left[ f(t-a)H(t-a) \right]=e^{-as}F(s)

Perturbaciones tipicas en un sistema din谩mico:

Veamos las diferentes representaciones en la transformada de Laplace de las se帽ales de un sistema de control:

Transformada de Laplace de un Escal贸n

La transformada de laplace escal贸n en el tiempo viene dada por la expresi贸n:

u(t)\left\{\begin{matrix}  0&t<0 \\  A &t\geq0  \end{matrix}\right.

Escal贸n

Que indica que se sufre un cambio de 0 hasta una magnitud A. No obstante a partir de la funci贸n escal贸n aparece una funci贸n muy importante usada en el analisis de sistema llamada funci贸n de Heaviside o escal贸n unitario ($H(t)$ representada por:

H(t)\left\{\begin{matrix}  0&t<0 \\  1 &t\geq0  \end{matrix}\right.

Heaviside

Heaviside es muy importante, porque puedo multiplicar esa se帽al por cualquier otra se帽al y tendr茅 como resultado que el valor de esta segunda se帽al tenga validez solo desde el tiempo cero hasta infinito. Por ejemplo si multiplico el Heaviside por una funci贸n seno, voy a tener que la funci贸n seno solo va a valer desde 0 hasta infinito como se observa en la siguiente figura:

Producto de Se帽ales con Heaviside

La funci贸n escal贸n viene dado por la siguiente ecuaci贸n:

u(s)=L \left[ u(t) \right]=\dfrac{A}{s}

Donde la funci贸n escal贸n unit谩rio se representa con la amplitud (A=1)

Transformada de Laplace de un聽Pulso Rectangular:

La funci贸n pulso en el dominio de laplace se expresa en el tiempo como:

u(t)\left\{\begin{matrix}  0&t<0 \\  A &0\leq t \leq b\\  0 & t>b  \end{matrix}\right.

Pulso

En terminos de H(t), seria la resta de dos escalones, donde se tiene como resultado el pulso rectangualar.

u(t)=A[H(t)-H(t-b)]

donde

H(t-b)\left\{\begin{matrix}  0&t<b \\  1 &t\geq b  \end{matrix}\right.

Resta de Heavisides

La transformada de Laplace de un pulso rectangular es:

u(s)=\dfrac{A}{s}\left( 1-e^{-bs} \right)

Transformada de Laplace de un聽Impulso:

La funci贸n impulso viene representada por

u(t)=A\delta(t)

Impulso

\delta(t) es llamado de Delta de Dirac

\delta(t)\left\{\begin{matrix}  \infty&t=0 \\  0 & para\ otro\ t  \end{matrix}\right.

La transformada de Laplace de un impulso ideal es:

u(s)=L \left[ A\delta(t) \right]=A

Transformada de Laplace Rampa:

La funci贸n rampa se puede obtener a partir de la integraci贸n de la funci贸n escal贸n

rampa

u(t)\left\{\begin{matrix}  0&t\leq0 \\  At &t>0  \end{matrix}\right.

La transformada de Laplace de una rampa es:

u(s)=L \left[ u(t) \right]=\dfrac{A}{s^2}

Transformada de Laplace聽Senoidal:

Seno

u(t)\left\{\begin{matrix}  0&t\leq0 \\  Asen(\omega t) &t>0  \end{matrix}\right.

La transformada de Laplace de una funci贸n senoidal es:

u(s)=L \left[ u(t) \right]=\dfrac{A\omega}{s^2+\omega^2}

 

A continuaci贸n dejo disponible la tabla con las transformadas de Laplace que usaremos en las pr贸ximas entradas para resolver problemas t铆picos de analisis de sistemas y de teoria de control, donde encontraremos la respuesta temporal de los sistemas que estamos estudiando. Para descargar la tabla, debes compartir este contenido en una de tus redes sociales o suscribirte al canal de Youtube, con el objetivo de apoyar este blog, para que siga aportando contenido gratuito y de calidad.

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A continuaci贸n te dejo la tabla con las transformadas de Lapace para que desarrollemos ejercicios en las pr贸ximas entradas, para descargar basta con dar CLICK AQUI.

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Transformada de Laplace en Sistemas Din谩micos
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Transformada de Laplace en Sistemas Din谩micos
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La transformada de Laplace es una transformaci贸n de integrales que nos permite pasar un sistema del dominio del tiempo al dominio de la variable compleja "s", con el fin de poder solucionar nuestro problema a trav茅s de ecuaciones algebraicas, para posteriormente volver al dominio del tiempo con la transformada inversa de Laplace.
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