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Transformada de Laplace en Análisis de Sistemas

En la entrada del dia de hoy, entenderás la importancia de la transformada de Laplace en el análisis de sistemas dinámicos y en la propia teoria del control. Donde veremos además como funcionan las difernetes perturbaciones en laplace, como la tansformada de laplace escalón, rampa, seno, impulso, etc.

Con esto le daremos continuidad a nuestro curso de  ðŸ‘‰ análisis de sistemas dinámicos.

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Introducción a la Transformada de Laplace

Hasta este punto del curso hemos podido comprender, que los sistemas dinámicos podemos representarlos por medio de ecuaciones diferenciales o ecuaciones algebraico-diferenciales, los cuales describen el comportamiento de mi sistema. Junto con esto, aprendimos que los sistemas No Lineales los podemos linealizar en torno de un punto de equilibrio que generalmente son los estados estacionarios del sistema.

Por ultimo aprendimos que podemos expresar la representación dinámica de los procesos utilizando la transformada de Laplace, con el objetivo de transformar las ecuaciones diferenciales en ecuaciones algebraicas que facilitan el análisis y entendimiento del sistema. Ese tipo de representación por transformada de Laplace es conocida como una representación entrada-salida y viene dada por la siguiente figura:

Función de Transferencia

Pongamos un ejemplo, si tuviéramos un proceso industrial (un reactor), representado en la siguiente figura:

Reactor de Van de Vusse

sabemos que haciendo las hipótesis necesarias, puedo representar el comportamiento del componente B producido al interior del reactor, a través de una ecuación diferencial:

\dfrac{d(C_B)}{dt}=-\dfrac{F}{V}C_B+k_1C_A-K_2C_B

y que dicha representación de ecuaciones diferenciales puedo representarla en su forma lineal, linealizando en un punto de equilibrio, por medio de su representación en espacio de estados:

\dot{x}(t)=Ax(t)+Bu(t)

y(t)=Cx(t)+Du(t)

o también por medio de su representación en entrada – salida, conocida como función de transferencia utilizando la transformada de Laplace:

G(s)=\dfrac{y(s)}{u(s)}=\dfrac{N(s)}{D(s)}

O incluso puedo aplicar transformada de Lapace sobre la representación de espacio de estados, para llevar todo al dominio transformado de “s”

sx(s)=Ax(s)+Bu(s)

y(s)=Cx(s)+Du(s)

La entrada u(t) puede tener un efecto diferente en la salida de nuestro sistema.

Por esa razón se vuelve interesante analisar de que forma y con que intensidad el sistema o proceso responde ante una determinada señal de excitación en la entrada.

Los sistemas lineales en tiempo continuo pueden ser representados de las siguientes maneras: Normalmente un sistema lineal se representa en espacio de estados en el dominio del timepo, y este puede ser convertido en una funcion de transferencia (dominio de Laplace), respuesta en el dominio de la frecuencia (utilizando transformada de Fourier) o en una respuesta a partir de una integral de convolución (utilizando respuesta impulsional)

Transformada de Laplace

Ya habíamos visto que la transformada de Laplace es una herramienta que me permite pasar del dominio del tiempo, al dominio de la frecuencia compleja “s”. La transformada de Laplace por lo tanto está definida por la siguiente ecuación:

F(s)=\int_{0}^{\infty}{f(t)e^{-st}dt}=\lim_{T\rightarrow \infty}{\int_{0}^{T}f(t)e^{-st}}

donde comunmente podemos expresarla como

F(s)=L \left[ f(t) \right]

Algunas de las propiedades de la transformada de Laplace son:

  1. F(s) me va a dar información del comportamiento del sistema apenas en t>0
  2. – La transformada de Laplace es una operación Lineal
  3. – Existe también la transformada inversa de Laplace, la cual también es Lineal y me sirve como herramienta para volver al dominio del tiempo.

Algunos resultados interesantes que podemos hacer con la transformada de Laplace son los siguientes:

Transformadas de Laplace de derivadas de primer orden:

L \left[ \dfrac{df(t)}{dt} \right]=sF(s)-f(0)

Este tipo de transformada de Laplace, donde aparece la variable compleja s con exponente uno, es tipica de los sistemas de primer orden.

Transformadas de Laplace de derivadas de orden superior:

L \left[ \dfrac{d^2f(t)}{dt} \right]=s^2F(s)-sf(0)-f'(0)

L \left[ \dfrac{d^3f(t)}{dt} \right]=s^3F(s)-s^2f(0)-sf'(0)-f''(0)

La transformada de Laplace de una integral:

L \left[ \int_{0}^{t}{f(\psi)d\psi} \right]=\dfrac{1}{s}F(s)

Pripiedad de traslación en el tiempo (shift) de la transformada de Laplace

L \left[ f(t-a)H(t-a) \right]=e^{-as}F(s)

Perturbaciones tipicas en un sistema dinámico:

Veamos las diferentes representaciones en la transformada de Laplace de las señales de un sistema de control:

Transformada de Laplace de un Escalón

La transformada de laplace escalón en el tiempo viene dada por la expresión:

u(t)\left\{\begin{matrix} 0&t<0 \\ A &t\geq0 \end{matrix}\right.

Escalón

Que indica que se sufre un cambio de 0 hasta una magnitud A. No obstante a partir de la función escalón aparece una función muy importante usada en el analisis de sistema llamada función de Heaviside o escalón unitario ($H(t)$ representada por:

H(t)\left\{\begin{matrix} 0&t<0 \\ 1 &t\geq0 \end{matrix}\right.

Heaviside

Heaviside es muy importante, porque puedo multiplicar esa señal por cualquier otra señal y tendré como resultado que el valor de esta segunda señal tenga validez solo desde el tiempo cero hasta infinito. Por ejemplo si multiplico el Heaviside por una función seno, voy a tener que la función seno solo va a valer desde 0 hasta infinito como se observa en la siguiente figura:

Producto de Señales con Heaviside

La función escalón viene dado por la siguiente ecuación:

u(s)=L \left[ u(t) \right]=\dfrac{A}{s}

Donde la función escalón unitário se representa con la amplitud (A=1)

Transformada de Laplace de un Pulso Rectangular:

La función pulso en el dominio de laplace se expresa en el tiempo como:

u(t)\left\{\begin{matrix} 0&t<0 \\ A &0\leq t \leq b\\ 0 & t>b \end{matrix}\right.

Pulso

En terminos de H(t), seria la resta de dos escalones, donde se tiene como resultado el pulso rectangualar.

u(t)=A[H(t)-H(t-b)]

donde

H(t-b)\left\{\begin{matrix} 0&t<b \\ 1 &t\geq b \end{matrix}\right.

Resta de Heavisides

La transformada de Laplace de un pulso rectangular es:

u(s)=\dfrac{A}{s}\left( 1-e^{-bs} \right)

Transformada de Laplace de un Impulso:

La función impulso viene representada por

u(t)=A\delta(t)

Impulso

\delta(t)

es llamado de Delta de Dirac

\delta(t)\left\{\begin{matrix} \infty&t=0 \\ 0 & para\ otro\ t \end{matrix}\right.

La transformada de Laplace de un impulso ideal es:

u(s)=L \left[ A\delta(t) \right]=A

Transformada de Laplace Rampa:

La función rampa se puede obtener a partir de la integración de la función escalón

rampa

u(t)\left\{\begin{matrix} 0&t\leq0 \\ At &t>0 \end{matrix}\right.

La transformada de Laplace de una rampa es:

u(s)=L \left[ u(t) \right]=\dfrac{A}{s^2}

Transformada de Laplace Senoidal:

Seno

u(t)\left\{\begin{matrix} 0&t\leq0 \\ Asen(\omega t) &t>0 \end{matrix}\right.

La transformada de Laplace de una función senoidal es:

u(s)=L \left[ u(t) \right]=\dfrac{A\omega}{s^2+\omega^2}

Descargar Tabla de Transformada de Laplace

A continuación dejo disponible la tabla con las transformadas de Laplace que usaremos en las próximas entradas para resolver problemas típicos de analisis de sistemas y de teoria de control, donde encontraremos la respuesta temporal de los sistemas que estamos estudiando. Para descargar la tabla, debes compartir este contenido en una de tus redes sociales o suscribirte al canal de Youtube, con el objetivo de apoyar este blog, para que siga aportando contenido gratuito y de calidad.


Eso es todo por la entrada del dia de hoy, espero les haya gustado y hayan aprendido algo nuevo. Si te ha servido el contenido de esta entrada, de los videos y los códigos de implementación y deseas apoyar mi trabajo invitandome a un café super barato, puedes hacerlo en el siguiente link:

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Que esten muy bien, nos vemos en la siguiente entrada.

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Transformada de Laplace en Sistemas Dinámicos
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Transformada de Laplace en Sistemas Dinámicos
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La transformada de Laplace es una transformación de integrales que nos permite pasar un sistema del dominio del tiempo al dominio de la variable compleja "s", con el fin de poder solucionar nuestro problema a través de ecuaciones algebraicas, para posteriormente volver al dominio del tiempo con la transformada inversa de Laplace.
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