Respuesta en el Tiempo usando Transformada de Laplace
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Para encontrar la respuesta en el tiempo de un sistema dinámico vamos a utilizar la transformada de Laplace para poder resolver las ecuaciones diferenciales que describen el comportamiento del sistema por medio del dominio transformado “s”, esto nos da la facilidad de poder tratar el problema de forma algebraica pues vamos a conocer cual es la dinámica de nuestro proceso expandiendo las funciones de transferencia en fracciones parciales y al final simplemente aplicamos transformada inversa de laplace para retomar el sistema en el dominio del tiempo. Si aplicamos esos tres pasos en un sistema de segundo orden por ejemplo, vamos a tener lo siguiente:

La ecuación diferencial de un sistema de segundo orden cualquiera viene dado por:

a_2\dfrac{d^2y(t)}{dt^2}+a_1\dfrac{dy(t)}{dt}+a_0y(t)=bu(t)

Paso 1:

Transformar la ecuación diferencial en una ecuación algebraica en la variable transformada “s” de Laplace

\mathscr{L}\left\{ a_2\dfrac{d^2y(t)}{dt^2}+a_1\dfrac{dy(t)}{dt}+a_0y(t)\right\}=\mathscr{L}\{bu(t)\}

Aplicando las propiedades de la ransformada de Laplace que vimos en la entrada pasada, junto con la tabla (Click aqui para ver la entrada pasada) tenemos que:

\mathscr{L}\left\{ a_2\dfrac{d^2y(t)}{dt^2}\right\}=a_2\left[ s^2Y(s)-sy(0)-\dfrac{dy}{dt}(0)\right]

\mathscr{L}\left\{ a_1\dfrac{dy(t)}{dt}\right\}=a_1\left[ sY(s)-sy(0)\right]

\mathscr{L}\left\{ a_0y(t)\right\}=a_0Y(s)

\mathscr{L}\left\{ bu(t)\right\}=bU(s)

Nuestra ecuación va a tener la siguiente forma:

(a_2s^2+a_1s+a_0)Y(s)-(a_2s+a_1)y(0)-a_2\dfrac{dy}{dt}(0)=bU(s)

Paso 2:

Realizamos Maipulación algebraica para resolver la variable de salida Y(s) con relacion a la variable de entrada U(s)

Y(s)=\dfrac{bU(s)+(a_2s+a_1)y(0)+a_2\dfrac{dy}{dt}(0)}{a_2s^2+a_1s+a_0}

Paso 3:

Realizamos la Transformada Inversa de Laplace del resultado obtenido de la salida [/latex]Y(s)[/latex]

y(t)=\mathscr{L}^{-1}\{Y(s)\}

y(t)=\mathscr{L}^{-1}\left\{\dfrac{bU(s)+(a_2s+a_1)y(0)+a_2\dfrac{dy}{dt}(0)}{a_2s^2+a_1s+a_0}\right\}

Generalizando

Ahora, pensemos de forma general si tenemos una ecuación diferencial de orde n:

a_n\dfrac{d^ny(t)}{dt^n}+a_{n-1}\dfrac{d^{n-1}y(t)}{dt^{n-1}}+\cdots+ a_0y(t)=b_m\dfrac{d^mu(t)}{dt^m}+b_{m-1}\dfrac{d^{m-1}u(t)}{dt^{m-1}}+ \cdots +b_0u(t)

Suponiendo que todas las condiciones iniciales son cero, de forma general una funcion de transferencia de un sistema monovariable, es representado por la siguiente división de polinomios

\dfrac{Y(s)}{U(s)}=\dfrac{b_ms^m+b_{m-1}s^{m-1}+\cdots+b_1s+b_0}{s^n+a_{n-1}s^{n-1}+\cdots+a_1s+a_0}=\dfrac{N(s)}{D(s)}=G(s)

donde n>=1.

 

Raíces Reales y Distintas

Si por ejemplo las raíces del polinomio del denominador de la expresión de salida de nuestro proceso son distintas iguales a p_1,p_2,\cdots,p_n, podemos factorizar nuestra función de transferencia de la siguiente forma:

Y(s)=G(s)U(s)=\dfrac{N(s)}{(s-p_1)(s-p_2)\cdots(s-p_n)}

Esta ultima expresión puede ser expandida en fracciones parciales en el caso de tener raices reales distintas asi:

Y(s)=G(s)U(s)=\dfrac{A_1}{s-p_1}+\dfrac{A_2}{s-p_2}+\cdots+\dfrac{A_n}{s-p_n}

La idea de utilizar las fracciones parciales es que se pueden usar las propiedades de linealidad de la transformada de Laplace donde la transformada inversa de Laplace se reduce a la suma de transformadas inversas simples, que podemos determinar usando la tabla.

Para poder determinar los coeficientes A_1,A_2,\cdots,A_n basta con aplicar la siguiente ecuación:

A_i=\underset{s\rightarrow p_i}{Lim}(s-p_i)\dfrac{N(s)}{D(s)}

donde i=1,2,3,…,n.

Raíces con Multiplicidad

En el caso de tener raíces repetidas (multiplicidad), podemos factorizar la función de transferencia como:

Y(s)=G(s)U(s)=\dfrac{N(s)}{(s-p_1)^m}

la expresión en fracciones parciales queda representada de la siguiente forma:

Y(s)=G(s)U(s)=\dfrac{A_1}{s-p_1}+\dfrac{A_2}{(s-p_1)^2}+\cdots+\dfrac{A_m}{(s-p_1)^m}

Para poder determinar los coeficientes A_1,A_2,\cdots,A_m basta con aplicar las siguientes dos ecuaciones:

Para encontrar el ultimo coeficiente

A_m=\underset{s\rightarrow p_1}{Lim}(s-p_1)^m\dfrac{N(s)}{D(s)}

Para encontrar el resto de coeficientes aplicamos la siguiente ecuación, donde k=m-1,m-2,m-3,\cdots,3,2,1

A_k=\dfrac{1}{(m-k)!}\underset{s\rightarrow p_1}{Lim}\left[\dfrac{d^{m-k}}{ds^{m-k}}\left((s-p_1)^m\dfrac{N(s)}{D(s)}\right)\right]

Raíces Complejas Conjugadas

Cuando nuestro sistema contiene polos complejos conjugados tendrá la forma de:

Y(s)=G(s)U(s)=\dfrac{N(s)}{s^2+2\alpha s + (\alpha^2+\beta^2)}

Donde los polos complejos conjugados serian:

p=\alpha+\beta i y \bar{p}=\alpha-\beta i

que se obtienen de:

D(s)=(s-p)(s-\bar{p})=(s-\alpha)^2+\beta^2

La expanción en fracciones parciales puede hacerse como una descomposición de factores de segundo grado

Y(s)=G(s)U(s)=\dfrac{N(s)}{s^2+2\alpha s + (\alpha^2+\beta^2)}=\dfrac{N(s)}{(s-\alpha)^2+\beta^2}

descomponiendo en fracciones parciales colocando un polinomio en el numerador de un orden menor al denominador. En este caso como tenemos un denominador de segundo grado, vamos a colocar un polinomio en el numerador de primer grado As+B.

Y(s)=\dfrac{N(s)}{s^2+bs+a}=\dfrac{N(s)}{(s-\alpha)^2+\beta^2}=\dfrac{As+B}{(s-\alpha)^2+\beta^2}

La solución de un sistema de segundo grado con raíces complejas se reduce en este caso a una igualdad entre los dos polinomios del numerador:

N(s)=As+B

Solo resta eliminar los denominadores e igualar todos los coeficientes de los polinomios restantes, En este caso especifico sería N(s) con los coeficientes del polinomio As+B y obtendremos un sistema de ecuaciones donde podremos determinar el valor de A y B (Esto es algebrismo, y no es el objetivo de la entrada enseñar a solucionar fracciones parciales igual en los ejemplos te puede quedar un poco más claro)

Otra forma de encontrar los coeficientes de las fracciones parciales de polos complejos conjugados sin multiplicidad es adicionando a la expansión por fraciones la suma y resta de A\alpha:

Y(s)=\dfrac{N(s)}{s^2+bs+a}=\dfrac{As+B+A\alpha-A\alpha}{(s-\alpha)^2+\beta^2}

resolviendo podemos reescribirlo de la siguiente forma:

Y(s)=\dfrac{A(s-\alpha)}{(s-\alpha)^2+\beta^2}+\dfrac{A\alpha+B}{(s-\alpha)^2+\beta^2}

Que podriamos reorganizar para llevarlo a la misma forma de Senos y Cosenos expuestos en la tabla de la transformada de Laplace de la siguiente forma

Y(s)=A\left[\dfrac{(s-\alpha)}{(s-\alpha)^2+\beta^2}\right]+\dfrac{A\alpha+B}{\beta}\left[\dfrac{\beta}{(s-\alpha)^2+\beta^2}\right]

resolviendo las siguientes dos ecuaciones:

A=\dfrac{1}{\beta}imag\left[ \underset{s\rightarrow \alpha+i\beta}{Lim} [(s-\alpha)^2+\beta^2] \dfrac{N(s)}{D(s)}\right]

\dfrac{A\alpha+B}{\beta}=\dfrac{1}{\beta}real\left[ \underset{s\rightarrow \alpha+i\beta}{Lim} [(s-\alpha)^2+\beta^2] \dfrac{N(s)}{D(s)}\right]

Una ves conseguimos obtener los coeficientes, es posible llegar a la representación en el tiempo de los polos complejos conjugados los cuales se representan a través de senos y cosenos de la siguiente forma:

e^{\alpha t}\left[Acos(\beta t)+\dfrac{A\alpha+B}{\beta}sin(\beta t)\right]

Ejemplos

A continuación vamos a resolver varios ejemplos, cada uno de ellos tiene su respectivo video en Youtube ( si no te has inscrito al canal es una buena hora de hacerlo) Al final del post te dejo un código en Matlab que muestra la solución de estos ejemplos.

Raices Reales y Distintas

Determine la respuesta en el tiempo ante una entrada escalón unitário para un sistema representado por la siguiente ecuacion diferencial.

\dfrac{d^3y(t)}{dt^3}+9\dfrac{d^2y(t)}{dt^2}+23\dfrac{dy(t)}{dt}+15y(t)=\dfrac{d^2u(t)}{dt^2}+2.5\dfrac{du(t)}{dt}+u(t)

Aplicamos Transformada de Laplace en el sistema:

\mathscr{L}\left\{\dfrac{d^3y(t)}{dt^3}+9\dfrac{d^2y(t)}{dt^2}+23\dfrac{dy(t)}{dt}+15y(t)\right\}=\mathscr{L}\left\{\dfrac{d^2u(t)}{dt^2}+2.5\dfrac{du(t)}{dt}+u(t)\right\}

como no nos dieron condiciones iniciales, las suponemos como nulas, asi el sistema transformado es:

s^3Y(s)+9s^2Y(s)+23sY(s)+15Y(s)=s^2U(s)+2.5sU(s)+U(s)

(s^3+9s^2+23s+15)Y(s)=(s^2+2.5s+1)U(s)

Por lo tanto nuestra función de transferencia es:

G(s)=\dfrac{s^2+2.5s+1}{s^3+9s^2+23s+15}

Como sabemos que una función de transferencia es la relación entre la salida sobre la entrada, entonces sabemos que G(s)=\dfrac{y(s)}{u(s)}, donde la entrada es un escalón unitário, entonces u(s)=\dfrac{1}{s}. Factorizando

y(s)=\dfrac{(s+2)(s+0.5)}{s(s+5)(s+1)(s+3)}

Expandiendo en fracciones parciales:

y(s)=\dfrac{(s+2)(s+0.5)}{s(s+5)(s+1)(s+3)}=\dfrac{A_1}{s}+\dfrac{A_2}{s+5}+\dfrac{A_3}{s+1}+\dfrac{A_4}{s+3}

Procedemos a encontrar los coeficientes:

A_1=\underset{s\rightarrow 0}{Lim}\left[(s)\dfrac{(s+2)(s+0.5)}{s(s+5)(s+1)(s+3)}\right]=0.0666

A_2=\underset{s\rightarrow -5}{Lim}\left[(s+5)\dfrac{(s+2)(s+0.5)}{s(s+5)(s+1)(s+3)}\right]=-0.3375

A_3=\underset{s\rightarrow -1}{Lim}\left[(s+1)\dfrac{(s+2)(s+0.5)}{s(s+5)(s+1)(s+3)}\right]=0.0625

A_4=\underset{s\rightarrow -3}{Lim}\left[(s+3)\dfrac{(s+2)(s+0.5)}{s(s+5)(s+1)(s+3)}\right]=0.208

Asi la solución de las fracciones parciales es:

y(s)=\dfrac{(s+2)(s+0.5)}{s(s+5)(s+1)(s+3)}=\dfrac{0.0666}{s}-\dfrac{0.3375}{s+5}+\dfrac{0.0625}{s+1}+\dfrac{0.208}{s+3}

Aplicamos transformada inversa de Laplace al resultado anterior, utilizando la formula (1) y (7) de la tabla que puedes descargar en la entrada de Transformada de Laplace, (click Aqui)

y(t)=(0.0666-0.3375e^{-5t}+0.0625e^{-t}+0.208e^{-3t})H(t)

Al final la ecuación está multiplicada por el Heaviside H(t) solo para indicar que la ecuación vale desde el tiempo 0 hasta infinito.

Raices Iguales Transformada de Laplace Sistemas de Control

Raíces Múltiplas

Un proceso industrial es representado por la siguiente función de transferencia:

G(s)=\dfrac{y(s)}{u(s)}=\dfrac{s-2}{(s+4)(s+1)^3}

Se pide encontrar la respuesta en el tiempo, si el proceso es perturbado con un escalón de magnitud 2.

Procedemos a expandir en fracciones parciales nuestro sistema multiplicado por la entrada u(s)=\dfrac{2}{s}:

y(s)=\dfrac{s-2}{(s+4)(s+1)^3}\dfrac{2}{s}

y(s)=\dfrac{A_1}{(s)}+\dfrac{A_2}{(s+4)}+\dfrac{B_1}{(s+1)}+\dfrac{B_2}{(s+1)^2}+\dfrac{B_3}{(s+1)^3}

Encontrando los coeficientes tenemos:

Para las raíces simples

A_1=\underset{s\rightarrow 0}{Lim}\left[(s)\dfrac{2(s-2)}{s(s+4)(s+1)^3}\right]=-1

A_2=\underset{s\rightarrow -4}{Lim}\left[(s+4)\dfrac{2(s-2)}{s(s+4)(s+1)^3}\right]=-\dfrac{1}{9}

Para las raíces Múltiplas

tenemos que m=3 por lo tanto aplicamos las formulas:

B_3=\underset{s\rightarrow -1}{Lim}\left[(s+1)^3\dfrac{2(s-2)}{s(s+4)(s+1)^3}\right]=2

Para encontrar el resto de coeficientes aplicamos la siguiente ecuación, donde k=m-1,m-2,m-3,\cdots,3,2,1

B_2=\dfrac{1}{(3-2)!}\underset{s\rightarrow -1}{Lim}\left[\dfrac{d^{3-2}}{ds^{3-2}}\left((s+1)^3\dfrac{2(s-2)}{s(s+4)(s+1)^3}\right)\right]=\dfrac{2}{3}

B_1=\dfrac{1}{(3-1)!}\underset{s\rightarrow -1}{Lim}\left[\dfrac{d^{3-1}}{ds^{3-1}}\left((s+1)^3\dfrac{2(s-2)}{s(s+4)(s+1)^3}\right)\right]=\dfrac{10}{9}

Asi llegamos que la expanción por fracciones parciales de la salida es:

y(s)=-\dfrac{1}{s}-\dfrac{1}{9(s+4)}+\dfrac{10}{9(s+1)}+\dfrac{2}{3(s+1)^2}+\dfrac{2}{(s+1)^3}

aplicando transfomada inversa de Laplace llegamos a la expresión de la respuesta temporal de la salida:

y(t)=-1-\dfrac{1}{9}e^{-4t}+\dfrac{10}{9}e^{-t}+\dfrac{2}{3}te^{-t}+t^2e^{-t}

Raices Diferentes Transformada de Laplace Sistemas de Control

Polos Complejos

Determine la respuesta en el tiempo ante una entrada pulso unitario con duración de 1 segundo para el siguiente sistema:

 

\dfrac{d^2y(t)}{dt^2}+4\dfrac{dy(t)}{dt}+13y(t)=\dfrac{du(t)}{dt}+13u(t)

Aplicamos Transformada de Laplace en el sistema:

\mathscr{L}\left\{\dfrac{d^2y(t)}{dt^2}+4\dfrac{dy(t)}{dt}+13y(t)\right\}=\mathscr{L}\left\{\dfrac{du(t)}{dt}+13u(t)\right\}

como no nos dieron condiciones iniciales, las suponemos como nulas, asi el sistema transformado es:

s^2Y(s)+4sY(s)+13Y(s)=sU(s)+13U(s)

(s^2+4s+13)Y(s)=(s+13)U(s)

La función de transferencia es:

G(s)=\dfrac{s+13}{s^2+4s+13}

La entrada del sistema es: u(s)=\dfrac{\left(1-e^{-s}\right)}{s}

Señal Pulso Transformada de Laplace

Se tiene que la salida en Laplace es:

Y(s)=\dfrac{s+13}{s^2+4s+13}\dfrac{\left(1-e^{-s}\right)}{s}=\dfrac{(s+13)\left(1-e^{-s}\right)}{s[(s+2)^2+3^2]}

Vemos que \alpha=-2 y \beta=3

Expandiendo

Y(s)=\dfrac{s+13}{s[(s+2)^2+3^2]}-\dfrac{s+13}{s[(s+2)^2+3^2]}e^{-s}

Defino v(s)=\dfrac{s+13}{s[(s+2)^2+3^2]}

entonces

Y(s)=v(s)-v(s)e^{-s}

Resuelvo por fracciones parciales

v(s)=\dfrac{s+13}{s[(s+2)^2+3^2]}=\dfrac{As+B}{(s+2)^2+3^2}+\dfrac{C}{s}

Encontramos los coeficientes:

A=\dfrac{1}{3}imag\left[ \underset{s\rightarrow -2+i3}{Lim} \left\{[(s+2)^2+3^2] \dfrac{s+13}{s[(s+2)^2+3^2]}\right\}\right]

A=\dfrac{1}{3}imag\left[-1-i3\right]

A=\dfrac{1}{3}\left[-3\right]

A=-1

Ahora encontramos el Coeficiente B

\dfrac{(-1)(-2)+B}{3}=\dfrac{1}{3}real\left[ \underset{s\rightarrow -2+i3}{Lim}\left\{ [(s+2)^2+3^2] \dfrac{s+13}{s[(s+2)^2+3^2]}\right\}\right]

\dfrac{2+B}{3}=\dfrac{1}{3}real\left[-1-i3\right]

2+B=-1

B=-3

Ahora encontramos el Coeficiente C

C=\underset{s\rightarrow 0}{Lim} \left[(s) \dfrac{s+13}{s[(s+2)^2+3^2]}\right]

C=1

Llevandolo a la forma de senos y cosenos en evidencia:

v(s)=A\left[\dfrac{(s-\alpha)}{(s-\alpha)^2+\beta^2}\right]+\dfrac{A\alpha+B}{\beta}\left[\dfrac{\beta}{(s-\alpha)^2+\beta^2}\right]+\dfrac{C}{s}

v(s)=-1\left[\dfrac{(s+2)}{(s+2)^2+3^2}\right]-\dfrac{1}{3}\left[\dfrac{3}{(s+2)^2+3^2}\right]+\dfrac{1}{s}

Transformada inversa

v(t)=-e^{-2t}cos(3t)-\dfrac{1}{3}e^{-2t}sen(3t)+1

aplicando en la salida la transformada inversa de Laplace tenemos

y(t)=v(t)-v(t-1)

Sustituyendo:

y(t)=-e^{-2t}cos(3t)-\dfrac{1}{3}e^{-2t}sen(3t)+1+e^{-2(t-1)}cos(3(t-1))H(t-1)+\dfrac{1}{3}e^{-2(t-1)}sen(3(t-1))H(t-1)-H(t-1)

Raices Complejas Transformada de Laplace Sistemas de Control

Cuarto Ejemplo

Un proceso industrial es representado por la siguiente función de transferencia:

G(s)=\dfrac{2}{(s+4)}

Se pide encontrar la respuesta en el tiempo, si el proceso es perturbado con la siguiente señal de entrada en u(t):

Transformada de laplace sistemas de control

Primero encontramos la ecuación en el tiempo de la señal, para poderle aplicar la transformada de Laplace:

Vemos que la señal es una combinación entre rampa y escalón. Para la rampa, debemos averiguar cual es su pendiente:

m=\dfrac{y_{max}-y_{min}}{x_{max}-x_{min}}=\dfrac{6-0}{8-2}=1

La pendiente es 1, entonces la ecuación de la rampa es 1t.

u(t)=(t-2)H(t-2)-(t-2)H(t-8)+2H(t-8)

De la expresión anterior, el termino del medio debe ser manipulado para poder aplicarle la transformada de Laplace, para poder aplicar la propiedad de desplazamiento que dice lo siguiente:

L[(t-a)H(t-a)]=F(s)e^{-as}

Por lo tanto podriasmos escribir el termino del medio de la sigiente forma: -(t-2)H(t-8)=-(t-8+6)H(t-8) asi la ecuación en el tiempo quedaría:

u(t)=(t-2)H(t-2)-(t-8)H(t-8)-6h(t-8)+2H(t-8)

u(t)=(t-2)H(t-2)-(t-8)H(t-8)-4H(t-8)

Aplicando transformada de Laplace tenemos:

u(s)=\dfrac{1}{s^2}e^{-2s}-\dfrac{1}{s^2}e^{-8s}-\dfrac{4}{s}e^{-8s}

u(s)=\dfrac{1}{s^2}e^{-2s}-\dfrac{4s+1}{s^2}e^{-8s}

Procedemos a expandir en fracciones parciales nuestro sistema:

G(s)=\dfrac{y(s)}{u(s)}=\dfrac{2}{(s+4)}

y(s)=\left[\dfrac{2}{(s+4)}\right]\left[\dfrac{1}{s^2}e^{-2s}-\dfrac{4s+1}{s^2}e^{-8s}\right]

y(s)=\left[\dfrac{2}{s^2(s+4)}\right]e^{-2s}-\left[\dfrac{8s+2}{s^2(s+4)}\right]e^{-8s}

renombrando los dos terminos como:

y(s)=y_1(s)-y_2(s)

debemos expandir en fracciones parciales el primer termino:

y_1(s)=\left[\dfrac{2}{s^2(s+4)}\right]e^{-2s}=\left[\dfrac{A_1}{(s+4)}+\dfrac{B_1}{s}+\dfrac{B_2}{s^2}\right]e^{-2s}

A_1=\underset{s\rightarrow -4}{Lim}\left[(s+4)\dfrac{2)}{s^2(s+4)}\right]=\dfrac{1}{8}

B_2=\underset{s\rightarrow 0}{Lim}\left[s^2\dfrac{2)}{s^2(s+4)}\right]=\dfrac{1}{2}

B_1=\dfrac{1}{1!}\underset{s\rightarrow 0}{Lim}\left[\dfrac{d}{ds}\left(s^2\dfrac{2)}{s^2(s+4)}\right)\right]=-\dfrac{1}{8}

Asi para el primer termino la expansión en fracciones parciales es:

y_1(s)=\left[\dfrac{1}{8(s+4)}-\dfrac{1}{8s}+\dfrac{1}{2s^2}\right]e^{-2s}

Aplicando transformada inversa de Laplace:

y_1(t)=\dfrac{1}{8}e^{-4(t-2)}H(t-2)-\dfrac{1}{8}H(t-2)+\dfrac{1}{2}(t-2)H(t-2)

debemos expandir en fracciones parciales el SEGUNDO termino:

y_2(s)=\left[\dfrac{8s+2}{s^2(s+4)}\right]e^{-8s}=\left[\dfrac{A_1}{(s+4)}+\dfrac{B_1}{s}+\dfrac{B_2}{s^2}\right]e^{-8s}

A_1=\underset{s\rightarrow -4}{Lim}\left[(s+4)\dfrac{8s+2}{s^2(s+4)}\right]=-\dfrac{15}{8}

B_2=\underset{s\rightarrow 0}{Lim}\left[s^2\dfrac{8s+2}{s^2(s+4)}\right]=\dfrac{1}{2}

B_1=\dfrac{1}{1!}\underset{s\rightarrow 0}{Lim}\left[\dfrac{d}{ds}\left(s^2\dfrac{8s+2}{s^2(s+4)}\right)\right]=\dfrac{15}{8}

Asi para el segundo termino la expansión en fracciones parciales es:

y_2(s)=\left[-\dfrac{15}{8(s+4)}+\dfrac{15}{8s}+\dfrac{1}{2s^2}\right]e^{-8s}

Aplicando transformada inversa de Laplace:

y_2(t)=-\dfrac{15}{8}e^{-4(t-8)}H(t-8)+\dfrac{15}{8}H(t-8)+\dfrac{1}{2}(t-8)H(t-8)

juntando las dos soluciones:

y(t)=y_1(t)-y_2(t)

y(t)=\dfrac{1}{8}e^{-4(t-2)}H(t-2)-\dfrac{1}{8}H(t-2)+\dfrac{1}{2}(t-2)H(t-2)+\dfrac{15}{8}e^{-4(t-8)}H(t-8)-\dfrac{15}{8}H(t-8)-\dfrac{1}{2}(t-8)H(t-8)

Transformada de Laplace Sistemas de Control

 

Códigos en MATLAB

A continuación te dejo todo el código de Matlab para que aprendas como simular los ejercicios que acabamos de hacer. Para acceder a los códigos solo basta con compartir el contenido de este post con alguno de los tres botones que aparecen aqui abajo, esto con el objetivo de ayudar a que más personas aprendan sobre este tema y permitir que la pagina web continue creciendo y aportando más contenido gratuito y de calidad.

 

Raíces Reales y Diferentes

 

Raíces Iguales

 

Raíces Complejas

 

Cuarto ejemplo

 

 

 

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Respuesta en el Tiempo usando Transformada de Laplace
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En sistemas dinámicos y sistemas de control se utiliza la transformada de Laplace expandiendo en fracciones parciales con el fin de encontrar el comportamiento del sistema usando el dominio transformado, que facilita enormemente el calculo de las soluciones. Para finalmente obtener una expresión algebraica en el dominio de Laplace y aplicar la transformada inversa de Laplace para volver al dominio del tiempo.
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