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Análisis de Sistemas

Retardo o Tiempo Muerto de un Sistema

En esta entrada de análisis de sistemas, vamos a estudiar y entender que es el retardo de un sistema también conocido como tiempo muerto (dead-time).

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Retardo de un Sistema

La mayoría de los procesos industriales presentan atrasos o retardos en sus dinámicas. Esto quiere decir que cuando estimulamos un sistemas con alguna entrada (por ejemplo encendemos una máquina) solo veremos la variación de la variable un tiempo después de haber aplicado el estímulo.

El fenómeno del retardo está presente en varios procesos típicos industriales, principalmente en procesos térmicos, en columnas de destilación, entre otros.

El tiempo muerto de un sistema puede presentarse por tres factores diferentes:

  1. Por el tiempo necesario para transportar una determinada masa o energia dentro del proceso (Esto se conoce como Retardo de Transporte)
  2. Por el acúmulo de vários sistemas conectados en serie dentro de un procesos (Esto se conoce como Retardo Aparente)
  3. O por el tiempo necesario para el envío y recepción de información dentro de un sistema de control.
Retardo de un Sistema

Transformada de Laplace del Retardo

El retardo puede ser representado facilmente en el dominio frecuencial utilizando la transformada de Laplace, y para eso tomamos la función en el tiempo, aplicamos la transformación de Laplace y como resultado final tenemos dos funciones: Una racional dada por F(s) y otra no racional dada por un exponencial:

L \left[ f(t-\theta)H(t-\theta) \right]=e^{-\theta s}F(s)

En el dominio temporal, la función H(t-\theta) corresponde a la función de Heaviside.

Tiempo Muerto de un Sistema

Los retardos existen en numerosas aplicaciones de control automático. En sistemas lineales continuos invariantes en el tiempo, el retardo viene representado por e^{-\theta s}. De forma frecuencial, podemos notar que:

e^{-\theta s})=e^{-\theta j\omega}=1∠ωθ

Los retardos dejan la magnitud invariable y afectan al desfase y esto puede ser comprobado en el diagrama de bode. Sin embargo, también podemos ver la siguiente representación polar:

Representación polar del tiempo muerto de un sistema

De forma de ejemplo, vemos a continuación el efecto del retardo en un sistema de primer orden:

Ejemplo retardo primer orden

Sistemas de segundo Orden

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Retardo de un Sistema en Matlab

En matlab existen vários comandos para programar el retardo de un sistema, y se definen básicamente en la posición donde deseamos ubicar el retardo. Es decir si el retardo está a la entrada del proceso, a la salida del proceso o en ambos.

A modos prácticos, en sistemas lineales representados por funciones de transferencia es indiferente donde coloquemos el retardo, pues siempre obtendremos la misma respuesta, por lo tanto, puedes sentirte libre en usar cualquiera de los tres comandos:

Los objetos de función de transferencia (TF), ganancia de polo cero (ZPK) y datos de respuesta de frecuencia (FRD) ofrecen tres propiedades para los retrasos de modelado:

  • InputDelay, para especificar retrasos en las entradas
  • OutputDelay, para especificar retrasos en las salidas
  • IODelay, para especificar retrasos de transporte independientes para cada par de E / S.

El objeto de espacio de estado (SS) también tiene tres propiedades relacionadas con el retardo:

  • InputDelay, para especificar retrasos en las entradas
  • OutputDelay, para especificar retrasos en las salidas
  • InternalDelay, para realizar un seguimiento de los retrasos al combinar modelos o cerrar ciclos de retroalimentación.
%Sistema
num = 5; 
den = [1 1];

%Retardo de 3.4 en la salida
Po = tf (num, den, 'OutputDelay' , 3.4) 

%Retardo de 3.4 en la entrada
Pi = tf (num, den, 'InputDelay' , 3.4) 

%Retardo de 3.4 en la entrada y salida
Pio = tf (num, den, 'IODelay' , 3.4)

Aproximaciones polinomiales del tiempo muerto

En el dominio de la frecuencia, el tiempo muerto se puede representar directamente, por lo que los métodos de análisis y diseño de frecuencia se pueden utilizar sin aproximaciones en los procesos de tiempo muerto.

Sin embargo, debido a que la función de transferencia de un tiempo muerto no es racional, cuando se necesitan representaciones de polos cero, como en los métodos del lugar de raíces o de ubicación de polos, se utilizan aproximaciones polinómicas del tiempo muerto.

e^{\theta s}\rightarrow F(s)=\dfrac{N(s)}{D(s)}

Expansión por series de Taylor:

e^{-\theta s}=\dfrac{1}{e^{\theta s}}
T_i(s) = \dfrac{1}{1+\sum_1^i\dfrac{(\theta s)^i}{i!}},\ \ \ \ \ \ \ \ i=1,2,3,...

Función de transferencia de retardo múltiple LAG

G(s) = \dfrac{1}{\left(\dfrac{\theta s}{i}+1\right)^i},\ \ \ \ i=1,2,3,...

• Que es un truncamiento de expresión de orden i

e^{-\theta s}=\underset{i\rightarrow \infty}{\rm Lim} \dfrac{1}{(1+\theta s/i)^i}

Aproximación de Padé

En la aproximación padé lo que se busca es poder aproximar la función F(x) con otra función racional de polinomios R(x):

F(x)\approx R(x)

Para eso, se hace que las m-ésimas derivadas de ambas funciones coincidan cuando x=0:

\begin{aligned}f(0)&=R(0),\\f'(0)&=R'(0),\\f''(0)&=R''(0),\\&\vdots \\f^{(m+n)}(0)&=R^{(m+n)}(0).\end{aligned}

O que es lo mismo, que los coeficientes m-ésimos de ambas funciones coincidan para satisfacer la restricción anterior:

F(x)=a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+\dots +a_{m}x^{m}+a_{m+1}x^{m+1}+\dots
R(x)=b_{0}+b_{1}x+b_{2}x^{2}+\dots +b_{m}x^{m}+b_{m+1}x^{m+1}+\dots

La idea entonces es tomar la función:

F(s)=e^{\theta s}

Y aproximarla por una función racional:

R_m(s)=\dfrac {1+a_{1}x+a_{2}x^{2}+\dots +a_{m}x^{m}}{1+b_{1}x+b_{2}x^{2}+\dots +b_{m}x^{m}}

donde:

R_m(s)=\dfrac{Q_m(-\theta s)}{Q_m(\theta s)}

El polinomio Qm equivale a:

R_m(s)=\dfrac{Q_m(-\theta s)}{Q_m(\theta s)}

Ejemplo:

Si queremos aproximar un retardo de uno, con una aproximación de Padé de primer orden, tenemos entonces que:

e^{- s},m=1
Q_1(-s)=\dfrac{(1+0)!}{0!(1-0)!}(-s)^{1-0}+\dfrac{(1+1)!}{1!(1-1)!}(-s)^{1-1}
Q_1(-s)=\dfrac{1}{1}(-s)^{1}+\dfrac{2}{1}(-s)^{0}=-s+2
Q_1(s)=s+2

Reescribiendo la función R:

R_1(s)=\dfrac{2-s}{2+s}=\dfrac{1-\dfrac{1}{2}s}{1+\dfrac{1}{2}s}

Aproximación de Padé en la Práctica

En la práctica las aproximaciones de Padé para el retardo más comunes son de primer y segundo orden:

e^{-\theta s}\approx \dfrac{1-\dfrac{\theta}{2}s}{1+\dfrac{\theta}{2}s}
e^{-\theta s}\approx \dfrac{1-\dfrac{\theta}{2}s+\dfrac{\theta^2}{12}s^2}{1+\dfrac{\theta}{2}s+\dfrac{\theta^2}{12}s^2}

Ejemplo de aproximación polinomial del retardo de un sistema

Aproximar el retardo del siguiente sistema con una aproximación padé de primer y segundo orden, una aproximación de Taylor de Primer Orden y una aproximación LAG de segundo Orden:

G(s)=\dfrac{1}{s+1}e^{-s}
Aproximación Polinomial del Retardo

Bibliografía

•NORMEY-RICO and CAMACHO. Control of Dead-time Processes. Springer. Berlin, 2007.

Eso es todo por la entrada del dia de hoy, espero les haya gustado y hayan aprendido algo nuevo. Si te ha servido el contenido de esta entrada, de los videos y los códigos de implementación y deseas apoyar mi trabajo invitandome a un café super barato, puedes hacerlo en el siguiente link:

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Que esten muy bien, nos vemos en la siguiente entrada.

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