5. Control PID via sintesis DAHLIN

5. Control PID via sintesis DAHLIN
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En esta entrada, vamos a aprender como sintonizar un controlador PID por medio de la síntesis de Dahlin.

Primero observemos el diagrama de bloques de lazo cerrado del sistema a controlar.

Lazo Cerrado de Control Dahlin

En este caso, la ecuación que representa la malla cerrada del sistema (Salida / Entrada) es la siguiente:

y(t)=\frac{Gc(z)Gp(z)}{1+Gc(z)Gp(z)}yi(t)  (1)

La ecuación (1) puede ser reescrita de la siguiente forma:

Gc(z)=\frac{u(t)}{e(t)}=\frac{1}{Gp(z)}*\frac{\frac{y(t)}{yi(t)}}{1-\frac{y(t)}{yi(t)}} (2)

La ecuación (2) es una representación general de un controlador en un lazo convencional observado en el diagrama de bloques.

El controlador Dahlin es un algoritmo que asume que el sistema alcanza el Set-Point en una trayectoria equivalente a un sistema de primer orden con atraso

\frac{y(t)}{yi(t)}=\frac{(1-\alpha )z^{-d-1}}{1-\alpha z^{-1}}(3)

donde:

\alpha=Parametro de Rapidez

d=Atraso del Algoritmo

\alpha=exp(\frac{-Ts}{\tau LC})\therefore d=\frac{\Theta }{Ts}

Donde:

Ts=Tiempo de Muestreo, \tau LC = Cte de tiempo en lazo cerrado deseado

\Theta = Retardo de la planta

Aplicando la ecuación (3) en (2):

Gc(z)=\frac{u(t)}{e(t)}=\frac{1}{Gp(z)}\frac{(1-\alpha )z^{-d-1}}{1-\alpha z^{-1}-(1-\alpha )z^{-d-1}} (4)

Si tenemos una planta de segundo orden la cual queremos controlar, dicha planta va a tener el siguiente modelo matemático.

\frac{y(t)}{u(t)}=\frac{z^{-d-1}(b_0+b_1z^{-1}+b_2z^{-2})}{1+a_1z^{-1}+a_2z^{-2}} (5)

Aplicando (5) en (4)

Gc(z)=\frac{u(t)}{e(t)}=\frac{1+a_1z^{-1}+a_2z^{-2}}{(b_0+b_1z^{-1}+b_2z^{-2})}\frac{(1-\alpha )}{1-\alpha z^{-1}-(1-\alpha )z^{-d-1}} (6)

Como deseamos sintonizar un PID, tomamos la estructura de un PID ideal la cual se representa con la siguiente ecuación

Gc(z)=Kc\left [ \frac{(1+\frac{Ts}{Ti}+\frac{Td}{Ts})-(1+2\frac{Td}{Ts})z^{-1}+\frac{Td}{Ts}z^{-2}}{1-z^{-1}} \right ] (7)

Para la Existencia del PID Dahlin se tiene que establecer las siguientes relaciones:

(b_0+b_1z^{-1}+b_2z^{-2})\approx (b_0+b_1+b_2)

Haciendo uso de dicha relación puedo escribir (6) asi:

Gc(z)=\frac{u(t)}{e(t)}=\frac{(1-\alpha )}{(b_0+b_1+b_2)}\frac{1+a_1z^{-1}+a_2z^{-2}}{1-\alpha z^{-1}-(1-\alpha )z^{-d-1}} (8)

1-\alpha z^{-1}-(1-\alpha )z^{-d-1}=(1-z^{-1})\left [ 1+(1-\alpha z^{-1}+\cdots +(1-\alpha )z^{-d}) \right ]\approx (1-z^{-1})(1+d*(1-\alpha ))

En la expreción anterior \left [ 1+(1-\alpha z^{-1}+\cdots +(1-\alpha )z^{-d}) \right ]\ se evalua con z=1. El controlador Dahlin tiene una acción integral y las salidas pasadas se utilizan para predicción. De esta manera se obtiene el siguiente controlador:

Gc(z)=\frac{u(t)}{e(t)}=\frac{(1-\alpha )}{(b_0+b_1+b_2)(1+d*(1-\alpha) )}\frac{1+a_1z^{-1}+a_2z^{-2}}{1-z^{-1}} (9)

Comparando la Ecuación (7) con la ecuación (9)

Gc(z)=\bar{K}\frac{1+a_1z^{-1}+a_2z^{-2}}{1-z^{-1}}

\bar{K}=\frac{(1-\alpha )}{(b_0+b_1+b_2)(1+d*(1-\alpha) )}

Entonces las ganancias del controlador PID son:

\bar{K}=Kc(1+\frac{Ts}{Ti}+\frac{Td}{Ts})

\bar{K}a_1=-Kc(1+2\frac{Td}{Ts})

\bar{K}a_2=Kc\frac{Td}{Ts}

Kc=-\bar{K}(a_1+2a_2)

Ti=\frac{-(a_1+2a_2)Ts}{1+a_1+a_2}

Td=\frac{-a_2Ts}{a_1+2a_2}

 EJEMPLO

Se tiene un intercambiador de calor para calentar un fluido X, el proceso puede ser representado perfectamente por la siguiente función de transferencia de cuarto orden:

Gp(s)=\frac{1}{(0.5s+1)(s+1)(5s+1)(10s+1)}

Un ingeniero, levanta un modelo de segundo orden por medio de una identificación off-line obteniendo el siguiente modelo

Gm(s)=\frac{e^{-1.92s}}{44.08s^2+14.88s+1}

Sintonizar el controlador PID utilizando la Sintesis Dahlin

 

La respuesta del control se muestra a continuación:
Control Dahlin

 

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