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Control Automático Educación

Sistemas de Segundo Orden

Si estas estudiando ingeniería de control o estas viendo una disciplina sobre sistemas de control, será fundamental entender como resolver SISTEMAS DE SEGUNDO ORDEN, cuales son sus parámetros y los efectos que causan en la respuesta transitoria y en que sistemas reales puedes aplicarlos.

Para entender todo el concepto matemático mostrado en esta pagina, te hará falta 👉 descargar la tabla de la transformada de Laplace.

Antes de comenzar te invito para que veas nuestro curso de 👉 CONTROL REALIMENTADO.

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Sistemas de Segundo Orden Control

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En la ingeniería de control los sistemas de segundo orden tienen una relevancia importante, debido a que gracias a este tipo de sistemas, es posible analizar y proyectar lazos cerrados de control.

Que es un sistema de Segundo Orden?

Los sistemas de segundo orden son todos aquellos que tienen dos polos y están representados tipicamente por ecuaciones diferenciales ordinarias de segundo orden. Considerando el caso de las ecuaciones diferenciales lineales de segundo orden, con coeficientes constantes y condición inicial cero, tenemos:

a_2\dfrac{d^2y(t)}{dt^2}+a_1\dfrac{dy(t)}{dt}+a_0y(t)=b_0u(t),\ \ con:\ \ y(0)=0;\ \left.\begin{matrix}
\dfrac{dy(t)}{dt}
\end{matrix}\right|_{t=0} =0

En este caso, si notas el orden de la máxima derivada, verás que es 2, lo que nos indica que es un sistema de segundo orden. Vamos a ver como podremos convertir esta ecuación diferencial en una función de transferencia de segundo orden.

Sistema Masa-Resorte-Amortiguador

Antes de entrar a estudiar los sistemas de segundo orden, vamos a ver un ejemplo de como obtenemos la ecuación diferencial a partir de un sistema común.

Vamos a ver el ejemplo de un sistema mecánico de segundo orden conocido como el sistema de Masa-Amortiguador-Resorte.

Masa Resorte Amortiguador

Para modelar este sistema, aplicamos la segunda ley de Newton:

\sum\ Fuerzas=m.a
F(t)-c\dfrac{dx(t)}{dt}-kx(t)=m\dfrac{d^2x(t)}{dt^2}
m\dfrac{d^2x(t)}{dt^2}+c\dfrac{dx(t)}{dt}+kx(t)=F(t)

Aplicando 👉 transformada de Laplace (explicación detallada click) :

ms^2X(s)+csX(s)+kX(s)=F(s)
(ms^2+cs+k)X(s)=F(s)
\dfrac{X(s)}{F(s)}=\dfrac{1}{ms^2+cs+k}

Dejando el denominador en su forma canónica (de forma mónico)

\dfrac{X(s)}{F(s)}=\dfrac{1/m}{s^2+\dfrac{c}{m}s+\dfrac{k}{m}}

De esa forma, podemos expresar la función de transferencia de segundo orden anterior del sistema de masa resorte amortiguador, en la forma general de una función de transferencia de segundo orden.

\dfrac{X(s)}{F(s)}=K\dfrac{\omega_n^2}{s^2+2\zeta\omega_ns+\omega_n^2}

Donde:

\omega_n=\sqrt{k/m}
2\zeta\omega_n=c/m \rightarrow \zeta=\dfrac{c}{2\sqrt{km}}
K=1/k

Función de Transferencia de Segundo Orden

Tomando la formula general para los sistemas de segundo orden tenemos:

\dfrac{X(s)}{F(s)}=K\dfrac{\omega_n^2}{s^2+2\zeta\omega_ns+\omega_n^2}
  • X(s) = Salida del sistema  
  • F(s) = Entrada del sistema
  • K = Ganancia estática del sistema  
  • \omega_n  = La frecuencia natural no amortiguada del sistema (frecuencia a la que el sistema mecánico seguirá vibrando, después que se quite la señal de excitación)  
  • ζ = Factor de amortiguamiento

En este caso podemos entender que cuando tenemos un sistema de segundo orden existe la posibilidad de la existencia de un sistema amortiguado que nos indica la existencia de algún componente capaz de disipar la energia del sistema y viene dado por el factor de amortiguamiento ζ.

Dinámica de los Sistemas de Segundo Orden

El comportamiento dinámico de un sistema de segundo orden puede ser entonces descrito en términos de dos parámetros \omega_n  y ζ.

Dependiendo del valor que tome ζ el sistema tendrá diversos comportamientos, los cuales vamos a tratar a continuación:

  • ζ=0   Sistema Oscilatorio
  • 0<ζ<1   Sistema Subamortiguado
  • ζ=1   Sistema Criticamente Amortiguado
  • ζ>1   Sistema Sobre Amortiguado

Las siguientes respuestas son generadas con una entrada escalón unitário.

Variación del Factor de Amortiguamiento

Veamos la dinámica de sistemas de segundo orden ante la variación del factor de amortiguamiento:

Variación del Facotor de Amortiguamiento
Variación del factor de amortiguamiento

Variación de la Frecuencia Natural No Amortiguada

Variación de la Frecuencia Natural
Frecuencia natural no amortiguada

Polos de los Sistemas de Segundo Orden

Partiendo de la ecuación general de un sistema de segundo orden

\dfrac{X(s)}{F(s)}=K\dfrac{\omega_n^2}{s^2+2\zeta\omega_ns+\omega_n^2}

 Los polos del sistema están dados por:

s^2+2\zeta\omega_ns+\omega_n^2=0

Aplicando la ecuación general para encontrar las raíces de un polinomio de segundo grado.

s_{1,2}=\dfrac{-2\zeta\omega_n\pm\sqrt{4\zeta^2\omega_n^2-4\omega_n^2}}{2}
s_{1,2}=\dfrac{-2\zeta\omega_n\pm\sqrt{4\omega_n^2(\zeta^2-1)}}{2}

Los polos del sistema de segundo orden son:

s_{1,2}=-\zeta\omega_n\pm\omega_n\sqrt{\zeta^2-1}

A partir de la ecuación de los polos, vamos a sustituir por los diferentes valores que puede tomar el factor de amortiguamiento y analizar la característica de los polos ante la variación de este parámetro.

Sistema Oscilatório (ζ=0)

Un sistema oscilatório es aquel que posee sus polos unicamente con componentes imaginarias dentro de un sistema de segundo orden. Analizando el sistema ante una entrada escalón, Cuando ζ=0:

s_{1,2}=\pm j\omega_n

El diagrama de polos y ceros viene dado por:

Diagrama de Polos Oscilatórios

Sustituyendo en la ecuación de segundo orden y multiplicando por el escalón de magnitud A:

X(s)=\dfrac{K\omega_n^2}{s^2+\omega_n^2}F(s)
X(s)=\dfrac{AK\omega_n^2}{s(s^2+\omega_n^2)}

Aplicando fracciones parciales al sistema de segundo orden con la transformada de Laplace:

X(s)=\dfrac{Bs+C}{s^2+\omega_n^2}+\dfrac{D}{s}
X(s)=-AK\left [ \dfrac{s}{s^2+\omega_n^2} \right ]+\dfrac{AK}{s}

Aplicando transformada inversa de Laplace

x(t)=AK\left[1-cos(\omega_n t)\right]

Respuesta Transitoria del Sistema Oscilatorio

A continuación estamos viendo la respuesta temporal de un sistema de segundo orden totalmente oscilatório.

Respuesta de un Sistema Oscilatorio de Segundo Orden
Respuesta del Sistema Oscilatorio de Segundo Orden

El periodo del sistema puede encontrarse con la siguiente ecuación:

T=\dfrac{2\pi}{\omega_n}

Sistema Subamortiguado (0<ζ<1)

Un sistema subamortiguado es aquel que posee un par de polos complejos conjugados dentro de un sistema de segundo orden. Analizando el sistema ante una entrada escalón, Cuando 0<ζ<1:

s_{1,2}=-\zeta\omega_n\pm j\omega_n\sqrt{1-\zeta^2}

Donde, podemos llamar el segundo miembro de la ecuación anterior como:

\omega_d=\omega_n\sqrt{1-\zeta^2}

\omega_d es conocida como la frecuencia natural amortiguada del sistema de segundo orden. Así, podemos resumir los polos del sistema de segundo orden subamortiguado como:

s_{1,2}=-\zeta\omega_n\pm j\omega_d

El diagrama de polos y ceros viene dado por:

Diagrama de Polos de Sistemas de Segundo Orden Subamortiguado
Diagrama de Polos Sistema Subamortiguado

Del diagrama anterior, observamos que si incrementamos \omega_n los polos tienden a crescer radialmente. Por otro lado, si aumentamos \zeta próximo de uno los polos tienden a acercarse al eje imaginario, y si disminuimos \zeta tendiendo hacia cero, los polos se aproximan al eje imaginario.

Sustituyendo en la ecuación de segundo orden y multiplicando por el escalón de magnitud A:

X(s)=\dfrac{AK\omega_n^2}{s(s^2+2\zeta\omega_ns+\omega_n^2)}

Aplicando fracciones parciales, recordando la expresión que vimos cuando estudiamos la transformada de laplace para funciones de transferencia con números complejos, podíamos expresar el polinomio de segundo grado como:

Y(s)=B\left[\dfrac{(s-\alpha)}{(s-\alpha)^2+\beta^2}\right]+\dfrac{B\alpha+C}{\beta}\left[\dfrac{\beta}{(s-\alpha)^2+\beta^2}\right]

siendo

s_{1,2}=\alpha \pm j\beta = -\zeta\omega_n\pm j\omega_d

o sea \alpha=-\zeta\omega_n y \beta=\omega_d, de esa forma expandiendo en fracciones parciales tenemos que:

X(s)=\dfrac{D}{s}+B\left [ \dfrac{s+\zeta\omega_n}{(s+\zeta\omega_n)^2+\omega_d^2} \right ]+\dfrac{C-B\zeta\omega_n}{\omega_d}\left[\dfrac{\omega_d}{(s+\zeta\omega_n)^2+\omega_d^2}\right]

Resolviendo, tenemos que Coeficiente D:

D=\underset{s\rightarrow 0}{Lim}\left[(s)\dfrac{AK\omega_n^2}{s(s^2+2\zeta\omega_ns+\omega_n^2)}\right]=AK

Coeficiente B:

B=\dfrac{1}{\omega_d}imag\left[ \underset{s\rightarrow -\zeta\omega_n+ j\omega_d}{Lim} \left\{[(s+\zeta\omega_n)^2+\omega_d^2] \dfrac{AK\omega_n^2}{s[(s+\zeta\omega_n)^2+\omega_d^2]}\right\}\right]
B=\dfrac{1}{\omega_d}imag\left[ \underset{s\rightarrow -\zeta\omega_n+ j\omega_d}{Lim} \left\{ \dfrac{AK\omega_n^2}{s}\right\}\right]
B=\dfrac{1}{\omega_d}imag\left[ \dfrac{AK\omega_n^2}{ -\zeta\omega_n+ j\omega_d}\right]

aplica el conjugado

B=\dfrac{1}{\omega_d}imag\left[ \dfrac{AK\omega_n^2}{ -\zeta\omega_n+ j\omega_d}\dfrac{ -\zeta\omega_n- j\omega_d}{ -\zeta\omega_n- j\omega_d}\right]
B=\dfrac{1}{\omega_d}imag\left[ \dfrac{-AK\zeta\omega_n^3-jAK\omega_n^2\omega_d}{ \zeta^2\omega_n^2+ \omega_d^2}\right]

recordando que \omega_d=\omega_n\sqrt{1-\zeta^2}

B=\dfrac{1}{\omega_d}imag\left[-AK\zeta\omega_n-jAK\omega_d\right]
B=\dfrac{1}{\omega_d}\left[-AK\omega_d\right]=-AK

Coeficiente \dfrac{C-B\zeta\omega_n}{\omega_d}:

\dfrac{C-B\zeta\omega_n}{\omega_d}=\dfrac{1}{\omega_d}real\left[-AK\zeta\omega_n-jAK\omega_d\right]
\dfrac{C-B\zeta\omega_n}{\omega_d}=\dfrac{1}{\omega_d}\left[-AK\zeta\omega_n\right]=\dfrac{-AK\zeta}{\sqrt{1-\zeta^2}}

reemplazando los coeficientes:

X(s)=\dfrac{AK}{s}-AK\left [ \dfrac{s+\zeta\omega_n}{(s+\zeta\omega_n)^2+\omega_d^2} \right ]-\dfrac{AK\zeta}{\sqrt{1-\zeta^2}}\left[\dfrac{\omega_d}{(s+\zeta\omega_n)^2+\omega_d^2}\right]

La ecuación anterior la podemos expresar en términos de senos y cosenos apoyándonos de la tabla de las transformadas de Laplace:

x(t)=AK\left[1-e^{-\zeta\omega_nt}cos(\omega_d t)-\dfrac{\zeta}{\sqrt{1-\zeta^2}}e^{-\zeta\omega_nt}sin(\omega_d t)\right]

Organizando:

x(t)=AK\left[1-e^{-\zeta\omega_nt}\left(cos(\omega_d t)+\dfrac{\zeta}{\sqrt{1-\zeta^2}}sin(\omega_d t)\right)\right]

Usando la siguiente ecuación trigonométrica para cuando se tienen ondas con el mismo periodo pero desfasadas:

a\ sin(x)+b\ cos(x)=\sqrt{a^2+b^2}\ sin(x+tan^{-1}(b/a))

Aplicando la ecuación anterior a nuestra ecuación de segundo orden llegamos a la ecuación temporal de un sistema subamortiguado:

x(t)=AK\left[1-\dfrac{e^{-\zeta\omega_nt}}{\sqrt{1-\zeta^2}}sin\left(\omega_d t+tan^{-1}\dfrac{\sqrt{1-\zeta^2}}{\zeta}\right)\right]

Respuesta Transitoria de Sistemas de Segundo Orden Subamortiguado

La respuesta de un escalón unitário a un sistema de segundo orden subamortiguado puede verse a continuación:

Sistema Subamortiguado

Tiempo Máximo Pico

El tiempo de pico t_p se obtiene derivando la ecuación temporal y evaluando la respuesta en t=t_p

\left.\begin{matrix}
\dfrac{dx(t)}{dt}
\end{matrix}\right|_{t=t_p}

De esa forma podemos encontrar el tiempo de máximo pico:

t_p=\dfrac{\pi}{\omega_n\sqrt{1-\zeta^2}}

Tiempo de Establecimiento

El tiempo de establecimiento se obtiene a través de la constante de tiempo propia de un sistema subamortiguado dado por:

\tau_{eq} = \dfrac{1}{\zeta\omega_n}

Como puede ser observado en la respuesta, el tiempo de establecimiento viene dado por medio de una tolerancia permitida. Dicha tolerancia permitida puede ser del 2% o del 5%, Cuando el sistema oscila dentro de esa tolerancia podemos decir que el sistema de segundo orden se encuentra dentro del regimen permanente.

2\%\rightarrow t_s=\dfrac{4}{\zeta \omega_n}
5\%\rightarrow t_s=\dfrac{3}{\zeta \omega_n}

Máximo Sobreimpulso

Es usado para medir cuanto la señal sobrepasa la referencia con relación a su estado estacionario.

El máximo sobrepaso o sobreimpulso (overshoot) puede medirse de dos formas:

M_p=100e^{\dfrac{-\pi \zeta}{\sqrt{1-\zeta^2}}}

o de la siguiente forma, donde Xss es el valor en estado estacionario.

M_p=100\dfrac{x_{max}-x_{ss}}{x_{ss}}

Sistema Criticamente Amortiguado (ζ=1)

Un sistema criticamente amortiguado es aquel que posee dos polos iguales (polos con multiplicidad) ubicados en el mismo punto del plano complejo para un sistema de segundo grado. Analizando el sistema ante una entrada escalón, Cuando ζ=1:

s_{1,2}=-\omega_n

El diagrama de polos y ceros viene dado por:

Diagrama de Polos de Sistemas de Segundo Orden Críticamente Amortiguado
Diagrama de Polos Sistema Críticamente Amortiguado

Sustituyendo en la ecuación de segundo orden y multiplicando por el escalón de magnitud A:

X(s)=\dfrac{AK\omega_n^2}{s(s+\omega_n)^2}

Aplicando fracciones parciales:

X(s)=\dfrac{B}{s}+\dfrac{C}{(s+\omega_n)^2}+\dfrac{D}{s+\omega_n}
X(s)=\dfrac{AK}{s}-\dfrac{AK\omega_n}{(s+\omega_n)^2}-\dfrac{AK}{s+\omega_n}

Aplicando la transformada inversa de Laplace al sistema de segundo orden críticamente amortiguado:

x(t)=AK\left[ 1 -e^{-\omega_n t} \left(\omega_n t +1\right)\right]

Respuesta Transitoria del Sistema Críticamente Amortiguado

Respuesta del Sistema Críticamente Amortiguado

El tiempo de establecimiento t_s podemos encontrarlo, suponiendo que aplicamos el criterio del 2% donde el sistema se considera que llegó al estado estacionario.

Partiendo de la ecuación temporal del sistema de segundo orden críticamente amortiguado, encontramos el valor de t_s.

0.98=1 -e^{-\omega_n t_s} \left(\omega_n t_s +1\right)
t_s=\dfrac{5.8335}{\omega_n}

👉 Sistema Sobreamortiguado (ζ>1)

Un sistema sobreamortiguado es aquel que posee dos polos reales dentro de un sistema de segundo orden, donde ya no existen oscilaciones. Analizando el sistema ante una entrada escalón, Cuando ζ>1:

s_{1,2}=-\zeta\omega_n\pm\omega_n\sqrt{\zeta^2-1}

El diagrama de polos y ceros viene dado por:

Polos y Ceros Sistema s de Segundo Orden Sobreamortiguado
Diagrama de Polos Sistema Sobreamortiguado

Sustituyendo en la ecuación de segundo orden los dos polos del sistema

\dfrac{X(s)}{F(s)}=\dfrac{K\omega_n^2}{(s+\zeta\omega_n+\omega_n\sqrt{\zeta^2-1})(s+\zeta\omega_n-\omega_n\sqrt{\zeta^2-1})}

Si renombramos los polos como:

\sigma_1=\zeta\omega_n+\omega_n\sqrt{\zeta^2-1}
\sigma_2=\zeta\omega_n-\omega_n\sqrt{\zeta^2-1}

Podremos reescribir el sistema de segundo orden sobreamortiguado de forma compacta como:

\dfrac{X(s)}{F(s)}=\dfrac{K\sigma_1\sigma_2}{(s+\sigma_1)(s+\sigma_2)}

Aplicando el escalón de magnitud A:

X(s)=\dfrac{AK\sigma_1\sigma_2}{s(s+\sigma_1)(s+\sigma_2)}

Expandiendo por fracciones parciales:

X(s)=AK\left(\dfrac{1}{s}-\dfrac{\sigma_2}{\sigma_2-\sigma_1}\dfrac{1}{s+\sigma_1}-\dfrac{\sigma_1}{\sigma_1-\sigma_2}\dfrac{1}{s+\sigma_2}\right)

Aplicando transformada inversa de Laplace llegamos a la ecuación temporal del sistema sobreamortiguado:

x(t)=AK\left(1+\dfrac{\sigma_1}{\sigma_2-\sigma_1}e^{-\sigma_2t}-\dfrac{\sigma_2}{\sigma_2-\sigma_1}e^{-\sigma_1t}\right)

Respuesta sistema sobreamortiguado

Sistema sobreamortiguado
Respuesta sistema sobreamortiguado

Para encontrar el tiempo de establecimiento, aplicamos nuevamente el criterio del 2% a la ecuación temporal:

0.98=1+\dfrac{\sigma_1}{\sigma_2-\sigma_1}e^{-\sigma_2t_s}-\dfrac{\sigma_2}{\sigma_2-\sigma_1}e^{-\sigma_1t_s}

Suponiendo un polo dominante (\sigma_2=a\sigma_1)

0.98=1+\dfrac{1}{a-1}e^{-a\sigma_1t_s}-\dfrac{a}{a-1}e^{-\sigma_1t_s}

Si a>>1 implica que

\dfrac{1}{a-1}=0\ y\ que\ \dfrac{a}{a-1}=1

Entonces

e^{-\sigma_1t_s}=0.02
t_s=\dfrac{3.9120}{\sigma_1}

Sistemas de Segundo Orden Matlab

La creación de una función de transferencia de segundo orden en matlab es muy sencilla, y para eso vamos a valernos del comando tf (transfer function).

De esa forma puedes crear sistemas de segundo orden con matlab asi:

G(s)=\dfrac{18}{s^2+2.4s+9}
Num=18;
Den=[1, 2.4, 9];
G=tf(Num,Den)

En este caso observemos que el número de coeficientes del vector del denominador siempre tienen que ser igual a tres, para poder construir un sistema de segundo orden.

Ejercicios Resueltos

A continuación vamos a ver ejercicios resueltos sobre sistemas de segundo orden.

Aplicando lo aprendido sobre los sistemas de Segundo Orden. Para el siguiente sistema ante una entrada del tipo escalón unitario:

G(s)=\dfrac{18}{s^2+2.4s+9}
  1. Halle la expresión de y(t)
  2. Obtenga el tiempo de máximo pico y el Máximo Pico
  3. El valor de la salida en estado estable
  4. Grafique la salida.

Para ver la solución del ejemplo, basta con que compartas el contenido de este post en redes sociales para ayudar que este sitio web continue aportando más contenido gratuito y de calidad.

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 1. Halle la expresión de y(t).  Comparando:

G(s)=\dfrac{K\omega_n^2}{s^2+2\zeta\omega_ns+\omega_n^2} \rightarrow  G(s)=\dfrac{18}{s^2+2.4s+9}
\omega_n^2=9 \rightarrow \omega_n=3
K\omega_n^2=18 \rightarrow K=\dfrac{18}{9}=2
2\zeta\omega_n=2.4 \rightarrow  \zeta=\dfrac{2.4}{2*3}=0.4

Por lo tanto tenemos un sistema subamortiguado de segundo orden. La ecuación temporal del sistema viene dado por:

y(t)=AK\left[1-\dfrac{e^{-\zeta\omega_nt}}{\sqrt{1-\zeta^2}}sin\left(\omega_d t+tan^{-1}\dfrac{\sqrt{1-\zeta^2}}{\zeta}\right)\right]

Sustituyendo los valores, llegamos a la ecuación temporal del sistema, recordando que por causa del escalón unitário A=1:

y(t)=2\left[1-1.09e^{-1.2t}\ sin\left(2.75 t+1.16\right)\right],\ t\geq 0

 Obtenga el tiempo de máximo pico y el Máximo Pico (dado que 0<ζ<1) aplicando las ecuaciones del sistema subamortiguado:

t_p=\dfrac{\pi}{3\sqrt{1-0.4^2}}=1.14\ s
M_p=100e^{\dfrac{- 0.4\pi}{\sqrt{1-0.4^2}}}=25.38\%
t_s=\dfrac{4}{0.4*3}=3.333 s

 El valor de la salida en estado estable:  Por el teorema del valor Final:

y_{ee}=\underset{s\rightarrow 0}{Lim}\ s\dfrac{18}{s(s^2+2.4s+9)}=2

Grafique la salida.

Ejemplo sistema de segundo orden subamortiguado
Sistema Sobreamortiguado

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Eso es todo por la entrada del dia de hoy, espero les haya gustado y hayan aprendido algo nuevo. Si te ha servido el contenido de esta entrada, de los videos y los códigos de implementación y deseas apoyar mi trabajo invitandome a un café super barato, puedes hacerlo en el siguiente link:

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Que esten muy bien, nos vemos en la siguiente entrada.