▷ Criterio de Estabilidad de Routh-Hurwitz [Sistemas de Control]

Hola controleros y controleras, el día de hoy vamos a estudiar el Criterio de Estabilidad de Routh-Hurwitz, que nos permitirá conocer cuando un sistema lineal es estable.

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Estabilidad de Sistemas Dinámicos Lineales

Uno de los problemas más importantes que deben ser solucionados en un sistema de control lineal es la estabilidad del mismo.

Por lo tanto se hace imprescindible conocer, que condiciones se deben cumplir para que el sistema se vuelva inestable. Y de cumplirse esto (condición no deseada) entonces que se puede hacer para estabilizar el sistema.

Hasta este punto, hemos visto que la estabilidad de un sistema es regida por la ubicación de los polos. Entonces, un sistema será estable si TODOS los polos del sistema se encuentran en el semi-plano izquierdo del plano complejo S.

El sistema lineal en lazo cerrado más común viene representado por la siguiente función de transferencia:

$T(s)=\dfrac{N(s)}{a_ns^n+a_{n-1}s^{n-1}+…+a_1s+a_0}=\dfrac{N(s)}{D(s)}$

Lo primero que podemos verificar de la función de transferencia anterior, son los signos de los coeficientes del denominador.

Si el denominador presenta signos intercambiados, ya es un fuerte indicio de que el sistema sea inestable. Sin embargo debemos cumplir lo siguiente.

$T(s)$ sera estable si:

$D(s)$ no tiene raíces en el semi plano derecho.
$D(s)$ no tiene raíces repetidas sobre el eje $j\omega$

$T(s)$ será asintóticamente estable si todas las raíces de $D(s)$ están en el semi-plano izquierdo del plano complejo.

¿En que consiste el criterio de Routh Hurwitz?

El teorema de Routh Hurwitz consiste en un simple procedimiento o algoritmo para poder determinar si existe alguna raíz o polo en el semiplano derecho del plano complejo “s”, donde si almenos existe una raíz el sistema es inestable, caso contrario, si NO hay ninguna raíz en el semiplano derecho el sistema es estable.

Eduard John Routh propuso este procedimiento en su conocido trabajo como “A Treatise On the Stability of a Given State of Motion: Particularly Steady Motion“en 1877.

Diagrama de Polos y Ceros

Software de Simulink

MATLAB, que significa MATrix LABoratory, es un entorno de computación técnica para computación y visualización numérica de alto rendimiento el cual es altamente especializado para el estudio y proyectos de sistemas de control.
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Criterio de Estabilidad de Routh-Hurwitz

El punto de partida para determinar la estabilidad de un sistema de control usando el método de Routh es tomar un polinomio, que en el caso de los sistemas de control es la ecuación característica o denominador de la función de transferencia de lazo cerrado:

1) $D(s)=a_ns^n+a_{n-1}s^{n-1}+a_{n-2}s^{n-2}+a_{n-3}s^{n-3}+…+a_1s+a_0$

En este caso se asume que $a_0\neq 0$ para eliminar raíces sobre el origen.

Para efectos de entendimiento de este método, se asume que el criterio de estabilidad de Routh-Hurwitz será un algoritmo el cual resolveremos secuencialmente de la siguiente forma:

2) Construir la tabla de Routh colocando en la primera columna todas las potencias de s:

$\begin{matrix}s^n\\s^{n-1}\\s^{n-2}\\s^{n-3}\\\vdots \\s^2\\s\\s^0\end{matrix}$

3) Con el polinomio del punto 1, podemos completar las primeras dos filas del punto anterior

$\begin{matrix}s^n & a_n & a_{n-2}& a_{n-4}&\cdots \\s^{n-1}& a_{n-1}& a_{n-3}& a_{n-5}&\cdots\\s^{n-2}\\s^{n-3}\\\vdots \\s^2\\s\\s^0\end{matrix}$

4) los otros elementos de la tabla son los elementos desconocidos, entonces inicialmente procedemos a colocar unos coeficientes que serán nuestras incógnitas, comenzando desde $b$ , luego $c$ para la siguiente fila y así sucesivamente.

$\begin{matrix}s^n & a_n & a_{n-2}& a_{n-4}&\cdots \\s^{n-1}& a_{n-1}& a_{n-3}& a_{n-5}&\cdots\\s^{n-2}& b_1& b_2& b_3&\cdots\\s^{n-3}& c_1& c_2& c_3&\cdots\\\vdots &\vdots&\vdots\\s^2&e_1&e_2\\s&f_1\\s^0&g_1\end{matrix}$

Los coeficientes desconocidas se determinan asi:

$b_1=\dfrac{a_{n-1}a_{n-2}-a_{n}a_{n-3}}{a_{n-1}}$

$b_2=\dfrac{a_{n-1}a_{n-4}-a_{n}a_{n-5}}{a_{n-1}}$

$c_1=\dfrac{b_1a_{n-3}-a_{n-1}b_2}{b_1}$

$c_2=\dfrac{b_1a_{n-5}-a_{n-1}b_3}{b_1}$

El criterio de Routh-Hurwitz consiste entonces en observar la primera columna de la tabla que nos dirá el número de polos o raíces inestables, donde:

El número de cambios de signo en la primera columna corresponde al número de polos inestables que posee el sistema.

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Caso Especial 1 de Routh-Hurwitz

El criterio de estabilidad de Routh-Hurwitz posee algunos casos especiales, los cuales deberemos tener en cuenta a la hora de analizar la estabilidad del sistema en lazo cerrado.

En este primer caso, va a aparecer un cero en la fila pivote del sistema como vista en la matriz de Routh Hurwitz:

como el cero no tiene signo, entonces lo que se procede a hacer es substituir ese cero, por un número extremadamente pequeño y POSITIVO el cual se representa con la letra griega $\varepsilon$ .

En este punto es importante destacar que dentro de la columna pivote, cuando el resultado es CERO, NO se coloca el CERO y SI el $\varepsilon$ para poder continuar con los cálculos de las demás incógnitas.

Una vez se completa la tabla de Routh, las incognitas $e,f,g,h$ estarán todas en función de la variable desconocida $\varepsilon$ , sin embargo aquí, lo importante NO es encontrar el valor de esa incognita, si no el signo (positivo o negativo) y para eso, SOLO tomamos las incógnitas de la columna pivote y procedemos a realizar un limite cuando $\varepsilon$ tiende para cero.

$\underset{\varepsilon \to 0}{\rm lim}\ f_1$

$\underset{\varepsilon \to 0}{\rm lim}\ g_1$

$\underset{\varepsilon \to 0}{\rm lim}\ h_1$

Desarrollando los limites anteriores se puede determinar cuantos cambios de signo tiene la columna pivote y saber cuantos polos el sistema tiene en la region de inestabilidad. Te recomiendo veas el ejemplo para que te quede más claro este caso especial.

Caso Especial 2 de Routh-Hurwitz

El segundo caso especial del criterio de estabilidad de Routh-Hurwits ocurre cuando existen polos ubicados sobre el eje imaginário $j\omega$ , eso provoca que TODA una fila del arreglo de Routh sea CERO.

Polos Complejos Conjugados

Cuando se nota que toda una fila da CERO, NO se sustituye el cero por $\varepsilon$ como en el caso anterior. Si no que seguimos el Siguiente procedimiento:

Forme un nuevo polinomio usando los coeficientes de la fila inmediatamente arriba de los ceros. El polinomio comenzará con la potencia de s en esa fila y continuará saltando una potencia de s, es decir:

$P(s)=a_{n-5}s^{n-5}+a_{n-7}s^{n-7}+a_{n-9}s^{n-9}+…+a_2s^2+a_0$

A continuación, diferenciamos el polinomio con respecto a s y obtenemos:

$\dfrac{dP(s)}{ds}=a_{n-5}(n-5)s^{n-6}+a_{n-7}(n-7)s^{n-8}+a_{n-9}(n-9)s^{n-10}+…+2a_2s+0$

Finalmente, la fila con todos los ceros en la tabla de Routh se reemplaza con los coeficientes de la derivada anterior y continúa el procedimiento normal en la tabla.
$\begin{matrix}s^n & a_n & a_{n-2}& a_{n-4}&\cdots \\s^{n-1}& a_{n-1}& a_{n-3}& a_{n-5}&\cdots\\s^{n-2}& b_1& b_2& b_3&\cdots\\s^{n-3}& c_1& c_2& c_3&\cdots\\\vdots &\vdots&\vdots\\s^{n-6}& a_{n-5}(n-5) & a_{n-7}(n-7)& a_{n-9}(n-9)&\cdots\\s^{n-7}& f_1& f_2& f_3&\cdots\\\vdots &\vdots&\vdots\\s&g_1\\s^0&h_1\end{matrix}$

Te invito a ver el Ejemplo 4 para que veas como solucionar este tipo especial.

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Criterio de Routh Hurwitz Ejercicios Resueltos

Para que te quede más claro como utilizar el criterio de Routh Hurwitz para determinar si un sistema es estable puedes ver los siguientes ejercicios resueltos:

Ejemplo 1

Considerando la siguiente ecuación característica del sistema en lazo cerrado, determine si es estable utilizando el arreglo de Routh-Hurwitz.

$D(s)=s^5+2s^4+4s^3+6s^2+8s+12$

Construimos el arreglo de Routh-Hurwitz llenando las dos primeras filas:

$\begin{matrix}s^5 & 1 & 4 & 8 \\s^4 & 2 & 6 & 12\\s^3\\s^2\\s\\s^0\end{matrix}$

las incógnitas vienen dadas por:

$b_1=\dfrac{(2)(4)-(1)(6)}{2}=\dfrac{8-6}{2}=1$

$b_2=\dfrac{(2)(8)-(1)(12)}{2}=\dfrac{16-12}{2}=2$

llenamos la tercera fila:

$\begin{matrix}s^5 & 1 & 4 & 8 \\s^4 & 2 & 6 & 12\\s^3 & 1 & 2 & 0\\s^2\\s\\s^0\end{matrix}$

$c_1=\dfrac{(1)(6)-(2)(2)}{1}=\dfrac{6-4}{1}=2$

$c_2=\dfrac{(1)(12)-(2)(0)}{1}=12$

llenamos la cuarta fila:

$\begin{matrix}s^5 & 1 & 4 & 8 \\s^4 & 2 & 6 & 12\\s^3 & 1 & 2 & 0\\s^2 & 2 & 12\\s\\s^0\end{matrix}$

$d_1=\dfrac{(2)(2)-(1)(12)}{2}=\dfrac{4-12}{2}=-4$

$d_2=\dfrac{(2)(0)-(1)(0)}{2}=0$

llenamos la quinta fila:

$\begin{matrix}s^5 & 1 & 4 & 8 \\s^4 & 2 & 6 & 12\\s^3 & 1 & 2 & 0\\s^2 & 2 & 12\\s & -4\\s^0\end{matrix}$

$e_1=\dfrac{(-4)(12)-(2)(0)}{-4}=12$

llenamos la sexta fila:

$\begin{matrix}s^5 & 1 & 4 & 8 \\s^4 & 2 & 6 & 12\\s^3 & 1 & 2 & 0\\s^2 & 2 & 12\\s & -4\\s^0 & 12\end{matrix}$

Observamos la primera columna del arreglo de Routh-Hurwitz y podemos ver que el signo cambió dos veces, de 2 a -8 y de -8 a 12. Por lo tanto, el sistema es inestable y presenta dos polos en el semi-plano positivo.

Los polos de este sistema son:

$\begin{matrix}&s_1=-1.639\\&s_{2,3}= -0.8062 \pm j 1.5035\\&s_{4,5}= 0.6257 \pm j1.4574\end{matrix}$

Y se pueden obtener usando el siguiente código de Matlab:

%Ejemplo 1
D1 = [1 2 4 6 8 12];
roots(D1)

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Ejemplo 2

Considerando la siguiente ecuación característica del sistema en lazo cerrado, determine si es estable utilizando el arreglo de Routh.

$D(s)=s^3+14s^2+55s+42$

Construimos el arreglo de Routh-Hurwitz llenando las dos primeras filas y colocando las incógnitas:

$\begin{matrix}s^3& 1 & 55 \\s^2& 14 & 42\\s & c_1\\s^0& d_1\end{matrix}$

donde:

$c_1=\dfrac{(14)(55)-(1)(42)}{14}=\dfrac{770-42}{14}=52$

$d_1=\dfrac{(52)(42)-(14)(0)}{52}=42$

El arreglo de Routh-Hurwitz queda:

$\begin{matrix}s^3& 1 & 55 \\s^2& 14 & 42\\s & 52\\s^0& 42\end{matrix}$

Si observamos la primera columna, veremos que nunca ocurre un cambio de signo, por lo tanto siguiendo el criterio de estabilidad de Routh podemos afirmar que todos los polos del sistema están en el semi-plano izquierdo, por lo tanto el sistema es estable.

Los polos de este sistema son:

$\begin{matrix}s_1=-7\\s_2= -6\\s_3= -1\end{matrix}$

Y se pueden obtener usando el siguiente código de Matlab:

%Ejemplo 2
D2=conv([1 1],conv([1 6],[1 7]));
roots(D2)

A continuación veremos dos ejercicios resueltos del criterio de Routh Hurwitz en sus casos especiales:

Ejemplo 3: Caso especial 1

Determine la estabilidad de la función de transferencia de lazo cerrado:

$T(s)=\dfrac{10}{s^5+2s^4+3s^3+6s^2+5s+3}$

Construimos el arreglo de Routh llenando las dos primeras filas:

$\begin{matrix}s^5 & 1 & 3 & 5 \\s^4 & 2 & 6 & 3\\s^3&b_1\\s^2\\s\\s^0\end{matrix}$

las incógnitas vienen dadas por:

$b_1=\dfrac{(2)(3)-(1)(6)}{2}=0$

Como nos dio cero, lo que hacemos es colocar el valor de $\varepsilon$ que recordemos es un valor POSITIVO y muy pequeño.

$\begin{matrix}s^5 & 1 & 3 & 5 \\s^4 & 2 & 6 & 3\\s^3 & \varepsilon& b_2\\s^2\\s\\s^0\end{matrix}$

$b_2=\dfrac{(2)(5)-(1)(3)}{2}=3.5$

Procedemos a encontrar las incógnitas de la siguiente fila:

$\begin{matrix}s^5 & 1 & 3 & 5 \\s^4 & 2 & 6 & 3\\s^3 & \varepsilon& 3.5&0\\s^2&c_1&c_2\\s\\s^0\end{matrix}$

$c_1=\dfrac{6\varepsilon-(2)(3.5)}{\varepsilon}=\dfrac{6\varepsilon-7}{\varepsilon}$

$c_2=\dfrac{3\varepsilon-(2)(0)}{\varepsilon}=3$

Procedemos a encontrar las incógnitas de la siguiente fila:

$\begin{matrix}s^5 & 1 & 3 & 5 \\s^4 & 2 & 6 & 3\\s^3 & \varepsilon& 3.5&0\\s^2&\dfrac{6\varepsilon-7}{\varepsilon}&3&0\\s&d_1&0&0\\s^0\end{matrix}$

$d_1=\dfrac{3.5\left( \dfrac{6\varepsilon-7}{\varepsilon}\right)-3\varepsilon}{\dfrac{6\varepsilon-7}{\varepsilon}}=\dfrac{42\varepsilon-49-6\varepsilon^2}{12\varepsilon-14}$

Procedemos a encontrar las incógnitas de la siguiente fila:

$\begin{matrix}s^5 & 1 & 3 & 5 \\s^4 & 2 & 6 & 3\\s^3 & \varepsilon& 3.5&0\\s^2&\dfrac{6\varepsilon-7}{\varepsilon}&3&0\\s&\dfrac{42\varepsilon-49-6\varepsilon^2}{12\varepsilon-14}&0&0\\s^0&e_1&0&0\end{matrix}$

$e_1=\dfrac{3\dfrac{42\varepsilon-49-6\varepsilon^2}{12\varepsilon-14}}{\dfrac{42\varepsilon-49-6\varepsilon^2}{12\varepsilon-14}}=3$

Una vez finalizado el arreglo de Routh-Hurwitz, procedemos a determinar el signo de las filas 4 y 5 de la columna pivote, recordando que $\varepsilon$ es un número muy pequeño pero positivo.

$\underset{\varepsilon \to 0}{\rm lim}\ \dfrac{6\varepsilon-7}{\varepsilon}=\underset{\varepsilon \to 0}{\rm lim}\ \dfrac{-7}{\varepsilon}<0$ Número negativo

$\underset{\varepsilon \to 0}{\rm lim}\ \dfrac{42\varepsilon-49-6\varepsilon^2}{12\varepsilon-14}=\underset{\varepsilon \to 0}{\rm lim}\ \dfrac{-49}{-14}=3.5>0$ Número positivo

$\begin{matrix}s^5 & 1 & 3 & 5 \\s^4 & 2 & 6 & 3\\s^3 & \varepsilon& 3.5&0\\s^2&\dfrac{6\varepsilon-7}{\varepsilon}<0&3&0\\s&3.5&0&0\\s^0&3&0&0\end{matrix}$

Si observamos la primera columna, veremos que ocurre dos cambios de signo, por lo tanto siguiendo el criterio de estabilidad de Routh-Hurwitz podemos afirmar que el sistema tiene dos polos en el semi-plano derecho, por lo tanto el sistema es inestable.

Los polos de este sistema son:

$\begin{matrix}s_1=-1.6681\\s_{2,3}= -0.5088 \pm j 0.7020\\s_{4,5}= 0.3429 \pm j1.5083\end{matrix}$

Y se pueden obtener usando el siguiente código de Matlab:

%Ejemplo 3
D3=[1 2 3 6 5 3];
roots(D3)

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Ejemplo 4: Caso especial 2

Determine la estabilidad de la función de transferencia de lazo cerrado:

$T(s)=\dfrac{10}{s^5+7s^4+6s^3+42s^2+8s+56}$

Construimos el arreglo de Routh llenando las dos primeras filas:

$\begin{matrix}s^5 & 1 & 6 & 8 \\s^4 & 7 & 42 & 56\\s^3\\s^2\\s\\s^0\end{matrix}$

Aunque en los otros ejercicios no lo hemos hehco, cabe resaltar que para simplificar los cálculos las filas de la tabla de Routh pueden ser simplificadas, en este caso la segunda fila la puedo dividir toda por 7 asi:

$\begin{matrix}s^5 & 1 & 6 & 8 \\s^4 & 1 & 6 & 8\\s^3&b_1 & b_2& 0\\s^2\\s\\s^0\end{matrix}$

$b_1=\dfrac{(1)(6)-(1)(6)}{1}=0$

$b_2=\dfrac{(1)(8)-(1)(8)}{1}=0$

$\begin{matrix}s^5 & 1 & 6 & 8 \\s^4 & 1 & 6 & 8\\s^3&0 & 0 & 0\\s^2\\s\\s^0\end{matrix}$

Como tenemos una fila completamente llena de ceros, caemos en el caso especial del critério de Routh-Hurwits, en este caso aplicamos el procedimiento:

Forme un nuevo polinomio usando los coeficientes de la fila inmediatamente arriba de los ceros. El polinomio comenzará con la potencia de s en esa fila y continuará saltando una potencia de s, es decir:

$P(s)=s^{4}+6s^{2}+8$

A continuación, diferenciamos el polinomio con respecto a s y obtenemos:

$\dfrac{dP(s)}{ds}=4s^{3}+12s+0$

Finalmente, la fila con todos los ceros en la tabla de Routh se reemplaza con los coeficientes de la derivada anterior y continúa el procedimiento normal en la tabla.

$\begin{matrix}s^5 & 1 & 6 & 8 \\s^4 & 1 & 6 & 8\\s^3&4 & 12 & 0\\s^2\\s\\s^0\end{matrix}$

Nuevamente simplificamos la fila 3 dividiendo todo por 4 y obtenemos las siguientes incógnitas:

$\begin{matrix}s^5 & 1 & 6 & 8 \\s^4 & 1 & 6 & 8\\s^3 & 1 & 3 & 0\\s^2 & c_1&c_2\\s\\s^0\end{matrix}$

$c_1=\dfrac{(1)(6)-(1)(3)}{1}=3$

$c_2=\dfrac{(1)(8)-(1)(0)}{1}=8$

$\begin{matrix}s^5 & 1 & 6 & 8 \\s^4 & 1 & 6 & 8\\s^3 & 1 & 3 & 0\\s^2 & 3 & 8\\s & d_1\\s^0\end{matrix}$

$d_1=\dfrac{(3)(3)-(1)(8)}{3}=1/3$

$\begin{matrix}s^5 & 1 & 6 & 8 \\s^4 & 1 & 6 & 8\\s^3 & 1 & 3 & 0\\s^2 & 3 & 8\\s & 1/3\\s^0 & e_1\end{matrix}$

$e_1=\dfrac{(1/3)(8)-(3)(0)}{1/3}=8$

$\begin{matrix}s^5 & 1 & 6 & 8 \\s^4 & 1 & 6 & 8\\s^3 & 1 & 3 & 0\\s^2 & 3 & 8\\s & 1/3\\s^0 & 8\end{matrix}$

Si observamos la primera columna, veremos que nunca ocurre un cambio de signo, por lo tanto siguiendo el criterio de estabilidad de Routh podemos afirmar que todos los polos del sistema están en el semi-plano izquierdo, por lo tanto el sistema es estable.

Los polos de este sistema son:

$\begin{matrix}s_1=-7\\s_{2,3}= \pm j 2\\s_{4,5}= \pm j1.4142\end{matrix}$

Y se pueden obtener usando el siguiente código de Matlab:

%Ejemplo 4
N4=10;
D4=[1 7 6 42 8 56];
roots(D4)

G4 = tf(N4,D4);
impulse(G4)

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Usando Routh-Hurwitz en los sistemas de control

Podemos usar el criterio de Routh Hurwitz para determinar el rango de k para que el sistema sea estable, y eso lo explicamos en detalle en este ejemplo.

Muchas veces queremos verificar si un sistema, va a actuar de manera estable, principalmente si este se encuentra en una configuración de lazo cerrado con un controlador.

Robot Soldador

Primero, para entender este concepto, pensemos en el siguiente sistema el cual consiste en un robot de soldadura automotriz. Inicialmente supongamos que el robot es manipulado manualmente por medio de un Joystick el cual permite mover el cabezal del robot en diferentes posiciones y vamos a suponer para este ejemplo que su función de transferencia en lazo abierto viene dado por:

$G(s) = \dfrac{s+0.6}{(s+0.1)(s+1)(s+2)(s+3)}$

Es fácil ver que los polos de ese sistema se encuentran en -0.1, -1, -2, -3. Teniendo los polos en el semiplano izquierdo, siendo entonces un sistema estable.

Sin embargo para que el robot consiga soldar adecuadamente una pieza automotriz, será necesario que el mecanismo de joystick sea manipulado por un controlador (computador) en ese caso, el sistema se coloca en lazo cerrado, realimentando la posición del cabezal del robot hacia el controlador, suponiendo que posee un sensor de posición perfecto (función de transferencia del sensor igual a 1):

Robot Soldador en Lazo Cerrado

Con el sistema en lazo cerrado, se debe garantizar que el robot no entre en la zona de inestabilidad. Este estudio de estabilidad es fácil realizarlo si analizamos el diagrama de Bode o Nyquist, los cuales son métodos que permiten conocer tanto la estabilidad del lazo cerrado como conocer el margen de ganancia que tiene el sistema. Sin embargo, cuando nuestro sistema se expresa de la siguiente forma, donde los polos y ceros no se encuentran en su forma explicita:

$G(s) = \dfrac{s+0.6}{s^4+6.1s^3+11.6s^2+7.1s+0.6}$

Si no contamos con herramientas computacionales, aplicar los diagramas de Bode o Nyquist de forma manual se vuelven un poco más complejos, por lo tanto en estos casos, el utilizar el criterio de estabilidad de Routh-Hurwitz es la mejor opción.

Sin embargo, es bastante común adicionar al lazo de control un controlador que permita modificar el desempeño del sistema, y el más común y simple de todos los controladores es un control proporcional.

A continuación veremos un ejercicio representado por el siguiente diagrama de bloques de lazo cerrado empleando el criterio de Routh Hurwitz parametro k.

Estabilidad de Lazo Cerrado Routh-Hurwitz

En este caso vamos a emplear el arreglo de Routh para poder determinar el rango de variación del controlador proporcional de tal forma que el sistema del robot soldador se mantenga dentro de la zona de estabilidad.

Sabemos que la ecuación del sistema en lazo cerrado viene dado por:

$T(s)=\dfrac{C(s)G(s)}{1+C(s)G(s)}$

Vamos a tomar la ecuación característica solamente $1+C(s)G(s)=0$ y reemplazamos valores:

$1+C(s)G(s)=1+k\dfrac{s+0.6}{s^4+6.1s^3+11.6s^2+7.1s+0.6}=0$

$s^4+6.1s^3+11.6s^2+7.1s+0.6+k(s+0.6)=0$

$s^4+6.1s^3+11.6s^2+(7.1+k)s+0.6(1+k)=0$

Una vez tenemos la ecuacuón característica de lazo cerrado, podremos determinar cual es el intervalo donde podremos variar $k$ para que se mantenga estable el sistema. En este caso procedemos a crear el arreglo de Routh:

$\begin{matrix}s^4 & 1 & 11.6 & 0.6(1+k)\\s^3 & 6.1 & 7.1+k & 0\\s^2 & b_1 & b_2\\s & c_1\\s^0 & e_1\end{matrix}$

Procedemos como siempre a encontrar las incógnitas:

$b_1=\dfrac{(6.1)(11.6)-(1)(7.1+k)}{6.1}$

$b_1=\dfrac{63.66-k}{6.1}$

$b_2=\dfrac{(6.1)(0.6+0.6k)-(1)(0)}{6.1}$

$b_2=0.6(1+k)$

$c_1=\dfrac{(b_1)(7.1+k)-(6.1)(b_2)}{b_1}$

$e_1=\dfrac{(c_1)(b_2)-(b_1)(0)}{c_1}$

$e_1=b_2$

Así el arreglo de Routh viene dado por:

$\begin{matrix}s^4 & 1 & 11.6 & 0.6(1+k)\\s^3 & 6.1 & 7.1+k & 0\\s^2 & b_1 & 0.6(1+k)\\s & c_1\\s^0 & 0.6(1+k)\end{matrix}$

Analizando la primera columna vemos que:

$b_1=\dfrac{63.66-k}{6.1}\geq 0$

$63.66-k\geq 0$

$63.66\geq k$

Por otro lado tenemos que:

$c_1=\dfrac{(b_1)(7.1+k)-(6.1)(b_2)}{b_1}\geq 0$

$(b_1)(7.1+k)-(6.1)(b_2)\geq 0$

$(\dfrac{63.66-k}{6.1})(7.1+k)-(6.1)(0.6(1+k))\geq 0$

$(63.66-k)(7.1+k)-22.326(1+k)\geq 0$

$-k^2+34.23k+429.66\geq 0$

$k^2-34.23k-429.66\leq 0$

Aplicando la formula general tenemos dos soluciones encontrando el intervalo de k para este termino: $-9.7659\leq k\leq43.9959$

Del último elemento del arreglo de Routh tenemos que:

$0.6(1+k)\geq 0$

$k\geq-1$

Por lo tanto, empleando el criterio de Routh Hurwitz, los intervalos donde puede variar k para que sea estable son: $-1\leq k\leq43.9959$

El ejercicio del criterio de Routh-Hurwitz encontrando el intervalo de valores K podemos corroborarlo en Matlab:

%Ejemplo 5
N5=[1 0.6];
D5=[1 6.1 11.6 7.1 0.6];

G5 = tf(N5,D5);

rlocus(G5)

Gm = margin(G5)

Bibliografía

➣ Ingeniería de Control Moderna. Katsuhiko Ogata. Editorial Prentice Hall. ➣ Norman S. Nise – Control Systems Engineering, Wiley, 2015

Eso es todo por la entrada del dia de hoy, espero les haya gustado y hayan aprendido algo nuevo. Si te ha servido el contenido de esta entrada, de los videos y los códigos de implementación y deseas apoyar mi trabajo invitandome a un café super barato, puedes hacerlo en el siguiente link:

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Que esten muy bien, nos vemos en la siguiente entrada.

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Sergio A. Castaño Giraldo

Mi nombre es Sergio Andres Castaño Giraldo, y en este sitio web voy a compartir una de las cosas que mas me gusta en la vida y es sobre la Ingeniería de Control y Automatización. El sitio web estará en constante crecimiento, voy a ir publicando material sobre el asunto desde temas básicos hasta temas un poco más complejos. Suscríbete al sitio web, dale me gusta a la página en Facebook y únete al canal de youtube. Espero de corazón que la información que comparto en este sitio, te pueda ser de utilidad. Y nuevamente te doy las gracias y la bienvenida a control automático educación.