Diagrama de Bode
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El norteamericano Hendrik Wade Bode (1905-1982) usó por primera vez en 1938 el diagrama que lleva su nombre para el estudio de estabilidad de sistemas en lazo cerrado. Durante la Segunda Guerra Mundial contribuyó al rápido desarrollo de servomecanismos para dispositivos de control de disparo. Su uso se extendió ampliamente en el estudio de los circuitos electrónicos [1]. En esta entrada te mostraré con ejemplos y videos como hacer el diagrama de bode paso a paso, para que entiendas por fin este complicado pero útil concepto.

Que es el diagrama de bode y para que sirve

El diagrama de bode es una técnica de análisis de sistemas y procesos muy importante en varias ingenierías porque gracias a una buena interpretación del diagrama de bode, podemos entender el comportamiento y funcionamiento de un proceso físico real en varias zonas de operación. Con el diagrama de bode podemos saber la estabilidad del sistema, podemos crear controladores dentro de las zonas de interés del proceso. El diagrama de bode sirve para entender en que regiones debemos operar el proceso y nos muestra en que otras regiones debemos trabajar para evitar dinámicas no deseadas. Por eso es importante que aprendas a graficar y hacer el diagrama de bode, y si todavia no lo entiendes bien, pues no desesperes que aqui vas a aprender como hacer un diagrama de bode.

Magnitud y Fase diagrama de bode

Antes que nada tal vez pueda interesarte aprender  👉 como trabajar con numeros complejos en MATLAB

Se debe recordar que cuando hablamos de diagramas de bode, este se encuentra constituido por dos gráficas debido a que para este análisis usamos números complejos, es decir que contaremos con un numero real y un numero imaginario. La representación gráfica en vectores de un numero complejo podemos verla a continuación:

Si consideramos el siguiente numero complejo:

W=b+aj

Donde b=Re(W)= parte real de W, y a=Im(W)= parte imaginaria de W.

Magnitud y Fase Diagrama de Bode

A partir de este triangulo podemos encontrar la magnitud (que es la hipotenusa o lado C) y la fase (\alpha, de la siguiente forma:

Magnitud: c=\sqrt{a^2+b^2}

Fase: \alpha=artan\left(\dfrac{a}{b}\right)

De la figura también podemos inferir que:

b=|W|cos\alpha

a=|W|sin\alpha

entonces sustituyendo en el numero complejo tenemos que:

W=|W|cos\alpha+j|W|sin\alpha

Pero por propiedades de calculo sabemos que el seno y coseno pueden expresarse como:

cos\alpha=\dfrac{e^{j\alpha}+e^{-j\alpha}}{2}

sin\alpha=\dfrac{e^{j\alpha}-e^{-j\alpha}}{2j}

Entonces con eso:

W=|W|\dfrac{e^{j\alpha}+e^{-j\alpha}}{2}+j|W|\dfrac{e^{j\alpha}-e^{-j\alpha}}{2j}

Ahora si tomamos el hermano gemelo de W (el conjugado), o sea:

Z=b-aj

Note que ahora la parte imaginaria es negativa, es facil demostrar que:

|W|=|Z| y que arg\ Z=-arg\ W

Por eso las dos gráficas del diagrama de bode corresponderán a la gráfica de la magnitud y a la gráfica de la fase. Por lo tanto la interpretación del diagrama de bode fisicamente nos va a decir cual es la amplitud de la señal aplicada al sistema y su desfase.

Interpretacion diagrama de bode

Como interpretar diagramas de bode

Aplicando el diagrama de Bode en la teoría de control, por ejemplo hacer un diagrama de bode de una función de transferencia, lo que queremos es determinar la respuesta en frecuencia (salida) de nuestro sistema en estado estable cuando perturbamos o estimulamos nuestro proceso con una entrada senoidal. Supongamos que tenemos un proceso, G(s), cualquiera (un tanque, un motor, un reactor, una turbina, etc) y le aplicamos a la entrada una señal en forma de seno o coseno.

graficar bode

 

Como se observa en la figura anterior, la idea básica del diagrama de bode, es que si yo aplico una entrada sinusoidal cualquiera x(t) a mi sistema, el cual es representado por x(t)=A sen(\omega t), donde A es la amplitud de la señal seno y \omega es el rango de frecuencia de interés, En la salida de mi sistema voy a tener una señal sinusoidal, la cual dependiendo de mi función de transferencia, puede salir con otra amplitud y desfasada con relación a la señal que le aplique a la entrada, esta señal de salida la podremos representar como x(t)=B sen(\omega t + \alpha), donde \alpha es el angulo de desfase y B la amplitud del seno de salida.

 

El diagrama de ganancias representa en el eje de ordenadas la amplitud de la señal de salida transformados a decibelios a traves de la siguiente ecuacion.

20Log(|G(j\omega)|)

Donde |G(j\omega)| es mi funcion de transferencia llevada al dominio de la frecuencia.

El diagrama de fases representa en el eje de ordenadas el desfase de la señal de salida en grados.

¿Pero como hacer el diagrama de bode de una función de transferencia o el diagrama de bode de polos y ceros?

Es sencillo, simplemente sustituyes en tu función de trasferencia la variable compleja “s” por j\omega.

Diagramas de Bode paso a paso de sistemas elementales

Para poder dibujar el diagrama de Bode de una función de transferencia cualquiera, es necesario conocer la forma que adopta dicho diagrama es el caso de las funciones de transferencia más elementales. Como por ejemplo en el caso en que tengamos una ganancia, un retraso en el tiempo, un integrador, un derivador, un polo, un cero, un polo doble y un cero doble.

A continuación vas a aprender a dibujar el diagrama de bode paso a paso y con un método muy sencillo, conocido como el diagrama de bode asintotico que nos permitira hacer diagrama de bode a mano facilmente y lo más importante es que vas a fijar el concepto en tu mente y entenderas por fin que es el diagrama de bode.

Diagrama de Bode de una Ganancia, un Integrador y un Derivador

En este video te doy la introducción acerca de los diagramas de bode y como vamos a abordar los problemas para comenzar realizar las graficas y su respectivo analisis. Veremos que es importante conocer como se estructuran los diagramas más elementales, en este caso una ganancia, un integrador y un derivador.

Diagrama de Bode de Polos y Ceros simples y conjugados y Retardos

En este video te doy la introducción acerca de los diagramas de bode y como vamos a abordar los problemas para comenzar realizar las graficas y su respectivo analisis. Veremos que es importante conocer como se estructuran los diagramas más elementales, en este caso polos y ceros simples y conjugados y retardos.

Ejemplos de diagrama de bode

A continuación vamos a graficar el diagrama de bode con ejemplos, para eso vamos a tomar como base diferentes características que pueden presentarse en las funciones de transferencia. Y como ya dominas la gráfica básica del diagrama de bode para las funciones elementales, estos diagramas de bode asintotico serán muy fáciles para ti.

Diagrama de bode función de transferencia – Ejemplo 1

Aquí comenzamos a aplicar un poco de lo aprendido y desarrollamos un ejemplo con diagramas de bode. Con un sistema con Ceros y polos simples. Vamos a hacer el diagrama de bode polos y ceros.

Como hacer un diagrama de bode – Ejemplo 2

Aquí comenzamos a aplicar un poco de lo aprendido y desarrollamos un ejemplo con diagramas de bode. Con un sistema con integrador y polos complejos conjugados. Aprendamos como graficar diagrama de bode usando ejemplos comunes.

Diagrama de bode asintotico – Ejemplo 3

Aquí comenzamos a aplicar un poco de lo aprendido y desarrollamos un ejemplo con diagramas de bode. Con un sistema con un cero inestable. Aqui aprenderemos como hacer un diagrama de bode asintotico y además veremos como podemos implementar en MATLAB las asintotas de los diagramas de bode.

 

Bibliográfica

  • [1] FUNDAMENTOS DE CONTROL AUTOMÁTICO DE SISTEMAS CONTINUOS Y MUESTREADOS – Dr. Jorge Juan Gil Nobajas y Dr. Ángel Rubio Díaz Cordovés

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Con el diagrama de bode podemos analizar el comportamiento dinámico de nuestros sistemas a través de la frecuencia. Veremos que el análisis usando Diagrama de Bode no es complicado y que por el contrario nos proporciona información muy valiosa que podemos aplicar en nuestros procesos.
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Esta entrada tiene 3 comentarios

  1. Hola Sergio, primero que todo, es genial todo tu trabajo y el conocimiento que compartes, el motivo del comentario son dos, primero agradecer el material, y el segundo es para que cheques dos detalles que hay en el texto, el primero es por como defines W=b+aj, “b” es la parte real y “a” la parte imaginaria, y la segunda es en las identidades de seno y coseno, repetiste dos veces el coseno, seguro ya lo sabías pero de no ser así espero arregles esos detalles.

    Un saludo y sigue así.

    1. Hola Genaro, muchisimas gracias por las observaciones, no me habia percatado. He corregido el texto. Saludos!!

  2. Donde puedo conseguir las diapositivas para estudiarlas?

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