▷ Diagrama de Bode Paso a Paso: Lo que NO te enseñaron

El norteamericano Hendrik Wade Bode (1905-1982) usó por primera vez en 1938 el diagrama que lleva su nombre para el estudio de estabilidad de sistemas en lazo cerrado. Durante la Segunda Guerra Mundial contribuyó al rápido desarrollo de servomecanismos para dispositivos de control de disparo. Su uso se extendió ampliamente en el estudio de los circuitos electrónicos [1]. En esta entrada te mostraré con ejemplos y videos como hacer el diagrama de bode paso a paso, para que entiendas por fin este complicado pero útil concepto.

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Que es el diagrama de bode y para que sirve

El diagrama de bode es una técnica de análisis de sistemas y procesos muy importante en varias ingenierías porque gracias a una buena interpretación del diagrama de bode, podemos entender el comportamiento y funcionamiento de un proceso físico real en varias zonas de operación. Con el diagrama de bode podemos saber la estabilidad del sistema, podemos crear controladores dentro de las zonas de interés del proceso. El diagrama de bode sirve para entender en que regiones debemos operar el proceso y nos muestra en que otras regiones debemos trabajar para evitar dinámicas no deseadas. Por eso es importante que aprendas a graficar y hacer el diagrama de bode, y si todavia no lo entiendes bien, pues no desesperes que aqui vas a aprender como hacer un diagrama de bode.

¿Como hacer un diagrama de bode experimentalmente?

Este proceso comienza con la aplicación de una señal sinusoidal de amplitud constante a un sistema, variando sistemáticamente la frecuencia a lo largo de un rango preestablecido. Se mide y registra la amplitud y la fase de la señal de salida en cada frecuencia. Los datos obtenidos se representan en dos gráficos: la magnitud en decibelios y la fase en grados versus la frecuencia logarítmica. Este análisis proporciona una visión crítica de las características del sistema, como la ganancia y los márgenes de fase, esenciales para el diseño y ajuste de controladores.

En el siguiente video vemos un ejemplo paso a paso para obtener el diagrama de bode de un proceso real conocido como Motor-Generador. Los codigos aqui empleador los puedes obtener de mi repositorio en GitHub

Obtener códigos

Magnitud y Fase diagrama de bode

Antes que nada tal vez pueda interesarte aprender 👉 como trabajar con numeros complejos en MATLAB

Se debe recordar que cuando hablamos de diagramas de bode, este se encuentra constituido por dos gráficas debido a que para este análisis usamos números complejos, es decir que contaremos con un numero real y un numero imaginario. La representación gráfica en vectores de un numero complejo podemos verla a continuación:

Si consideramos el siguiente numero complejo:

$W=b+aj$

Donde $b=Re(W)$ = parte real de W, y $a=Im(W)$ = parte imaginaria de W.

A partir de este triangulo podemos encontrar la magnitud (que es la hipotenusa o lado C) y la fase ( $\alpha$ , de la siguiente forma:

Magnitud: $c=\sqrt{a^2+b^2}$

Fase: $\alpha=artan\left(\dfrac{a}{b}\right)$

De la figura también podemos inferir que:

$b=|W|cos\alpha$

$a=|W|sin\alpha$

entonces sustituyendo en el numero complejo tenemos que:

$W=|W|cos\alpha+j|W|sin\alpha$

Pero por propiedades de calculo sabemos que el seno y coseno pueden expresarse como:

$cos\alpha=\dfrac{e^{j\alpha}+e^{-j\alpha}}{2}$

$sin\alpha=\dfrac{e^{j\alpha}-e^{-j\alpha}}{2j}$

Entonces con eso:

$W=|W|\dfrac{e^{j\alpha}+e^{-j\alpha}}{2}+j|W|\dfrac{e^{j\alpha}-e^{-j\alpha}}{2j}$

Ahora si tomamos el hermano gemelo de W (el conjugado), o sea:

$Z=b-aj$

Note que ahora la parte imaginaria es negativa, es facil demostrar que:

$|W|=|Z|$ y que $arg\ Z=-arg\ W$

Por eso las dos gráficas del diagrama de bode corresponderán a la gráfica de la magnitud y a la gráfica de la fase. Por lo tanto la interpretación del diagrama de bode fisicamente nos va a decir cual es la amplitud de la señal aplicada al sistema y su desfase.

Modelado de dos tanques de Nivel en Cascada

Control Predictivo Basado en Modelo – DMC

Error en Estado Estacionario

Como interpretar diagramas de bode

Aplicando el diagrama de Bode en la teoría de control, por ejemplo hacer un diagrama de bode de una función de transferencia, lo que queremos es determinar la respuesta en frecuencia (salida) de nuestro sistema en estado estable cuando perturbamos o estimulamos nuestro proceso con una entrada senoidal. Supongamos que tenemos un proceso, G(s), cualquiera (un tanque, un motor, un reactor, una turbina, etc) y le aplicamos a la entrada una señal en forma de seno o coseno.

Como se observa en la figura anterior, la idea básica del diagrama de bode, es que si yo aplico una entrada sinusoidal cualquiera $x(t)$ a mi sistema, el cual es representado por $x(t)=A sen(\omega t)$ , donde A es la amplitud de la señal seno y $\omega$ es el rango de frecuencia de interés, En la salida de mi sistema voy a tener una señal sinusoidal, la cual dependiendo de mi función de transferencia, puede salir con otra amplitud y desfasada con relación a la señal que le aplique a la entrada, esta señal de salida la podremos representar como $x(t)=B sen(\omega t + \alpha)$ , donde $\alpha$ es el angulo de desfase y B la amplitud del seno de salida.

El diagrama de ganancias representa en el eje de ordenadas la amplitud de la señal de salida transformados a decibelios a traves de la siguiente ecuacion.

$20Log(|G(j\omega)|)$

Donde $|G(j\omega)|$ es mi funcion de transferencia llevada al dominio de la frecuencia.

El diagrama de fases representa en el eje de ordenadas el desfase de la señal de salida en grados.

¿Pero como hacer el diagrama de bode de una función de transferencia o el diagrama de bode de polos y ceros?

Es sencillo, simplemente sustituyes en tu función de trasferencia la variable compleja «s» por $j\omega$ .

Diagramas de Bode paso a paso de sistemas elementales

Para poder dibujar el diagrama de Bode de una función de transferencia cualquiera, es necesario conocer la forma que adopta dicho diagrama es el caso de las funciones de transferencia más elementales. Como por ejemplo en el caso en que tengamos una ganancia, un retraso en el tiempo, un integrador, un derivador, un polo, un cero, un polo doble y un cero doble.

A continuación vas a aprender a dibujar el diagrama de bode paso a paso y con un método muy sencillo, conocido como el diagrama de bode asintotico que nos permitira hacer diagrama de bode a mano facilmente y lo más importante es que vas a fijar el concepto en tu mente y entenderas por fin que es el diagrama de bode.

Diagrama de Bode de una Ganancia, un Integrador y un Derivador

En este video te doy la introducción acerca de los diagramas de bode y como vamos a abordar los problemas para comenzar realizar las graficas y su respectivo analisis. Veremos que es importante conocer como se estructuran los diagramas más elementales, en este caso una ganancia, un integrador y un derivador.

Diagrama de Bode de Polos y Ceros simples y conjugados y Retardos

Ejemplos de diagrama de bode

A continuación vamos a graficar el diagrama de bode con ejemplos, para eso vamos a tomar como base diferentes características que pueden presentarse en las funciones de transferencia. Y como ya dominas la gráfica básica del diagrama de bode para las funciones elementales, estos diagramas de bode asintotico serán muy fáciles para ti.

Diagrama de bode función de transferencia – Ejemplo 1

Aquí comenzamos a aplicar un poco de lo aprendido y desarrollamos un ejemplo con diagramas de bode. Con un sistema con Ceros y polos simples. Vamos a hacer el diagrama de bode polos y ceros.

Como hacer un diagrama de bode – Ejemplo 2

Aquí comenzamos a aplicar un poco de lo aprendido y desarrollamos un ejemplo con diagramas de bode. Con un sistema con integrador y polos complejos conjugados. Aprendamos como graficar diagrama de bode usando ejemplos comunes.

Diagrama de bode asintotico – Ejemplo 3

Aquí comenzamos a aplicar un poco de lo aprendido y desarrollamos un ejemplo con diagramas de bode. Con un sistema con un cero inestable. Aqui aprenderemos como hacer un diagrama de bode asintotico y además veremos como podemos implementar en MATLAB las asintotas de los diagramas de bode.

Diagrama de Bode con Retardo en la Función de Transferencia

En este ejemplo veremos como graficar asintoticamente el diagrama de bode, cuando existe la presencia de elementos no racionales como por ejemplo un retardo de tiempo.

Diagrama de Bode con Integrador y Cero Inestable en la Función de Transferencia

Otro ejemplo con integrador y cero inestable para entender mejor su elaboración.

Ceros y Polos Complejos Conjugados

En este ejemplo vemos como aparecen los PICOS de Resonancia cuando tenemos un factor de amortiguamiento menor a 0.7, en sistemas de segundo orden. Para este caso vamos a tratar un sistema que tiene la particularidad de tener ceros y polos complejos conjugados.

Eso es todo por la entrada del dia de hoy, espero les haya gustado y hayan aprendido algo nuevo. Si te ha servido el contenido de esta entrada, de los videos y los códigos de implementación y deseas apoyar mi trabajo invitandome a un café super barato, puedes hacerlo en el siguiente link:

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Que esten muy bien, nos vemos en la siguiente entrada.

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Bibliográfica

[1] FUNDAMENTOS DE CONTROL AUTOMÁTICO DE SISTEMAS CONTINUOS Y MUESTREADOS – Dr. Jorge Juan Gil Nobajas y Dr. Ángel Rubio Díaz Cordovés

Sergio A. Castaño Giraldo

Mi nombre es Sergio Andres Castaño Giraldo, y en este sitio web voy a compartir una de las cosas que mas me gusta en la vida y es sobre la Ingeniería de Control y Automatización. El sitio web estará en constante crecimiento, voy a ir publicando material sobre el asunto desde temas básicos hasta temas un poco más complejos. Suscríbete al sitio web, dale me gusta a la página en Facebook y únete al canal de youtube. Espero de corazón que la información que comparto en este sitio, te pueda ser de utilidad. Y nuevamente te doy las gracias y la bienvenida a control automático educación.