5. Modelado de dos tanques en Cascada

Tabla de Contenido

1 Modelo estático del sistema de nivel
2 Flujo por una Válvula
3 Modelado Matemático
- 3.1 Tanque 1:
- 3.2 Tanque 2:
4 Linealización del sistema no lineal
- 4.1 Tanque 1:
- 4.2 Tanque 2:
5 Linealización por Series de Taylor:
- 5.1 Linealizando tanque 2
6 LINEALIZACIÓN POR JACOBIANA
7 DATOS NUMÉRICOS

Modelo estático del sistema de nivel

Si se considera que la presión manométrica entre los puntos 1 y 2 son cero. Que m es la masa de las partículas de fluido entre el punto 1 y 2. Y que v es la velocidad de salida de la particula 1 y 2. se tiene que.

$\dfrac{1}{2}mv^2=mgH$

$v=\sqrt{2gH}$

El flujo de salida del tanque para el caso de una sección transversal S es:

$Q=Sv=S\sqrt{2gH}$

$Q=S\sqrt{2g}\sqrt{H}$

$Q=K\sqrt{H}$

Flujo por una Válvula

De manera general el flujo que pasa por una válvula de control en estado estacionario es dado por:

$Q_v=K_vA_s\sqrt{\Delta P}$

$Q_v$ : Flujo a través da válvula

$K_v$ : una constante

$A_s$ : Área de paso

$\Delta P$ : Presión diferencial a través de la válvula. P2-P1

Se puede concluir que el flujo que pasa por la válvula es proporcional al área de abertura de la válvula en el caso que la diferencia de presión sea constante. De manera practica tomamos una válvula con un comportamiento inteligente, donde sea posible hacer una aproximación mas o menos lineal entre el flujo Qv y la abertura de la válvula.

$Q_s=S. a . \sqrt{2gH}$

$Q_s=K .a .\sqrt{H}$

Vamos a suponer que el flujo de entrada Qe es proporcional a la abertura de la válvula de entrada considerando un suministro constante.

$q_i=k_1a_1$

Modelado Matemático

Tanque 1:

$A_1\dfrac{dh_1}{dt}=q_i-q_m$

$A_1\dfrac{dh_1}{dt}=k_1a_1-k_2\sqrt{h_1}$

Tanque 2:

$A_2\dfrac{dh_1}{dt}=q_m-q_o$

$A_2\dfrac{dh_2}{dt}=k_2\sqrt{h_1}-k_3a_2\sqrt{h_2}$

Linealización del sistema no lineal

Primero encontramos el punto de equilibrio del sistema volviendo todas las derivadas igual a cero:

Tanque 1:

$0=q_{is}-q_{ms}$

$q_{is}=q_{ms}$

$k_1a_1=k_2\sqrt{h_{1s}}$

$h_{1s}=\left(\dfrac{k_1a_1}{k_2}\right)^2$

Tanque 2:

$0=q_{ms}-q_{os}$

$q_{ms}=q_{os}$

$k_2\sqrt{h_{1s}}=k_3a_2\sqrt{h_{2s}}$

$h_{2s}=\dfrac{k_2^2h_{1s}}{(k_3a_2)^2}$

Linealización por Series de Taylor:

$F(x)=F(x^*)+\nabla F(x^*)\Delta x + \dfrac{1}{2}\left. \dfrac{d^2}{dx^2}\right|_{x^*}\Delta x^2 + \dfrac{1}{3!}\left. \dfrac{d^3}{dx^3}\right|_{x^*}\Delta x^3$

Dado que la serie de Taylor es una serie infinita, y nuestro objetivo es linealizar el sistema en un punto de operación, únicamente vamos a tomar hasta la primera derivada de la serie de Tayor. Esta primera derivada es conocida como la Jacobiana del sistema.

$F(x)=F(x^*)+\nabla F(x^*)\Delta x$

Ahora llevándolo para el problema de los tanques en cascada, vamos a linealizar el primer tanque con relación a la abertura de la primera válvula:

Inicialmente la función de Taylor es equivalente a:

$F(a_1,h_1)=A_1\dfrac{dh_1}{dt}$

Ahora si linealizamos en torno a un punto de equilibrio que vamos a llamar $h_1^*$ y $a_1^*$ , como son dos variables, nuestra serie de Taylor se reduce a la siguiente expresión:

$F(a_1,h_1)\approx F(a_1^*,h_1^*)+\left.\dfrac{\partial F}{\partial a_1}\right|_{a_1^*,h_1^*}(a_1-a_1^*)+\left.\dfrac{\partial F}{\partial h_1}\right|_{a_1^*,h_1^*}(h_1-h_1^*)$

note que $\Delta a_1= a_1-a_1^*$ y $\Delta h_1= h_1-h_1^*$ , que permite expresar el problema en variable desvío. Es decir estamos trasladando el problema al punto donde queremos linealizar ( $a_1^*,h_1^*$ ).

$F(a_1,h_1)\approx k_1a_1^*-k_2\sqrt{h_1^*} + k_1\Delta a_1-\dfrac{k2}{2\sqrt{h_1^*}}\Delta h_1$

Sabemos que:

$\underset{A_1\dfrac{dh_1}{dt}}{\underbrace{F(a_1,h_1)}}\approx \underset{\left.A_1\dfrac{dh_1}{dt}\right|_{a_1^*,h_1^*}}{\underbrace{k_1a_1^*-k_2\sqrt{h_1^*}}} + k_1\Delta a_1-\dfrac{k2}{2\sqrt{h_1^*}}\Delta h_1$

por lo tanto despejando:

$A_1\dfrac{dh_1}{dt}-\left.A_1\dfrac{dh_1}{dt}\right|_{a_1^*,h_1^*}\approx k_1\Delta a_1-\dfrac{k2}{2\sqrt{h_1^*}}\Delta h_1$

donde el primer tanque linealizado es:

$A_1\dfrac{d\Delta h_1}{dt}= k_1\Delta a_1-\dfrac{k2}{2\sqrt{h_1^*}}\Delta h_1$

Notemos que la ecuación anterior ahora es una ecuación lineal que depende de la variable desvío $\Delta h_1$ y que ésta no se encuentra inserida en ninguna raíz cuadrada.

Podemos Aplicar transformada de LaPlace para llevar la ecuación lineal al plano transformado S

$A_1s\Delta h_1(s)=k_1\Delta a_1(s)-\dfrac{k2}{2\sqrt{h_1^*}}\Delta h_1(s)$

$A_1s\Delta h_1(s)+\dfrac{k2}{2\sqrt{h_1^*}}\Delta h_1(s)=k_1\Delta a_1(s)$

$\Delta h_1(s)(A_1s+\dfrac{k2}{2\sqrt{h_1^*}})=k_1\Delta a_1(s)$

$G_1(s)=\dfrac{\Delta h_1(s)}{\Delta a_1(s)}=\dfrac{k_1}{A_1s+\dfrac{k2}{2\sqrt{h_1^*}}}$

Para el Tanque 2 tenemos:

$F(h_1,h_2)=A_2\dfrac{dh_2}{dt}$

Linealizando tanque 2

$F(h_1,h_2)\approx F(h_1^*,h_2^*)+\left.\dfrac{\partial F}{\partial h_1}\right|_{h_1^*,h_2^*}(h_1-h_1^*)+\left.\dfrac{\partial F}{\partial h_2}\right|_{h_1^*,h_2^*}(h_2-h_2^*)$

$F(h_1,h_2)\approx k_2\sqrt{h_1^*}-k_3a_2\sqrt{h_2^*}+\dfrac{k_2}{2\sqrt{h_1^*}}\Delta h_1-\dfrac{k_3a_2}{2\sqrt{h_2^*}}\Delta h_2$

Sabemos que:

$\underset{A_2\dfrac{dh_2}{dt}}{\underbrace{F(h_1,h_2)}}\approx \underset{\left.A_2\dfrac{dh_2}{dt}\right|_{h_1^*,h_2^*}}{\underbrace{k_2\sqrt{h_1^*}-k_3a_2\sqrt{h_2^*}}} +\dfrac{k_2}{2\sqrt{h_1^*}}\Delta h_1-\dfrac{k_3a_2}{2\sqrt{h_2^*}}\Delta h_2$

$A_2\dfrac{dh_2}{dt}-\left.A_2\dfrac{dh_2}{dt}\right|_{h_1^*,h_2^*}\approx \dfrac{k_2}{2\sqrt{h_1^*}}\Delta h_1-\dfrac{k_3a_2}{2\sqrt{h_2^*}}\Delta h_2$

$A_2\dfrac{d\Delta h_2}{dt}= \dfrac{k_2}{2\sqrt{h_1^*}}\Delta h_1-\dfrac{k_3a_2}{2\sqrt{h_2^*}}\Delta h_2$

apicando Laplace

$A_2s\Delta h_2(s)= \dfrac{k_2}{2\sqrt{h_1^*}}\Delta h_1(s)-\dfrac{k_3a_2}{2\sqrt{h_2^*}}\Delta h_2(s)$

$\Delta h_2(s)(A_2s+\dfrac{k_3a_2}{2\sqrt{h_2^*}})= \dfrac{k_2}{2\sqrt{h_1^*}}\Delta h_1(s)$

Esta ecuación depende de la transformada de Laplace del tanque 1, por eso debemos sustituirla en la expresión de $\Delta h_1(s)$

$\Delta h_2(s)(A_2s+\dfrac{k_3a_2}{2\sqrt{h_2^*}})= \dfrac{k_2}{2\sqrt{h_1^*}}\dfrac{k_1\Delta a_1(s)}{A_1s+\dfrac{k2}{2\sqrt{h_1^*}}}$

Así nos queda una Función de Transferencia de Segundo Orden

$G_2(s)=\dfrac{\Delta h_2(s)}{\Delta a_1(s)}=\dfrac{\dfrac{k_1k_2}{2\sqrt{h_1^*}}}{\left(A_1s+\dfrac{k2}{2\sqrt{h_1^*}}\right)\left(A_2s+\dfrac{k_3a_2}{2\sqrt{h_2^*}}\right)}$

Podemos aprovechar y tomar también nuestras ecuaciones lineales en el dominio del tiempo y representarlas en Espacio de Estados, asi:

$A_1\dfrac{d\Delta h_1}{dt}= k_1\Delta a_1-\dfrac{k_2}{2\sqrt{h_1^*}}\Delta h_1$

$A_2\dfrac{d\Delta h_2}{dt}= \dfrac{k_2}{2\sqrt{h_1^*}}\Delta h_1-\dfrac{k_3a_2}{2\sqrt{h_2^*}}\Delta h_2$

$\begin{bmatrix} \Delta \dot{h_1}\\ \\ \Delta \dot{h_2} \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} -\dfrac{k_2}{2A_1\sqrt{h_1^*}} & 0\\ \dfrac{k_2}{2A_2\sqrt{h_1^*}} & -\dfrac{k_3a_2}{2A_2\sqrt{h_2^*}} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \Delta {h_1}\\ \\ \Delta h_2 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} \dfrac{k_1}{A1}\\ \\ 0 \end{bmatrix}\Delta a_1$

$y=\begin{bmatrix} 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \Delta {h_1}\\ \\ \Delta h_2 \end{bmatrix}$

LINEALIZACIÓN POR JACOBIANA

Otra forma genérica de linealizar es utilizando la Jacobiana, que es simplemente el primer termino de la expansión de series de Taylor, con lo cual podremos obtener directamente nuestro sistema linealizado expresado en la representación en el espacio de estados:

Serie de Taylor: $F(x)=F(x^*)+\nabla F(x^*)\Delta x$

Jacobiana: $\nabla F(x^*)\Delta x$

$\begin{bmatrix} \Delta \dot{h_1}\\ \\ \Delta \dot{h_2} \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} \dfrac{\partial F_1}{\partial \Delta h_1} & \dfrac{\partial F_1}{\partial \Delta h_2}\\ \\ \dfrac{\partial F_2}{\partial \Delta h_1} & \dfrac{\partial F_2}{\partial \Delta h_2} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \Delta {h_1}\\ \\ \\ \Delta h_2 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} \dfrac{\partial F_1}{\partial \Delta a_1}\\ \\ \dfrac{\partial F_2}{\partial \Delta a_1} \end{bmatrix}\Delta a_1$

donde:

$F_1(h_1,h_2,a_1)=\dfrac{1}{A_1}\left( k_1a_1-k_2\sqrt{h_1}\right)$

$F_2(h_1,h_2,a_1)=\dfrac{1}{A_2}\left( k_2\sqrt{h_1}-k_3a_2\sqrt{h_2}\right)$

Dando el mismo resultado:

$y=\begin{bmatrix} 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \Delta {h_1}\\ \\ \Delta h_2 \end{bmatrix}$

DATOS NUMÉRICOS

Vamos a asignarle algunos datos numericos a nuestro problema para poderlo simular en Matlab y Simulink. Vamos a suponer entonces los siguientes datos:

$k_1=0.04m^3/s$

$k_2=0.03m^3/s$

$k_3=0.055m^3/s$

$a_1=0.5$

$a_2=0.45$

$A_1=1m^2$

$A_2=1.5m^2$

A continuación implementaremos el código en matlab usando las funciones para resolver ecuaciones diferenciales y también lo implementaremos en SIMULINK usando S-FUNCTION y también álgebra de Bloques.

DESCARGAR TODOS LOS CÓDIGOS: CLICK AQUI PARA BAJAR.

Implementación en MATLAB

% Tanques en Cascada
% Sergio Andres Castaño Giraldo
% Rio de Janeiro - 2017
% https://controlautomaticoeducacion.com/
clc
clear all
close all
%Parametros
k1=0.04;
k2=0.03;
k3=0.055;
a1=0.0:0.1:1;   %Abertura de la Valvula entrada
a2=0:0.1:1;     %Abertura de la Valvula salida
A1=1;
A2=1.5;
%Abertura de las Valvulas para el punto de equilibrio
a1s=0.5;
a2s=0.45;
%Altura en los tanques en el punto de equilibrio
h1s=((k1*a1s)/k2)^2;
h2s=((k2^2*h1s)/(k3*a2s)^2);
Eq1=[h1s h2s];
%Perfil de los estados estacionarios variando valvula de entrada a1 fijando
%valvula de salida a2
H1s=((k1.*a1)/k2).^2;
H2s=((k2^2.*H1s)./(k3*a2s)^2);
figure
subplot(2,1,1);
plot(a1,H1s),grid
title('Variación de nivel h1');
ylabel('Altura (h)');
xlabel('Abertura de Valvula a1');
subplot(2,1,2);
plot(a2,H2s),grid
title('Variación de nivel h2');
ylabel('Altura (h)');
xlabel('Abertura de Valvula a1');
%% Linealizacion del sistema por Jacobiana
syms x1 x2 ua1
% Funciones para realizar la jacobiana
fx1 = 1/A1*(k1*ua1-k2*sqrt(x1));
fx2 = 1/A2*(k2*sqrt(x1)-k3*a2s*sqrt(x2));
%Conforma vectores
fx = [fx1;fx2];
x = [x1;x2];
%Linealiza por medio de la Jacobiana
A = jacobian(fx,x);
B = jacobian(fx,ua1);
C = [0 1]; %Matriz de salida (Cb)
%Reemplazo los puntos de equilibrio en la Jacobiana
display('Representación en Espacio de Estado Caso 1')
Ad = double(subs(A,{x1,x2},{Eq1}))
Bd = double(B)
%Determino la Funcion de Transferencia
display('Representación en Función de Transferencia Caso 1')
[num1,den1]=ss2tf(Ad,Bd,C,0);
ft1=tf(num1,den1)
%Creamos la función de transferencia del Proceso para la altura h2
num=(k1*k2)/(2*sqrt(h1s));
den=conv([A1 k2/(2*sqrt(h1s))],[A2 (k3*a2s)/(2*sqrt(h2s))]);
G2=tf(num,den);
%Carga los parametros en una variable Par, para hacer la integración del
%sistema
par.k1=k1; 
par.k2=k2; 
par.k3=k3; 
par.A1=A1;
par.A2=A2;
u(1)=a1s;
u(2)=a2s;
% Simula el Modelo No Lineal, realizando la integración del modelo,
% resolviendo las ecuaciones diferenciales del sistema
t=0:0.01:1000;
du=-0.001;   %Pequeña Variación en la entrada del sistema
u(1)=a1s+du;
[ts,X1] = ode23t(@(t,x)tankmodel(t,x,u,par), t , Eq1);
u2=zeros(length(ts),1); %Creo el vector de entrada para la FT
u2(:,1)=du*ones(length(ts),1); %Lo lleno con el pequeño incremento
[ylin]=lsim(G2,u2,ts);
%Grafica
figure
plot(ts,X1(:,2),'-b',ts,ylin+Eq1(2),'--r','LineWidth',2);
title('Comparación modelo Lineal vs No Lineal');
xlabel('tiempo (s)');
ylabel('h_2 m^3/s');
legend('No lineal','Lineal');

100

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% Tanques en Cascada

% Sergio Andres Castaño Giraldo

% Rio de Janeiro - 2017

% http://controlautomaticoeducacion.com/

clc

clear all

close all

%Parametros

k1=0.04;

k2=0.03;

k3=0.055;

a1=0.0:0.1:1; %Abertura de la Valvula entrada

a2=0:0.1:1; %Abertura de la Valvula salida

A1=1;

A2=1.5;

%Abertura de las Valvulas para el punto de equilibrio

a1s=0.5;

a2s=0.45;

%Altura en los tanques en el punto de equilibrio

h1s=((k1*a1s)/k2)^2;

h2s=((k2^2*h1s)/(k3*a2s)^2);

Eq1=[h1s h2s];

%Perfil de los estados estacionarios variando valvula de entrada a1 fijando

%valvula de salida a2

H1s=((k1.*a1)/k2).^2;

H2s=((k2^2.*H1s)./(k3*a2s)^2);

figure

subplot(2,1,1);

plot(a1,H1s),grid

title('Variación de nivel h1');

ylabel('Altura (h)');

xlabel('Abertura de Valvula a1');

subplot(2,1,2);

plot(a2,H2s),grid

title('Variación de nivel h2');

ylabel('Altura (h)');

xlabel('Abertura de Valvula a1');

%% Linealizacion del sistema por Jacobiana

syms x1 x2 ua1

% Funciones para realizar la jacobiana

fx1 = 1/A1*(k1*ua1-k2*sqrt(x1));

fx2 = 1/A2*(k2*sqrt(x1)-k3*a2s*sqrt(x2));

%Conforma vectores

fx = [fx1;fx2];

x = [x1;x2];

%Linealiza por medio de la Jacobiana

A = jacobian(fx,x);

B = jacobian(fx,ua1);

C = [0 1]; %Matriz de salida (Cb)

%Reemplazo los puntos de equilibrio en la Jacobiana

display('Representación en Espacio de Estado Caso 1')

Ad = double(subs(A,{x1,x2},{Eq1}))

Bd = double(B)

%Determino la Funcion de Transferencia

display('Representación en Función de Transferencia Caso 1')

[num1,den1]=ss2tf(Ad,Bd,C,0);

ft1=tf(num1,den1)

%Creamos la función de transferencia del Proceso para la altura h2

num=(k1*k2)/(2*sqrt(h1s));

den=conv([A1 k2/(2*sqrt(h1s))],[A2 (k3*a2s)/(2*sqrt(h2s))]);

G2=tf(num,den);

%Carga los parametros en una variable Par, para hacer la integración del

%sistema

par.k1=k1;

par.k2=k2;

par.k3=k3;

par.A1=A1;

par.A2=A2;

u(1)=a1s;

u(2)=a2s;

% Simula el Modelo No Lineal, realizando la integración del modelo,

% resolviendo las ecuaciones diferenciales del sistema

t=0:0.01:1000;

du=-0.001; %Pequeña Variación en la entrada del sistema

u(1)=a1s+du;

[ts,X1] = ode23t(@(t,x)tankmodel(t,x,u,par), t , Eq1);

u2=zeros(length(ts),1); %Creo el vector de entrada para la FT

u2(:,1)=du*ones(length(ts),1); %Lo lleno con el pequeño incremento

[ylin]=lsim(G2,u2,ts);

%Grafica

figure

plot(ts,X1(:,2),'-b',ts,ylin+Eq1(2),'--r','LineWidth',2);

title('Comparación modelo Lineal vs No Lineal');

xlabel('tiempo (s)');

ylabel('h_2 m^3/s');

legend('No lineal','Lineal');

FUNCIÓN DEL MODELO DEL TANQUE:

function x = tankmodel(~,x,u,par)
%Carga los parametros
k1  = par.k1; 
k2  = par.k2; 
k3  = par.k3; 
A1  = par.A1;
A2  = par.A2;
%Carga las entradas del Modelo
a1  = u(1);
a2  = u(2);
%Definición de las Variables de Estado
h1   = x(1);
h2   = x(2);
%
%  Sistema de Ecuaciones
%
dh1dt = 1/A1*(k1*a1-k2*sqrt(h1));
dh2dt = 1/A2*(k2*sqrt(h1)-k3*a2*sqrt(h2));
%
%  Vector de Estados
%
x = [dh1dt;dh2dt];

function x = tankmodel(~,x,u,par)

%Carga los parametros

k1 = par.k1;

k2 = par.k2;

k3 = par.k3;

A1 = par.A1;

A2 = par.A2;

%Carga las entradas del Modelo

a1 = u(1);

a2 = u(2);

%Definición de las Variables de Estado

h1 = x(1);

h2 = x(2);

% Sistema de Ecuaciones

dh1dt = 1/A1*(k1*a1-k2*sqrt(h1));

dh2dt = 1/A2*(k2*sqrt(h1)-k3*a2*sqrt(h2));

% Vector de Estados

x = [dh1dt;dh2dt];

FUNCIÓN DE LA S-FUNCTION:

function [sys,x0]=smodelo(t,x,u,flag,par,h1s,h2s)
% En el Flag 0 es el paso donde indicamos para la S-Function que es lo que
% la función va a encontrar en el momendo de leer el modelo. Esa
% información será encontrada en un vector de 6 elementos, que llamaremos
% "sys"
if flag==0
%Elemento 1: Número de estados continuos (Ecuaciones diferenciables)= 2
%Elemento 2: Número de estados discretos: 0
%Elemento 3: Número de saídas do modelo: 2
%Elemento 4: Número de Entradas do modelo (a1) (a2): 2 entradas
%Elemento 5: Parametro de control, colcar 0
%Elemento 6: Tipologia do processo, (1 para processos continuos)
[sys]=[2,0,2,2,0,0];
%Incluir las condiciones iniciales
x0=[h1s h2s];
elseif flag==1
%Flag 1 llama el modelo
[sys]=tankmodel(t,x,u,par);
elseif flag==3
%Flag 3 indica la respuesta que se debe obtener, en este caso, un vetor con las 2
%variables de estado
[sys]=x;
else
%Como paso final con un vetor nulo se cierra el bucle
[sys]=[];
end
end