Una válvula de control es aquel instrumento montado en un proceso industrial cualquiera el cual se encarga de implementar la acción de control, que es ordenada a través de la salida que proviene del controlador (conocida como señal de control) y en consecuencia la variable manipulada es ajustada para manipular el comportamiento del proceso. Una válvula de control dentro de un lazo es conocida como elemento final de control.

En esta entrada te voy a explicar como funciona una válvula de control, como obtener su modelo matemático y la importancia que tiene dentro de un lazo de control. Antes que nada si no has tenido la oportunidad de ver todas las entradas de nuestro curso de Instrumentación de Procesos, pues dale un vistazo en el siguiente link: Curso Gratis de instrumentación Industrial.

Válvula Neumática – Elemento Final de Control

Dentro de los elementos finales de control más comunes tenemos la válvula de control pneumática. La función de este elemento final de control es regular el caudal que circula a través de su orificio por el posicionamiento adecuado del obturador. Para eso la válvula pneumática es operada a través de aire para poder mover el vástago. Como la presión de aire (salida de control) encima del diafragma aumenta, el vástago se mueve hacia abajo y como consecuencia el obturador restringe el fluido que circula por el orificio.

Entre las válvulas de control tenemos las conocidas válvulas “normalmente cerradas” que indica que si la alimentación de aire se pierde o no llega al diafragma, la válvula entra en operación de falla y cierra completamente la circulación del fluido por su orificio, por otro lado las válvulas “normalmente abiertas” abren completamente ante una eventual falla (falta de suministro).

Válvula Pneumática normalmente (a) abierta y (b) cerrada

Las válvulas as comerciales son las que estandarmente abren y cierran completamente con una alimentación de 3 – 15 PSI.

Modelado Matemático de una Válvula de Control Neumática

Considerando una válvula neumática típica, donde la posición del vástago determina la abertura de la válvula para dejar circular el fluido por lo tanto es necesario realizar un balance de todas las fuerzas que actúan sobre él.

Válvula Pneumatica
Figura 2. Válvula Pneumatica
  1.  PA= es la fuerza ejercida por el aire comprimido en la parte superior de la válvula sobre su diafragma. La presión P es la señal que abre o cierra la válvula y A es el área del diafragma; esto genera la fuerza que actúa hacia abajo para poder cerrar el elemento final de control.
  2. Kx= es la fuerza ejercida por el resorte acoplado al vástago y al diafragma. K es la constante de Hooke del resorte y x es el desplazamiento. Esta fuerza es la que se ejerce hacia arriba para abrir la válvula.
  3. C\dfrac{dx}{dt}= Es la fuerza de fricción externa que resulta por causa del contacto del vástago de la válvula con el empaque de la válvula. C es el coeficiente de fricción entre el vástago y el empaque.

Una vez hemos caracterizado los 3 tipos de fuerza que actúan sobre la válvula, procedemos a aplicar la Ley de Newton:

F=m\cdot a

donde F son las fuerzas actuantes en el sistema, m es la masa y a la aceleración que puede ser representada como la derivada segunda del desplazamiento.

P\cdot A-kx-C\dfrac{dx}{dt}=\dfrac{m}{gc}\dfrac{d^2x}{dt^2}

gc es una constante de conversión gravitacional

En ingeniería, gc es un factor de conversión de unidades utilizado para convertir masa en fuerza o viceversa. Se define como

gc=\dfrac{ma}{F}.

gc=1(K\cdot gc\cdot m)/(N\cdot s^2) o gc=32.17(lbm\cdot ft)/(lbf\cdot s^2).

Si dividimos toda la ecuación por K y separamos las variables x a la izquierda de la ecuación, tendremos:

\dfrac{m}{K\cdot gc}\dfrac{d^2x}{dt^2}+\dfrac{C}{K}\dfrac{dx}{dt}+x=\dfrac{A}{K}P

De la ecuación diferencial anterior podemos definir, \tau^2=\dfrac{m}{K\cdot gc}, 2\zeta \tau=\dfrac{C}{K} y K_v=\dfrac{A}{K}.

\tau^2\dfrac{d^2x}{dt^2}+2\zeta \tau\dfrac{dx}{dt}+x=K_vP

De esa forma hemos llegado a la ecuación diferencial de una válvula neumática que representa la posición del vástago x ante una señal de entrada de presión P. Vemos que el sistema tiene un comportamiento inherente de segundo orden, cuya función de transferencia viene dado por (aplicando la transformada de Laplace):

\dfrac{x(s)}{P(s)}=\dfrac{K_v}{\tau^2s^2+2\zeta \tau s+1}=\dfrac{\dfrac{A}{K}}{\dfrac{m}{K\cdot gc}s^2+\dfrac{C}{K}s+1}

Usualmente, m<<Kg y como resultado la dinámica de una válvula neumática puede ser aproximada por una función de transferencia de primer orden que me da una relación entre el flujo y la presión en la válvula:

\dfrac{x(s)}{P(s)}=\dfrac{K_v}{\tau s+1}

\dfrac{x(s)}{P(s)}=\dfrac{\dfrac{A}{K}}{\dfrac{C}{K}s+1}

Y si la dinámica de la válvula es despreciable en relación al proceso que estemos controlando, podemos representar la valvula como una ganancia estática:

\dfrac{x(s)}{P(s)}=K_v

Dinámica del Fluido dentro de una Válvula de Control

Cuando el fluido que circula sobre una válvula es laminar, podemos representarlo con la siguiente ecuación:

F=f(x)C_v\sqrt{\dfrac{\Delta P}{\rho}}

donde: \Delta P es la caída de presión sobre la válvula, C_v es la constante de la válvula que depende de su tamaño, \rho es la gravedad especifica del fluido, f(x) es la curva característica de la válvula.

Por definición, el coeficiente Cv es el “flujo en galones U.S. por minuto (gpm) de agua que fluye a través de una válvula a una caída de presión de 1 psi (lb por pulgada cuadrada)”. Por ejemplo, una válvula con un coeficiente Cv de 25 puede entregar 25 gpm de agua cuando tiene una caída de presión de 1 psi. Los catálogos de válvulas enumeran el coeficientes Cv de las válvulas por tipo y tamaño.

Una válvula de control, puede tener una curva característica diferente dependiendo de su construcción, por eso para el análisis y cálculos de nuestros lazos de control debemos tomar en consideración su comportamiento. A continuación se ilustra los tipos de obturadores que podemos encontrar en una válvula de control junto con su función matemática Figura 3:

Tipo de Obturadores en Válvulas de Control
Fugura 3. Tipo de Obturadores en Válvulas de Control

Funciones que Representan el comportamiento de una válvula de Control

  1. Lineal: f(x)=x
  2. Raíz Cuadrada: f(x)=\sqrt{x}
  3. Igual Porcentaje: f(x)=\alpha^{x-1}
  4. Hyperbolica: f(x)=\dfrac{1}{\alpha-(\alpha-1)x}

Las características del fluido a través de la válvula dependiendo del tipo de obturador, puede ser vista en la Figura 4.

Característica del Fluido dentro de una Válvula
Figura 4. Característica del Fluido dentro de una Válvula

Sin embargo los cambios en la respuesta de la mayoría de elementos finales de control de bajo porte, o sea válvulas de tamaño pequeño o mediano, presentan una dinámica muy rápida, por lo cual su modelado en el lazo de control se hace despreciable, pues es tan rápida su respuesta que no influye en nada la estructura de control, por lo tanto estas válvulas únicamente son representadas como si fueran una ganancia estática que relaciona la salida del controlador (señal de presión de aire) con el flujo que circula por la válvula, como ya se explicó anteriormente.

Código en Matlab

El siguiente código representa graficamente las características del fluido sobre una válvula:

Bibliografía:

  1. Chemical Process Control: An Introduction to Theory and Practice 1st Edition by George Stephanopoulos
  2. Principles and Practices of Automatic Process Control, 3rd Edition, Carlos A. Smith , Armando B. Corripio
Válvula de Control – Elemento Final de Control
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  1. Muy interesante ese tema

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Válvula de Control – Elemento Final de Control
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