Hola querido controler@, en esta entrada vas a entender el concepto y la importancia de utilizar la representación en espacio de estados o variables de estado en los Sistemas de Control. Para eso voy a mostrarte paso a paso la relación que existe con la representación en función de transferencia, te explicaré el diagrama de bloques y veremos ejemplos en variables de estado.
Primero debes saber que las variables de estado son la representación moderna que se tiene para describir el comportamiento de los sistemas dinámicos empleados en diferentes áreas de la ingeniería, como ingeniería electrónica, mecánica, química, mecatrónica o control.
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💥 Espacio de Estados Control
Comencemos con unas definiciones formales sobre lo que son las variables de estado en los sistemas de control:
- El espacio de estado es una forma de representar un sistema dinámico en función de n ecuaciones en diferencia
- Variables de Estado: son el conjunto más pequeño de variables que determina el comportamiento dinámico de un sistema.
Partiendo de la premisa que todo sistema dinámico lineal (LTI), podemos representarlo como un bloque (Caja Negra) el cual posee un numero de entradas y salidas como puede verse a continuación.
No obstante, esta representación de caja negra, no nos dice mucho al respecto de la evolución que tendrá el sistema con el tiempo al momento de perturbarlo con una señal en la entrada.
Para eso existen diferentes formas de modelar el comportamiento de todo sistema, que puede ser a traves del dominio transformado de Laplace usando Funciones de transferencia, puede ser a través del dominio de la frecuencia usando el Diagrama de Bode, o en este caso usando la representación de variables de estados.
La entrada del sistema puede ser un conjunto de señales que comandan el comportamiento del sistema.
Las salidas del sistema puede estar conformado por un conjunto de respuestas a las entradas.
Asi, internamente, podriamos decir que el sistema o el modelo está conformado por unas variables de estado.
Dicho esto, el sistema anterior, puede ser desglosado como:
En el enfoque clásico de la teoría del control, los sistemas dinámicos son modelados por un sistema entrada-salida (Funciones de Transferencia) donde únicamente se dispone de una variable la cual será controlada.
Pero en muchas situaciones, además de la salida del sistema, es posible contar con variables adicionales para realizar el estudio de los sistemas de control.
Para eso, entonces va a surgir la siguiente inquietud cuando nos enfrentemos a las variables de estado aplicadas al control.
Transformacion de Similitud en Espacio de Estados
Respuesta Temporal Sistema Discreto
Control por Realimentación de Estados
😯 ¿Porque Usar Variables de Estado?
El modelado de sistemas en el espacio de estados es muy común en diferentes ingenierías, como ya lo comentamos anteriormente.
Por ejemplo, si tuviésemos dos tanques en cascada, con los que se muestran en figura, en los que se quisiera controlar el nivel del segundo tanque (H2) con el flujo de entrada que ingresa al primer tanque (qin), en el enfoque clásico solo se utilizaría, como información para el control, el nivel del segundo tanque, pero,
¿por que no usar la información sobre el nivel del primer tanque que también es fácilmente medible?.
En el control clásico solo se emplearía la función de transferencia del tanque 2 para controlar la altura H2, la cual es representada por:
G(s)=\dfrac{H_2(s)}{Q_{in}(s)}=\dfrac{K_2}{A_1(s+K_3)(s+K_1)}
las constantes ,, i = 1; 2; 3, están asociadas a las áreas de los tanques y a las aperturas (orificios) de salida del liquido.
Sin embargo, en la teoría de control moderno aparece la representación en variables de estado o espacio de estados.
Donde el sistema de tanques los podemos representar, basándonos en las ecuaciones diferenciales de primer orden que relacionan flujo y nivel en cada uno de los tanques, de la forma:
\dfrac{dh_1(t)}{dt}=\dfrac{1}{A_1}q_{in}(t)-K_1h_1(t)
\dfrac{dh_2(t)}{dt}=K_2h_1(t)-K_3h_2(t)
Si se definen los estados empleando la siguiente notación:
x_1(t)=h_1(t)
\dot{x}_1(t)=\dfrac{dh_1(t)}{dt}
x_2(t)=h_2(t)
\dot{x}_2(t)=\dfrac{dh_2(t)}{dt}
u(t)=q_{in}(t)
Se procede a reemplazar en las ecuaciones diferenciales cada uno de los estados definidos anteriormente. De esa forma nuestra ecuación queda representada como:
\dot{x}_1(t)=\dfrac{1}{A_1}u(t)-K_1x_1(t)
\dot{x}_2(t)=K_2x_1(t)-K_3x_2(t)
Las dos ecuaciones diferenciales de primer orden mostradas anteriormente, pueden ser representadas en su forma matricial de la siguiente forma:
Donde la ecuación de estados es:
\begin{bmatrix} \dot{x}_1\\ \dot{x}_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -K_1 & 0\\ K_2& -K_3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1\\ x_2 \end{bmatrix}+ \begin{bmatrix} \dfrac{1}{A_1}\\ 0 \end{bmatrix} u
Y la ecuación de salida del sistema (en este caso la altura del tanque 2):
y=\begin{bmatrix} 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1\\ x_2 \end{bmatrix}
Las dos ecuaciones anteriores son las variables de estado del sistema de los dos tanques en cascada, sin embrago dicha representación en espacio de estados puede ser simplificada como:
\dot{x}(t)=Ax(t)+Bu(t)
y(t)=Cx(t)+Du(t)
Variables de Estado Tiempo Discreto
La representación de un sistema dinámico en espacio de estados de forma discreta, no varia mucho, y es representada de la misma forma, solo que con las señales en tiempo discreto:
x(k+1)=Ax(k)+Bu(k)
y(k)=Cx(k)+Du(k)
😎 Diagrama de bloques en Variables de Estado
Una técnica clave para modelar y analizar sistemas es el uso de diagramas de bloques en ingeniería de control, que nos permite representar gráficamente las relaciones entre diferentes variables de estado y funciones de transferencia dentro del espacio de estados.
Como todos los sistemas de control, podemos representar el proceso a través del diagrama de bloques del espacio de estados. En el vídeo de YouTube, se explica en detalle como entender este diagrama de bloques y como es que sale a partir de la ecuación de espacio de estados.
A partir de las ecuaciones de las variables de estado podremos representar el espacio de estados a diagrama de bloques:
Relación entre Función de Transferencia y Variables de Estado
Recordemos que en la entrada anterior demostramos matemáticamente como relacionar las funciones de transferencia con la representación en espacio de estados.
Si no has visto esa entrada, te hago la invitación para que la veas y sigas profundizando en el entendimiento de los sistemas dinámicos lineales.
Te dejo el Link a continuación, junto con otras entradas que quizas quieras profundizar con más detalle:
Eso es todo por la entrada del dia de hoy, espero les haya gustado y hayan aprendido algo nuevo. Si te ha servido el contenido de esta entrada, de los videos y los códigos de implementación y deseas apoyar mi trabajo invitandome a un café super barato, puedes hacerlo en el siguiente link:
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