Introducción Espacio de Estados
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Esta entrada, está dedicada a enseñarte la importancia de el porque y como usar la representación en espacio de estados o representación en variables de estado y también te explicaré el diagrama de bloques a espacio de estados.

Primero debes saber que esta es la representación moderna que se tiene para describir el comportamiento de sistemas dinámicos de diferentes áreas de la ingeniería, como ingeniería electrónica, mecánica, química, mecatrónica o control.

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Empecemos con la clase de representación en espacio de estados, te darás cuenta que no es nada difícil si no que por el contrario será una herramienta que te permitira entender mucho mejor el funcionamiento de tus sistemas.

💥  Espacio de Estados:

  • Es una forma de representar un sistema dinámico en función de n ecuaciones en diferencia
  • Variables de Estado: son el conjunto más pequeño de variables que determina el comportamiento dinámico de un sistema.

Partamos de la premisa que todo sistema dinámico lineal, podemos representarlo como un bloque el cual posee unas entradas y unas salidas. Solo que esta representación de caja negra, no nos dice mucho al respecto de la evolución que tendrá el sistema con el tiempo. Para eso existen diferentes formas de modelar el comportamiento de todo sistema, que puede ser a traves del dominio transformado de Laplace usando Funciones de transferencia, puede ser a través del dominio de la frecuencia usando el Diagrama de Bode, o en este caso usando la representación de variables de estados.

Variables de Estado

La entrada del sistema puede ser un conjunto de señales que comandan el comportamiento del sistema, en cuanto la salida puede estar conformado por un conjunto de respuestas a las entradas. Asi internamente, podriamos decir que el sistema esta conformado por unas variables de estado control, la cual podriamos representarla como:

Variables de Estado

En el enfoque clásico del control, los sistemas dinámicos son modelados por un sistema entrada-salida (Funciones de Transferencia) donde únicamente se dispone de una variable la cual será controlada.

Pero en muchas situaciones, además de la salida del sistema, es posible contar con variables adicionales para realizar el control.

😯 ¿Porque Usar Variables de Estado?

El modelado de sistemas en el espacio de estados es muy común en diferentes ingenierías, Por ejemplo, si tuviésemos dos tanques en cascada, con los que se muestran en figura en los que se quisiera controlar el nivel del segundo tanque (h2) con el flujo de entrada al primero (qin), en el enfoque clásico solo se utilizaría, como información para el control, el nivel del segundo tanque, pero, ¿por que no usar la información sobre el nivel del primer tanque que también es fácilmente medible?.

Tanques en cascada

En el control clásico solo usaría la función de transferencia de los tanques para controlar la altura 2, la cual vendría dada por:

G(s)=\dfrac{H_2(s)}{Q_{in}(s)}=\dfrac{K_2}{A_1(s+K_3)(s+K_1)}

 

las constantes A_1,K_i, i = 1; 2; 3, están asociadas a las áreas de los tanques y a las aperturas (orificios) de salida del liquido.

 

De igual forma, al sistema de tanques los podemos representar, basandonos en las ecuaciones diferenciales de primer orden que relacionan flujo y nivel en cada tanque, de la forma:

 

\dfrac{dh_1(t)}{dt}=\dfrac{1}{A_1}q_{in}(t)-K_1h_1(t)

 

\dfrac{dh_2(t)}{dt}=K_2h_1(t)-K_3h_2(t)

 

Definimos los estados:

x_1(t)=h_1(t)

 

\dot{x}_1(t)=\dfrac{dh_1(t)}{dt}

 

x_2(t)=h_2(t)

 

\dot{x}_2(t)=\dfrac{dh_2(t)}{dt}

 

u(t)=q_{in}(t)

Reemplazamos en las ecuaciones diferenciales
\dot{x}_1(t)=\dfrac{1}{A_1}u(t)-K_1x_1(t)

 

\dot{x}_2(t)=K_2x_1(t)-K_3x_2(t)

 

La representación matricial de las ecuaciones de estado es:

\begin{bmatrix}  \dot{x}_1\\  \dot{x}_2  \end{bmatrix} =  \begin{bmatrix}  -K_1 & 0\\  K_2& -K_3  \end{bmatrix}  \begin{bmatrix}  x_1\\  x_2  \end{bmatrix}+  \begin{bmatrix}  \dfrac{1}{A_1}\\  0  \end{bmatrix}  u

 

y=\begin{bmatrix}  0 & 1  \end{bmatrix}  \begin{bmatrix}  x_1\\  x_2  \end{bmatrix}

 

Simplificadamente se representa por:

 

\dot{x}(t)=Ax(t)+Bu(t)

 

y(t)=Cx(t)+Du(t)

 

Discreto:

x(k+1)=Ax(k)+Bu(k)

 

y(k)=Cx(k)+Du(k)

 

😎 Diagrama de bloques a espacio de estados

Como todos los sistemas de control, podemos representar el sistema a través del diagrama de bloques del espacio de estados. En el vídeo de YouTube, se explica en detalle como entender este diagrama de bloques y como es que sale a partir de la ecuación de espacio de estados.

Espacio de Estados

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Es una representación moderna de los sistemas dinámicos que nos indica la forma de las ecuaciones diferenciales que representan el proceso. Con esta representación podemos entender profundamente el comportamiento de cualquier proceso de una forma más profunda a comparación de la función de transferencia. Entiende como funciona este concepto con esta sencilla explicación.
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