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Control Automático Educación

Error en Estado Estacionario

Saludos controleros y controleras, el día de hoy vamos a estudiar el Error en Estado Estacionario en los Sistemas de Control ante diversas entradas.

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Error en Estado Estacionario

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El error de estado estable es el error después de que la respuesta transitoria ha decaído, dejando solo la respuesta continua.

Error en Estado Estacionario Diagrama de Bloques

Del diagrama de bloques anterior, estamos interesados en conocer la ecuación del error E(s) o e(t), para eso podemos utilizar el álgebra de bloques y encontrar cual es la función de transferencia de lazo cerrado del error:

\dfrac{E(s)}{R(s)}=\dfrac{1}{1+G(s)H(s)}\ \ \ \ (1)

A partir de la ecuación anterior podemos comenzar nuestro estudio de la señal del error y encontrar cual es el e_{ss} (steadystate error) o el valor del error en estado estable (e(t)) cuando t→∞ ante una referencia r(t) (entrada)

Aplicamos el teorema del valor final:

e_{ss}=\underset{Tiempo}{\underbrace{\underset{t\rightarrow \infty}{Lim}\left[e(t)\right ]}}=\underset{Laplace}{\underbrace{\underset{s\rightarrow 0}{Lim}\left[ sE(s)\right ]}}\ \ \ (2)

Pero para el estudio de esta entrada, nos valdremos del análisis en el dominio transformado de laplace, por lo tanto despejando el error de la ecuación (1) y reemplazándola en la ecuación (2) tenemos:

e_{ss}=\underset{s\rightarrow 0}{Lim}\  \dfrac{s}{1+G(s)H(s)}R(s)  \ \ \ \ (3)

Sistema en Lazo Abierto

La función de transferencia de lazo abierto G(s)H(s) se puede escribir:

G(s)H(s)=\dfrac{K(\tau_{z_1}s+1)(\tau_{z_2}s+1)\cdots (\tau_{z_m}s+1)}{s^N(\tau_{p_1}s+1)(\tau_{p_2}s+1)\cdots (\tau_{p_q}s+1)}\ \ \ \ \ \ \ \ \ (4)

De hecho, también podemos tener polos complejos conjugados en la ecuación anterior, pero por simplicidad y efectos de explicación, vamos a limitarnos a polos reales y distintos.

De forma compacta, podemos escribir la ecuación como:

G(s)H(s)=\dfrac{K\prod_{i=1}^m(\tau_{z_i}s+1)}{s^N\prod_{k=1}^q(\tau_{p_k}s+1)} \hspace{2em} (5)

La función de transferencia de lazo abierto, nos va a servir para determinar el tipo de sistema que estamos analizando.

Tipo de Sistema

Es la cantidad de polos en el origen de la FTLA G(s)H(s)

Tipo de Sistema de Control
  • Cero polos en s=0; Sistema tipo 0
  • Un polos en s=0; Sistema tipo 1
  • Dos polos en s=0; Sistema tipo 2
  • ……
  • N polos en s=0; Sistema tipo N

Errores en Estado Permanente

e_{ss}=\underset{s\rightarrow 0}{Lim}\  \dfrac{sR(s)}{1+G(s)H(s)}

Podemos clasificar el error en estado permanente para definir el mérito del sistema de control. Entre mayor sea la ganancia menos error en estado estacionario se tiene.

  • Constante k_p de Error Estático de “Posición”
  • Constante k_v de Error Estático de “Velocidad”
  • Constante k_a de Error Estático de “Aceleración”

Constante de Error Estático de “Posición”

Error en estado estable para una entrada escalón; R(s)=A/s

e_{ss}=\underset{s\rightarrow 0}{Lim}\  \dfrac{s}{1+G(s)H(s)}\dfrac{A}{s}
=\underset{s\rightarrow 0}{Lim}\  \dfrac{A}{1+G(s)H(s)}
e_{ss}=\dfrac{A}{1+G(0)H(0)}

se define:

k_p=\underset{s\rightarrow 0}{Lim}\ G(s)H(s)=G(0)H(0)

Por lo tanto:

e_{ss}=\dfrac{A}{1+k_p}\hspace{2em}(6)

Analizando la constante de error estático de posición ante diferentes tipos de sistemas tenemos:

Para un sistema tipo 0, (N=0)

k_p=\underset{s\rightarrow 0}{Lim}\ =\dfrac{K(\tau_{z_1}s+1)(\tau_{z_2}s+1)\cdots (\tau_{z_m}s+1)}{(\tau_{p_1}s+1)(\tau_{p_2}s+1)\cdots (\tau_{p_q}s+1)}=K

Para un sistema tipo 1 o mayor…

k_p=\underset{s\rightarrow 0}{Lim}\ =\dfrac{K(\tau_{z_1}s+1)(\tau_{z_2}s+1)\cdots (\tau_{z_m}s+1)}{s^N(\tau_{p_1}s+1)(\tau_{p_2}s+1)\cdots (\tau_{p_q}s+1)}=\infty;\ \ \ N=1,2,3,...

Una vez conocemos la constante de error estático procedemos a encontrar el error

Sistema tipo 0

e_{ss}=\dfrac{A}{1+k_p}=\dfrac{A}{1+K}

Sistema tipo 1 o mayor

e_{ss}=\dfrac{A}{1+k_p}=\dfrac{A}{1+\infty}=0

La siguiente figura es la respuesta al escalón unitario de un sistema tipo 0 y realimentación unitaria

Constante de error estático de posición

Constante de Error Estático de “Velocidad”

Error en estado estable para una entrada rampa; R(s)=A/s^2

e_{ss}=\underset{s\rightarrow 0}{Lim}\  \dfrac{s}{1+G(s)H(s)}\dfrac{A}{s^2}
=\underset{s\rightarrow 0}{Lim}\  \dfrac{A}{s+sG(s)H(s)}
=\underset{s\rightarrow 0}{Lim}\  \dfrac{A}{sG(s)H(s)}

se define:

k_v=\underset{s\rightarrow 0}{Lim}\ sG(s)H(s)

Por lo tanto:

e_{ss}=\dfrac{A}{k_v}

Una vez conocemos la constante de error estático de velocidad procedemos a encontrar el error

Sistema tipo 0:

e_{ss}=\dfrac{A}{k_v}=\dfrac{A}{0}=\infty

Sistema tipo 1:

e_{ss}=\dfrac{A}{k_v}=\dfrac{A}{K}

Sistema tipo 2 o mayor:

e_{ss}=\dfrac{A}{\infty}=0

La siguiente figura es la respuesta una rampa unitaria de un sistema tipo 1 y realimentación unitaria

Constante de error estático de velocidad

Constante de Error Estático de “Aceleración”

Error en estado estable para una entrada parabólica; R(s)=A/s^3

e_{ss}=\underset{s\rightarrow 0}{Lim}\  \dfrac{s}{1+G(s)H(s)}\dfrac{A}{s^3}
=\underset{s\rightarrow 0}{Lim}\  \dfrac{A}{s^2+s^2G(s)H(s)}
=\underset{s\rightarrow 0}{Lim}\  \dfrac{A}{s^2G(s)H(s)}

Una vez conocemos la constante de error estático de aceleración procedemos a encontrar el error

Sistema tipo 0 y tipo 1:

e_{ss}=\dfrac{A}{k_a}=\dfrac{A}{0}=\infty

Sistema tipo 2:

e_{ss}=\dfrac{A}{k_a}=\dfrac{A}{K}

Sistema tipo 3 o mayor:

e_{ss}=\dfrac{A}{\infty}=0

La siguiente figura es la respuesta una parábola unitaria de un sistema tipo 2 y realimentación unitaria

Constante de error estático de aceleracion

Error en Estado Estable Tablas

en Términos de K

Tipo de Sistemar(t)=Ar(t)=Atr(t)=(At^2)/2
0A/(1+K)
10A/K
200A/K

en Términos de las Constantes

Tipo de Sistemar(t)=Ar(t)=Atr(t)=(At^2)/2
0A/(1+k_p )
10A/k_v
200A/k_a

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Error en Estado Estacionario Ejercicios Resueltos

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Ejercicio 1

  • El siguiente sistema ES ESTABLE.
  • Encontrar la constante de posición, k_p, velocidad, k_v, y aceleración k_a del sistema.
  • Verificar el error en estado estable para una entrada escalón, rampa y parábola  magnitud 3 del sistema
Ejercicio 1 error en estado estable

Solución

G(s) =\dfrac{0.5(s+1)}{s(2s+1)(3s+1)}
H(s) =1

Por lo tanto la función de transferencia de lazo abierto viene dada por G(s)H(s) sistema tipo 1

El cálculo de las Constantes:

k_p=\underset{s\rightarrow 0}{Lim}\ G(s)H(s)
k_p=\underset{s\rightarrow 0}{Lim}\ \dfrac{0.5(s+1)}{s(2s+1)(3s+1)}=\dfrac{0.5(1)}{0(1)(1)}=\dfrac{0.5}{0}=\infty
k_v=\underset{s\rightarrow 0}{Lim}\ sG(s)H(s)
k_v=\underset{s\rightarrow 0}{Lim}\ s\dfrac{0.5(s+1)}{s(2s+1)(3s+1)}=\dfrac{0.5(1)}{(1)(1)}=0.5
k_a=\underset{s\rightarrow 0}{Lim}\ s^2G(s)H(s)
k_a=\underset{s\rightarrow 0}{Lim}\ s^2\dfrac{0.5(s+1)}{s(2s+1)(3s+1)}=(0)\dfrac{0.5(1)}{(1)(1)}=0

El error en estado estable ante diferentes perturbaciones de entrada para este sistema es:

Escalón

e_{ss}=\dfrac{A}{1+k_p}=\dfrac{3}{1+\infty}=0

Rampa:

e_{ss}=\dfrac{A}{k_v}=\dfrac{3}{0.5}=6

Parábola:

e_{ss}=\dfrac{A}{k_a}=\dfrac{3}{0}=\infty

Ejercicio 2

Encontrar el error en estado estable del siguiente sistema, como recomendación puedes emplear la resolución de diagramas de bloques para poder determinar la ecuación G(s)H(s).

Ejercicio 2 error en estado estable

Solución

G(s)H(s) =\dfrac{(s+1)(s+3)}{s^2(s+2)(s+3)}
G(s)H(s) =\dfrac{(s+1)}{s^2(s+2)}

G(s)H(s) sistema tipo 2

¿Será Estable el sistema en lazo cerrado?

\dfrac{Y(s)}{R(s)} =\dfrac{G(s)}{1+G(s)H(s)}
\dfrac{Y(s)}{R(s)} =\dfrac{\dfrac{(s+1)}{s(s+3)}}{1+\dfrac{(s+1)}{s^2(s+2)}}
\dfrac{Y(s)}{R(s)} =\dfrac{\dfrac{(s+1)}{s(s+3)}}{\dfrac{s^2(s+2)+s+1}{s^2(s+2)}}
\dfrac{Y(s)}{R(s)} =\dfrac{s(s+1)(s+2)}{s^2(s+2)(s+3)+(s+1)(s+3)}
\dfrac{Y(s)}{R(s)} =\dfrac{s^3+3s^2+2s}{s^4+5s^3+7s^2+4s+3}

Para determinar la estabilidad del sistema vamos a emplear el critério de Routh Hurwitz usando el polinómio característico del sistema:

D(s)=s^4+5s^3+7s^2+4s+3
routh hurwitz error estado estable
c_1=\dfrac{(5)(7)-(1)(4)}{5}=6.2
c_2=\dfrac{(5)(3)}{5}=3
d_1=\dfrac{(6.2)(4)-(5)(3)}{6.2}=1.5806
e_1=\dfrac{(1.5806)(3)}{1.5806}=3

Analizando la primera columna del Arreglo de Routh, vemos que no hubo ningún cambio de signo, por lo tanto el SISTEMA ES ESTABLE y podemos continuar realizando el análisis del error en el estado estacionario.

Si analizamos la tabla del error en estado estacionario, dado que nuestro sistema es de tipo 2, sabemos que para entradas del tipo escalón y rampa tendremos un error nulo, por lo tanto vamos a analizar el error ante una parábola:

k_a=\underset{s\rightarrow 0}{Lim}\ s^2G(s)H(s)
k_a=\underset{s\rightarrow 0}{Lim}\ s^2\dfrac{(s+1)}{s^2(s+2)}=\dfrac{1}{2}
e_{ss}=\dfrac{A}{k_a}=\dfrac{1}{1/2}=2

Ejercicio 3

Considere un sistema de control con realimentación unitaria con la siguiente función de transferencia de lazo cerrado

\dfrac{Y(s)}{R(s)} =\dfrac{Ks+b}{s^2+as+b}

Muestre que e_{ss} con una rampa unitaria viene dada por:

e_{ss} =\dfrac{1}{k_v}=\dfrac{a-K}{b}

Solución

Dado que el enunciado nos indica que tenemos realimentación unitária, sabemos que H(s)=1.

Ahora, necesitamos inicialmente determinar quien es G(s), y lo haremos partiendo del diagrama de bloques:

Lazo Cerrado de Control
\dfrac{G(s)}{1+G(s)H(s)} =\dfrac{Ks+b}{s^2+as+b}

De la igualdad anterior procedemos a despejar G(S)

G(s)(s^2+as+b)=(Ks+b)(1+G(s))
G(s)(s^2+as+b)=Ks+b+G(s)(Ks+b)
G(s)(s^2+as+b)-G(s)(Ks+b)=Ks+b
G(s)[s^2+(a-K)s]=Ks+b
G(s)=\dfrac{Ks+b}{s(s+(a-K))}

Una vez sabemos quien es G(s) y H(s) podemos verificar el error en estado estable con la constante de velocidad:

k_v=\underset{s\rightarrow 0}{Lim}\ sG(s)H(s)
k_v=\underset{s\rightarrow 0}{Lim}\ s\dfrac{Ks+b}{s(s+(a-K))}
k_v=\dfrac{b}{a-K}
e_{ss} =\dfrac{1}{k_v}=\dfrac{a-K}{b}

Con la expresión anterior conseguimos demostrar que efectivamente dicha ecuación corresponde al error en estado estacionario cuando el sistema es estimulado con una rampa unitária.


Eso es todo por la entrada del dia de hoy, espero les haya gustado y hayan aprendido algo nuevo. Si te ha servido el contenido de esta entrada, de los videos y los códigos de implementación y deseas apoyar mi trabajo invitandome a un café super barato, puedes hacerlo en el siguiente link:

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