En esta entrada aprenderás para que sirve la acción de control derivativo de PID, dándole continuidad así al el estudio de las 3 acciones del control PID.
Sabes que en entradas anteriores habíamos visto como funciona la 👉 acción de control proporcional de un PID y la 👉 acción integradora de un control PID, una vez hayas entendido esos dos conceptos anteriores es hora de entrar en detalle sobre la acción derivativa PID.
Antes de comenzar a entender el objetivo de la parte derivativa del controlador PID, te invito a que te suscribas al canal de YouTube si deseas aprender más sobre temas de control.
Control Derivativo – Control PID
La definición de la acción derivativa del controlador proporcional, integral, derivativo consiste en brindar al controlador una característica de anticipación del comportamiento futuro que va a tener la señal de error que recibe el propio PID.
Esta predicción es hecha simplemente calculando la derivada del error en el instante de tiempo acutal, que en otras palabras calcula la tangente a ese punto y traza una proyección hacia el futuro del posible comportamiento que tendrá el error.
En la siguiente gráfica se ilustra las acciones de control y ejemplos del comportamiento del error que se lleva a cabo cuando se implementa un controlador PID:
Básicamente lo que se hace con la acción derivativa es aproximar la curva del error por una recta, para anticipar lo que va a suceder en el futuro y para esto podemos usar una aproximación por series de Taylor.
Miremos el siguiente gráfico y supongamos que nos queremos anticipar un tiempo 
en el futuro.
El error en series de taylor viene representado por la siguiente serie infinita:
e(t+t_d)=e(t)+t_d\dfrac{de(t)}{dt}+\dfrac{t_d^2}{2!}\dfrac{d^2e(t)}{dt^2}+...Si hacemos una aproximación de primer orden, entonces voy a truncar solo en la primera derivada.
Con esto si se conoce el error y la derivada del error, voy a poder calcular cual es el punto en el futuro 
de la curva anterior.
e(t+t_d)=e(t)+t_d\dfrac{de(t)}{dt}Vemos que con esto se pude aproximar bastante al valor futuro del error del proceso.
Control Derivativo: ventajas y desventajas
Entre las desventajas del control derivativo podemos destacar que este no es muy usado a nivel industrial porque es bastante difícil de sintonizar, por lo tanto, solo es usada cuando se desea anticiparse a algún efecto que pueda tener el sistema en el futuro.
Notemos que si el tiempo derivativo es muy grande, quiere decir que se desea anticipar mucho en el futuro al comportamiento del error y esto puede generar una predicción bastante errónea.
Una acción derivativa pequeña, permite anticiparse poco tiempo en el futuro teniendo una mayor precisión, no obstante, una acción derivativa demasiado pequeña, no tendrá un efecto significativo en el sistema.
Una de las principales ventajas del control derivativo es que devido a su característica de predicción, se consiguen eliminar las oscilaciones de la variable controlada del sistema dentro del lazo cerrado de control.
Esto quiere decir que el modo derivativo permite mejorar la estabilidad del lazo de control.
Cuando se tiene la acción derivativa activa se puede aumentar mucho más la ganancia proporcional y disminuir mucho más la constante de tiempo integral, permitiendo así aumentar la velocidad de respuesta del controlador.
Con esto entonces llegamos a la ecuación del control PID
u(t)=K_c\left[e(t)+\dfrac{1}{t_i}\int_{0}^{t}e(t)dt+t_d\dfrac{de(t)}{dt} \right]Entonces la acción derivativa al momento de estar persiguiendo un Setpoint va a conseguir intuir cuando la señal de proceso esta muy cerca al setpoint y de esa forma va a disminuir la acción de control para evitar tener un sobreimpulso en el sistema.
Vemos que la acción de control derivativo de un control PID mejora el transitório cuando es correctamente ajustada.
Problemas de la Acción Derivativa en la Práctica
Entendiendo mejor como funcionan cada una de las acciones de control y sus limitaciones podremos proyectar mejores lazos de control. En este caso, la acción de control derivativa presenta algunos inconvenientes que debemos considerar a continuación:
Controlador no Propio
Cuando estudiamos sobre el controlador PID, generalmente comenzamos nuestro estudio usando su representación académica, el cual viene expresado en el dominio transformado de Laplace por:
C(s)=k_c\left(1+\dfrac{1}{\tau_is}+\tau_ds \right)Reescribiendo la ecuación:
C(s)=\dfrac{k_c\tau_i\tau_ds^2+k_c\tau_is+k_c}{\tau_is}Note que el sistema anterior es NO propio, dado que el orden del numerador es mayor al orden del denominador. Por lo tanto, es un sistema no implementable.
Para conseguir que la ecuación del controlador sea implementable se adiciona en la acción de control derivativa un filtro pasa bajos:
\dfrac{\tau_ds}{\alpha\tau_ds+1}En algunos controladores industriales ese 
es ajustable, caso contrario generalmente tiene un valor de fabrica del 0.1.
De esa forma la ecuación del control PID queda expresado como:
C(s)=k_c\left(1+\dfrac{1}{\tau_is}+\dfrac{\tau_ds}{\alpha\tau_ds+1} \right)donde el parámetro es un parámetro de sintonia relacionado a cuestiones de atenuación de ruido y robustez del controlador.
Control PID con Raspberry Pi Pico
Control PID en Tanque Esférico con Arduino
Principio del Modelo Interno
Cambios rápidos y ruídos
El controlador derivativo puro dentro de un control PID provoca señales demasiado altas al momento de realizar cambio de setpoint, que puede tornar el sistema rápidamente oscilatorio. Esto es algo lógico porque generalmente en los lazos de control se aplican setpoints del tipo escalón, donde la pendiente de un escalón da infinito.
Lo que comúnmente se hace en la industria, es colocar la acción derivativa directamente en la variable del proceso, para que no reciba la señal del error. Evitando el problema del cambio de setpoint y haciendo con que la acción derivativa únicamente actúe cuando ingresa una perturbación al sistema.
Sin embargo todavía tenemos el inconveniente que presentaba la acción integral y es el problema del Ruido. Si la variable de Proceso es muy ruidosa, al derivar ese ruido voy a terminal amplificando la señal, lo que va a inestabilizar el sistema. Por lo tanto deberá filtrarse la señal del sensor para evitar colocar una señal de control amplificada que pueda perjudicar nuestro elemento final de control.
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Ejemplos de las acciones de control
En el sitio web ya hemos visto diversos ejemplos sobre el control PID, para finalizar el estudio de las acciones de control veremos el ejemplo del tanque de nivel y aprovechemos para ver especialmente el comportamiento de la acción de control derivativo.
La explicación detallada de este ejemplo, se encuentra disponible en el video que está al comienzo de este post.
A continuación te dejo el archivo de descarga en SIMULINK del ejemplo de Control PID sintonizando la acción Derivativa, recuerda compartir el contenido de este post para que ayudes a difundir esta información y más gente entienda como funcionan las acciones de control PID.
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