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Control Automático Educación

Modelo de Motor DC

Hola controleros y controleras sean bienvenidos una vez más a otra entrada de la página de Control Automático Educación, donde vamos a continuar con nuestro curso de Análisis de Sistemas. Hoy vamos a aprender cómo obtener el modelo lineal de un motor de corriente directa DC, cual es la importancia que tiene en la industria, como modelarlo por sus ecuaciones diferenciales y obtener sus representaciones en función de transferencia y en espacio de estados.

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Motor de Corriente Directa DC

El dínamo de corriente directa básico consiste en un elemento con una armadura, escobas y bobinas de campo en serie, paralelo o la combinación de ellas, el cual viene siendo usado por muchos años como un convertidor básico de energía. Estos motores son usados en procesos como elevadores eléctricos, laminadores, vehículos eléctricos y algunas bombas donde se requiere de velocidad variable.

Modelo Electromecánico

Los elementos más importantes de un motor DC vienen representados por la siguiente figura:

Motor de Corriente Directa DC

La armadura del motor DC se modela como si tuviera una resistencia constante R en serie con una inductancia constante L que representa la inductancia de la bobina de la armadura, y una fuente de alimentación v que representa la tensión generada en la armadura.

La primera ecuación se realiza haciendo un análisis de la malla del circuito:

v(t)=Ri(t)+L\dfrac{di(t)}{dt}+E_a(t)

L\dfrac{di(t)}{dt}=v(t)-Ri(t)-E_a(t)  (1)

Donde E_a(t) es una tensión generada que resulta cuando los conductores de la armadura se mueven a través del flujo de campo establecido por la corriente del campo i_f

Naturalmente, en toda potencia mecánica desarrollada en el rotor se entrega a la carga mecánica conectado al eje del motor de CC. Parte de la potencia desarrollada se pierde a través de la resistencia de la bobina del rotor y la fricción y por histéresis y perdidas por corrientes de Focault en el hierro del rotor. Desde aquí las perdidas por fricción y parte de la energía desarrollada es almacenada como energía cinética en la masa girante del rotor. La ecuación de la sección mecánica viene dada por el modelo

T_m(t)=J\dfrac{d\omega(t)}{dt}+B\omega(t)

J\dfrac{d\omega(t)}{dt}=T_m(t)-B\omega(t)  (2)

Donde T_m(t) es el torque del motor de corriente continua, B es el coeficiente de fricción equivalente al motor de CD (corriente continua) y la carga montados sobre el eje del motor, J es el momento de inercia total del rotos y de la carga con relación al eje del motor, \omega(t) es la velocidad angular del motor y \dfrac{d\omega(t)}{dt} es la aceleración angular.

Para poder lograr la interacción entre las ecuaciones anteriores se proponen las siguientes relaciones que asumen que existe una relación proporcional, K_a, entre el voltaje inducido en la armadura y la velocidad angular del eje del motor.

E_a(t)=K_a\omega(t)  (3)

Y se supone la siguiente relación electromecánica que establece que el torque mecánico es proporcional, K_m, a la corriente eléctrica que circula por el motor DC.

T_m(t)=K_mi(t)  (4)

Funciones de Transferencia del Motor de Corriente Continua DC

Comenzamos aplicando transformada de Laplace a las ecuaciones 1 al 4.

Lsi(s)=v(s)-Ri(s)-E_a(s)  (5)

Js\omega(s)=T_m(s)-B\omega(s)  (6)

E_a(s)=K_a\omega(s)  (7)

T_m(s)=K_mi(s)  (8)

sustituimos ec 7 y ec 8 en la ec 5

Ls\dfrac{T_m(s)}{K_m}=v(s)-R\dfrac{T_m(s)}{K_m}-K_a\omega(s)

v(s)=\dfrac{(R+Ls)T_m(s)}{K_m}+K_a\omega(s) (9)

De la Ec 6, podemos obtener la velocidad angular:

\omega(s)=\dfrac{T_m(s)}{Js+B} (10)

Sustituyendo Ec 10 en Ec 9

v(s)=\dfrac{(R+Ls)T_m(s)}{K_m}+K_a\dfrac{T_m(s)}{Js+B}v(s)=\left(\dfrac{R+Ls}{K_m}+\dfrac{K_a}{Js+B}\right)T_m(s)

v(s)=\dfrac{(R+Ls)(Js+B)+K_aK_m}{K_m(Js+B)}T_m(s) (11)

De esta forma podemos obtener la función de transferencia que relaciona la salida (torque) del motor de CD con la entrada (voltaje)

\dfrac{T_m(s)}{v(s)}=\dfrac{K_m(Js+B)}{LJs^2+(RJ+LB)s+RB+K_mK_a}

Notemos que el motor posee diferentes salidas como puede apreciarse en el siguiente diagrama de bloques del motor DC.

De la misma forma, se pueden usar las ecuaciones para obtener la función de transferencia que relacionen cualquier salida con la entrada que es voltaje.

Función de transferencia de la fuerza contraelectromotriz con relación al voltaje:

\dfrac{E_a(s)}{v(s)}=\dfrac{K_mK_a}{LJs^2+(RJ+LB)s+RB+K_mK_a}

Función de transferencia de la corriente de armadura con relación al voltaje:

\dfrac{i(s)}{v(s)}=\dfrac{Js+B}{LJs^2+(RJ+LB)s+RB+K_mK_a}

Función de transferencia de la velocidad angular con relación al voltaje:

\dfrac{\omega(s)}{v(s)}=\dfrac{K_m}{LJs^2+(RJ+LB)s+RB+K_mK_a}

Por otro lado si estamos interesados en conocer la posición del motor de corriente directa DC, basta simplemente con integrar la velocidad angular, en otras palabras, simplemente colocamos un integrador a la función de transferencia anterior. Por lo tanto la ecuación que representa la posición del Motor DC es:

\dfrac{\theta(s)}{v(s)}=\dfrac{K_m}{s(LJs^2+(RJ+LB)s+RB+K_mK_a)}

Espacio de Estados

Una vez obtuvimos las funciones de transferencia, el espacio de estados también es muy sencillo de obtener, partiendo de las ecuaciones del 1 al 4, podemos nombrar nuestros estados como:

x_1=\omega\dot{x}_1=\dot{\omega}x_2=i\dot{x}_2=\dot{i}

Reescribiendo las ecuaciones del 1 al 4 usando las definiciones del espacio de estado, se tiene:

\dot{x}_1=-\dfrac{B}{J}x_1+\dfrac{K_m}{J}x_2 (12)

\dot{x}_2=-\dfrac{R}{L}x_2-\dfrac{K_a}{L}x_1+\dfrac{1}{L}v

La representación del modelo del Motor DC en espacio de Estados es:

\begin{bmatrix} \dot{x}_1\\\\\\\dot{x}_2 \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} -\dfrac{B}{J}&\dfrac{K_m}{J}\\ \\ -\dfrac{K_a}{L}&-\dfrac{R}{L} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1\\\\\\x_2 \end{bmatrix}+ \begin{bmatrix} 0\\\\\dfrac{1}{L} \end{bmatrix}v\begin{bmatrix} y_1\\y_2 \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} 1&0\\ 0&1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1\\x_2 \end{bmatrix}

Implementación en Simulink del Motor de Corriente Directa DC

Vamos a representar las ecuaciones diferenciales del motor DC usando la lógica de bloques del Simulink / MATLAB, para este ejemplo numérico vamos a establecer los siguientes parámetros:

J=0.01\ \rm\dfrac{Kg.m^2}{s^2}

B=0.1\ \rm N.m

K_m=K_a=0.01

R=1\ \rm\Omega

L=0.5\ \rm H

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Bueno Controleros y Controleras eso es todo por la entrada del dia de hoy, ya tenemos otro modelo matemático y otro tipo de procesos, el cual podremos modelarlo posteriormente con algún tipo de controlador que desarrollemos en el sitio web o en el canal de YouTube.

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Nos vemos en la próxima queridos amigos, que tengan un excelente día.