Hola controleros y controleras, en el día de hoy vamos a hablar un poco en que consiste la integral de convolución y como podremos usar esta herramienta para resolver sistemas dinámicos lineales.

Antes que nada te hago la invitación para ver nuestro curso de Analisis de Sistemas.

Integral de Convolución

Para sistemas lineales e invariantes en el tiempo, sabemos que podemos representarlos a través de una función de transferencia

G(s)=\dfrac{Y(s)}{U(s)}

Donde U(S) es la transformada de Laplace de la entrada del sistema y  Y(S) es la transformada de Laplace de la salida del sistema asumiendo claro condiciones iniciales nulas. Con esto, hemos visto en nuestro curso de análisis de sistemas, que podríamos resolver el sistema expandiendo por fracciones parciales la siguiente ecuación

Y(S)=G(S)U(S)
Integral de Convolución

Note que la multiplicación en el dominio complejo s es equivalente a la convolución en el dominio temporal, por lo tanto la transformada inversa de la ecuación anterior viene dado por la siguiente integral de convolución (que viene dado de la convolución de Laplace):

y(t)=g(t)*u(t)=\int_{0}^{t}g(t-\tau)u(\tau)d\tau = \int_{0}^{t}g(\tau)u(t-\tau)d\tau = G(s)U(s)

Interpretación de la Integral de Convolución

La integral de convolución junto con la respuesta al impulso vista en la entrada anterior, nos permite encontrar la respuesta de un sistema dinámico ante cualquier tipo de entrada.

Básicamente la convolución calcula la salida del sistema dividiendo la señal de entrada en pequeñas contribuiciones en el tiempo, lo que no es más que pequeños pulsos separados en el tiempo multiplicados por la magnitud de la entrada  u(t)

Señal U - Convolución

Recordando que la función pulso viene dado por:

P(t)\left\{\begin{matrix} 1/T &0\leq t \leq T\\ 0 & t>T \end{matrix}\right.

Normalizando el pulso unitário

TP(t)\left\{\begin{matrix} 1 &0\leq t \leq T\\ 0 & t>T \end{matrix}\right.

Aproximando una señal de entrada cualquiera e estos pequeños pulsos, se tiene que:

Integral de Convolución
TP(t)u(0) TP(t-T)u(1) TP(t-2T)u(2) TP(t-3T)u(3)

Y así sucesivamente…

Donde la función global de entrada

u^*(t)=\sum_{k=1}^{\infty}TP(t-kT)u(kT)

Con esto la salida del sistema viene dado por la suma de las contribuciones individuales de cada pulso.

y^*(t)=\sum_{k=1}^{\infty}Tg(t-kT)u(kT)

Si aplicamos el concepto del impulso, donde tenemos el limite del impulso tendiendo para cero, podríamos expresar el sumatório como una integral

\underset{T\rightarrow 0}{Lim}\ \ y^*(t) y(t)=\int_{0}^{t}g(t-\tau)u(\tau)d\tau = \int_{0}^{t}g(\tau)u(t-\tau)d\tau

Convolución con entrada Impulso (Delta de Dirac)

Se puede determinar la respuesta de un sistema cualquiera al aplicar en la entrada una señal impulso \delta(t) (o pulso de corta duración). Para obtener la llamada respuesta al impulso en  y(t) , figura (a). Si el impulso se aplica atrasado en el tiempo, o sea en t=\tau, lo único que ocurre es un retraso en la salida y(t-\tau) , figura (b). Si ahora, el impulso tuviese una intensidad diferentede la unidad en t=\tau por ejemplo f(\tau)\delta(t-\tau) , entonces por la linealidad la salida será f(\tau)\delta(t-\tau), figura (c). Si consideramos la suma de todas las entradas de este tipo, entonces la función de excitación es

\int_0^{t}f(\tau)\delta(t-\tau)d\tau=f(t)

Ejemplo Respuesta Impulsiva

Si exitamos un sistema oscilatorio representado por  g(t)=cos(2t) con un impulso en la entrada  u(t)= \delta(t) . Obtener la salida del sistema.

Aplicamos la definición de la integral de convolución

y(t)=g(t)*u(t)=\int_0^{t}g(\tau)u(t-\tau)d\tau y(t)=\int_0^{t}cos(2\tau)\delta(t-\tau)d\tau=cos(2t)

Convolución Ejercicios Resueltos

En la entrada de respuesta impulsiva, habíamos visto un ejemplo sobre un reactor donde aplicamos una señal impulso al sistema, en ese ejemplo solucionamos el problema usando transformada de Laplace. Vamos a solucionarlo ahora utilizando la integral de convolución.

La entrada impulsiva aplicada al reactor es:

C_i^\delta(t)=1+1.25\delta(t)

La función de transferencia que representa al reactor venia dado por:

C(s)=\dfrac{4}{4s+2}+\dfrac{2}{4s+2}C_i(s) C(s)=\dfrac{1}{s+0.5}+\dfrac{0.5}{s+0.5}C_i(s)

Aplicando transformada de Laplace inversa a la ecuación anterior, para poderlo llevar al dominio del tiempo:

C(t)=e^{-t/2}+0.5e^{-t/2}C_i(t)

Aplicando la integral de la convolución, debemos escoger una de las dos funciones en el tiempo para retrasarla, para eso se escoge la función de entrada al impulso, pues podremos resolver la integral más fácilmente.

y(t)=\int_{0}^{t}C(\tau)C_i^\delta(t-\tau)d\tau

Sustituyendo en la integral de convolución, dejando por fuera la condición inicial que veiamos en la ecuación de la función de transferencia, tenemos que:

y(t)=e^{-t/2}+\int_{0}^{t}0.5e^{-\tau/2}[1+1.25\delta(t-\tau)]d\tau y(t)=e^{-t/2}+\int_{0}^{t}0.5e^{-\tau/2}d\tau+\int_{0}^{t}0.625e^{-\tau/2}\delta(t-\tau)d\tau

Resolviendo las dos integrales y aplicando la propiedad de filtrado de la respuesta al impulso de la tercera integral tenemos que:

y(t)=e^{-t/2}-e^{-t/2}+1+0.625e^{-t/2} y(t)=1+0.625e^{-t/2}

Ejercicios Resueltos LTI – Integral de Convolución

En la entrada de transformada de Laplace, habiamos resuelto el siguiente sistema

G(s)=\dfrac{2}{s+4}

ante la siguiente señal de entradä:

Transformada de laplace sistemas de control
u(t)=(t-2)H(t-2)-(t-8)H(t-8)-4H(t-8)

Vamos a resolverlo ahora usando la integral de convolución para llegar a una respuesta equivalente.

Primero, procedemos a llevar la función de transferencia al dominio del tiempo

g(t)=2e^{-4t}

Aplicamos la integral de convolución

y(t)=\int_{0}^{t}g(t-\tau)u(\tau)d\tau y(t)=\int_{0}^{t}2e^{-4(t-\tau)}\left[ (\tau-2)H(\tau-2)-(\tau-8)H(\tau-8)-4H(\tau-8) \right] d\tau y(t)=\int_{2}^{t}2e^{-4(t-\tau)}(\tau-2) d\tau – \int_{8}^{t}2e^{-4(t-\tau)}(\tau-8) d\tau – \int_{8}^{t}8e^{-4(t-\tau)} d\tau y(t)=\int_{2}^{t}2\tau e^{-4(t-\tau)}d\tau-4\int_{2}^{t}e^{-4(t-\tau)} d\tau – \int_{8}^{t}2\tau e^{-4(t-\tau)}d\tau+16\int_{8}^{t}e^{-4(t-\tau)} d\tau – 8\int_{8}^{t}e^{-4(t-\tau)} d\tau

Resolviendo las integrales, aplicando la siguiente definición

y(t)=\int_{x}^{t}\beta e^{-\alpha(t-\tau)}d\tau=\dfrac{\beta}{\alpha}\left( 1 – e^{-\alpha(t-x)}\right)

La solución de la integral viene dado por:

y(t)=\dfrac{1}{2}tH(t-2)-\dfrac{1}{8}H(t-2) +\dfrac{1}{8}e^{-4(t-2)}H(t-2)-H(t-2) -\dfrac{1}{2}tH(t-8)+\dfrac{1}{8}H(t-8)+\dfrac{15}{8}e^{-4(t-8)}H(t-8)+2H(t-8)

Perfecto controleros y controleras, eso es todo por el día de hoy, espero hayan aprendido a como utilizar la integral de convolución en sistemas dinámicos lineales (LTI).

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Espero que esten muy bien y nos vemos en la próxima.

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