Análisis de Sistemas

Integral de Convolución

Hola controleros y controleras, en esta entrada estudiaremos el fundamento y como interpretar la integral de convolución para resolver sistemas dinámicos lineales.

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1. Integral de Convolución

2. Interpretación de la Integral de Convolución

2.1. Medidores de Flujo

2.2. Modelado de dos tanques de Nivel en Cascada

2.3. Modelado de un Reactor CSTR de Van de Vusse

3. Convolución con entrada Impulso (Delta de Dirac)

3.1. Ejemplo Respuesta Impulsiva

4. Convolución Ejercicios Resueltos

5. Ejercicios Resueltos LTI – Integral de Convolución

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Integral de Convolución

Para entender la convolución de señales junto con ejercicios resueltos, podemos ver el siguiente video que resume todo el contenido de este post:

El entendimiento del teorema de convolución permite realizar un análisis de los sistemas lineales e invariantes en el tiempo, donde una de las representaciones que se adopta para este tipo de sistema es conocido como la función de transferencia cuya relación está expresada en la siguiente ecuación:

G(s)=\dfrac{Y(s)}{U(s)}

Donde $U(s)$ es la transformada de Laplace de la señal de entrada del sistema dinámico y $Y(s)$ es la transformada de Laplace de la salida del sistema dinámico (para este caso se asumen condiciones iniciales nulas).

Un sistema representado por funciones de transferencia puede ser resuelto analiticamente para encontrar la respuesta transitoria de la salida del propio sistema expandiendo por fracciones parciales la siguiente ecuación:

Y(s)=G(s)U(s)

Visto de otra forma, la ecuación anterior, que se expresa en la variable compleja s, puede ser representado por el siguiente diagrama en el dominio temporal:

Note que la multiplicación en el dominio complejo s es equivalente a la convolución en el dominio temporal, por lo tanto la transformada inversa de Laplace de la ecuación anterior viene dado por la siguiente integral de convolución (que viene dado de la convolución en el dominio de Laplace):

y(t)=g(t)*u(t)=\int_{0}^{t}g(t-\tau)u(\tau)d\tau = \int_{0}^{t}g(\tau)u(t-\tau)d\tau = G(s)U(s)

Quiere decir que convolucionar dos señales en el dominio temporal es lo mismo que realizar un producto en el domino de Laplace.

Recuerde que la convolución es una operación matemática en dos funciones ( $f$ y $g$ ) que produce una tercera función ( $f*g$ ) que expresa cómo la forma de una de las funciones es modificada por la forma de la otra función.

Interpretación de la Integral de Convolución

La integral de convolución junto con la respuesta al impulso la cual fue estudiada en una entrada anterior, permite encontrar la respuesta de un sistema dinámico ante cualquier tipo de entrada. Observe por ejemplo la siguiente representación de un sistema el cual está siendo estimulado con una entrada del tipo impulso cuya respuesta en la salida es mostrada justo a continuación:

La respuesta anterior puede ser interpretada empleando la integral de convolución.

Básicamente con la convolución es posible calcular la salida del sistema, dividiendo la señal de entrada en pequeñas contribuciones en el tiempo. En otras palabras, esto siginifica colocar pequeños pulsos separados en el tiempo multiplicados por la magnitud de la señal de entrada $u(t)$ . Suponga que se tiene la siguiente señal de entrada representada en el dominio temporal:

La idea entonces es colocar pequeños pulsos que representen la señal anterior para realizar la convolución de señales, por lo tanto debemos recordar la representación matemática de la función pulso la cual está expresada en el dominio temporal por:

P(t)\left\{\begin{matrix} 1/T &0\leq t \leq T\\ 0 & t>T \end{matrix}\right.

Para un mejor entendimiento de este análisis conviene normalizar el pulso anterior por un pulso unitário:

TP(t)\left\{\begin{matrix} 1 &0\leq t \leq T\\ 0 & t>T \end{matrix}\right.

Con la representación anterior se puede representar una señal de entrada cualquiera con pequeños pulsos. Si se toma como ejemplo la señal $u(t)$ mostrada en la figura de arriba, se tiene que:

Donde cada uno de los pulsos realiza una pequeña contribución a la representación de la señal de entrada y que puede ser expresado cada pulso como:

TP(t)u(0)

TP(t-T)u(1)

TP(t-2T)u(2)

TP(t-3T)u(3)

Y así sucesivamente…

Cada uno de los pulsos anteriores puede ser condensado en una función global de entrada expresada por:

u^*(t)=\sum_{k=1}^{\infty}TP(t-kT)u(kT)

Con esto, la salida del sistema viene dado por la suma de las contribuciones individuales de cada pulso.

y^*(t)=\sum_{k=1}^{\infty}Tg(t-kT)u(kT)

Si se aplica el concepto del impulso, donde el limite del impulso cuando tiende para cero permite expresar el el sumatório como una integral:

\underset{T\rightarrow 0}{Lim}\ \ y^*(t)

y(t)=\int_{0}^{t}g(t-\tau)u(\tau)d\tau = \int_{0}^{t}g(\tau)u(t-\tau)d\tau

Esa es la forma de como se desarrolla la fórmula de la convolución.

Medidores de Flujo

Modelado de dos tanques de Nivel en Cascada

Modelado de un Reactor CSTR de Van de Vusse

Convolución con entrada Impulso (Delta de Dirac)

Se puede determinar la respuesta de un sistema dinámico cualquiera al aplicar en la entrada una señal impulso $\delta(t)$ (o pulso de corta duración).

Para obtener la llamada respuesta al impulso en $y(t)$ , figura (a). Si el impulso se aplica atrasado en el tiempo, o sea en $t=\tau$ , lo único que ocurre es un retraso en la salida $y(t-\tau)$ , figura (b).

Si ahora, el impulso tuviese una intensidad diferente de la unidad en $t=\tau$ , por ejemplo $f(\tau)\delta(t-\tau)$ , entonces por la linealidad la salida será $f(\tau)\delta(t-\tau)$ , figura (c).

Si consideramos la suma de todas las entradas de este tipo, entonces la función de excitación es:

\int_0^{t}f(\tau)\delta(t-\tau)d\tau=f(t)

Ejemplo Respuesta Impulsiva

Los ejercicios resueltos de convolución de señales utilizan la siguiente metodología, la cual para ejemplificarla usaremos el siguiente sistema.

Si exitamos un sistema oscilatorio representado por $g(t)=cos(2t)$ con un impulso en la entrada $u(t)= \delta(t)$ . Cual será la salida del sistema?

Aplicando la definición de la integral de convolución se tiene:

y(t)=g(t)*u(t)=\int_0^{t}g(\tau)u(t-\tau)d\tau

De esa forma la respuesta viene dado por:

y(t)=\int_0^{t}cos(2\tau)\delta(t-\tau)d\tau=cos(2t)

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Convolución Ejercicios Resueltos

En la entrada de respuesta impulsiva de este sitio web se trató un ejemplo de un reactor, donde se aplicó una señal impulso al sistema y a través de la transformada de Laplace se obtuvo la respuesta del sistema. Para este ejemplo se va a solucionar el mismo problema, pero en este caso se va hacer uso de la integral de convolución.

La entrada impulsiva aplicada al reactor es:

C_i^\delta(t)=1+1.25\delta(t)

La función de transferencia que representa al reactor venia dado por:

C(s)=\dfrac{4}{4s+2}+\dfrac{2}{4s+2}C_i(s)

C(s)=\dfrac{1}{s+0.5}+\dfrac{0.5}{s+0.5}C_i(s)

Aplicando transformada de Laplace inversa a la ecuación anterior, para poderlo llevar al dominio del tiempo:

C(t)=e^{-t/2}+0.5e^{-t/2}C_i(t)

Aplicando la integral de la convolución, debemos escoger una de las dos funciones en el tiempo para retrasarla, para eso se escoge la función de entrada al impulso, pues podremos resolver la integral más fácilmente.

y(t)=\int_{0}^{t}C(\tau)C_i^\delta(t-\tau)d\tau

Sustituyendo en la integral de convolución, dejando por fuera la condición inicial que veiamos en la ecuación de la función de transferencia, tenemos que:

y(t)=e^{-t/2}+\int_{0}^{t}0.5e^{-\tau/2}[1+1.25\delta(t-\tau)]d\tau

y(t)=e^{-t/2}+\int_{0}^{t}0.5e^{-\tau/2}d\tau+\int_{0}^{t}0.625e^{-\tau/2}\delta(t-\tau)d\tau

Resolviendo las dos integrales y aplicando la propiedad de filtrado de la respuesta al impulso de la tercera integral tenemos que:

y(t)=e^{-t/2}-e^{-t/2}+1+0.625e^{-t/2}

y(t)=1+0.625e^{-t/2}

Ejercicios Resueltos LTI – Integral de Convolución

En la entrada de transformada de Laplace, habiamos resuelto el siguiente sistema

G(s)=\dfrac{2}{s+4}

ante la siguiente señal de entradä:

Transformada de laplace sistemas de control

u(t)=(t-2)H(t-2)-(t-8)H(t-8)-4H(t-8)

Vamos a resolverlo ahora usando la integral de convolución para llegar a una respuesta equivalente.

Primero, procedemos a llevar la función de transferencia al dominio del tiempo

g(t)=2e^{-4t}

Aplicamos la integral de convolución

y(t)=\int_{0}^{t}g(t-\tau)u(\tau)d\tau

y(t)=\int_{0}^{t}2e^{-4(t-\tau)}\left[ (\tau-2)H(\tau-2)-(\tau-8)H(\tau-8)-4H(\tau-8) \right] d\tau

y(t)=\int_{2}^{t}2e^{-4(t-\tau)}(\tau-2) d\tau - \int_{8}^{t}2e^{-4(t-\tau)}(\tau-8) d\tau - \int_{8}^{t}8e^{-4(t-\tau)} d\tau

y(t)=\int_{2}^{t}2\tau e^{-4(t-\tau)}d\tau-4\int_{2}^{t}e^{-4(t-\tau)} d\tau - \int_{8}^{t}2\tau e^{-4(t-\tau)}d\tau+16\int_{8}^{t}e^{-4(t-\tau)} d\tau - 8\int_{8}^{t}e^{-4(t-\tau)} d\tau

Resolviendo las integrales, aplicando la siguiente definición

y(t)=\int_{x}^{t}\beta e^{-\alpha(t-\tau)}d\tau=\dfrac{\beta}{\alpha}\left( 1 - e^{-\alpha(t-x)}\right)

La solución de la integral viene dado por:

y(t)=\dfrac{1}{2}tH(t-2)-\dfrac{1}{8}H(t-2) +\dfrac{1}{8}e^{-4(t-2)}H(t-2)-H(t-2)

-\dfrac{1}{2}tH(t-8)+\dfrac{1}{8}H(t-8)+\dfrac{15}{8}e^{-4(t-8)}H(t-8)+2H(t-8)

%% Respuesta temporal usando Laplace y Integral de Convolucion
% By Sergio Andres Castaño Giraldo
% https://controlautomaticoeducacion.com/
clc
close all
clear all

%Define primer valor del heaviside en 1
sympref('HeavisideAtOrigin', 1);

%% Señal de entrada
t=0:0.0005:10;
u=(t-2).*heaviside(t-2)-(t-8).*heaviside(t-8)-4*heaviside(t-8);

plot(t,u,'-r','linewidth',3),grid
ylabel('u(t)');xlabel('t')

%% Funcion de Transferencia
Num=2;
Den=[1 4];

G=tf(Num,Den);

%% Respuesta del sistema usando la ecuación temporal
% y=(1/8).*exp(-4*(t-2)).*heaviside(t-2)-(1/8).*heaviside(t-2)+(1/2).*(t-2).*heaviside(t-2)...
%     +(15/8).*exp(-4*(t-8)).*heaviside(t-8)-(15/8).*heaviside(t-8)-(1/2).*(t-8).*heaviside(t-8);


y=   (1/2).*(t).*heaviside(t-2)+ (1/8).*exp(-4*(t-2)).*heaviside(t-2)-(1/8).*heaviside(t-2)-1*heaviside(t-2)...
    -(1/2).*(t).*heaviside(t-8)+(15/8).*exp(-4*(t-8)).*heaviside(t-8)+(1/8).*heaviside(t-8)+2*heaviside(t-8);

[y1,t1]=lsim(G,u,t); %Respuesta ante un escalon usando funcion lsim

%% Grafica de la respuesta
figure
subplot(2,1,1)
plot(t1,y1,'-b',t,y,'--r','linewidth',3),grid;
legend('lsim','Ecuación temporal')
ylabel('y(t)')
subplot(2,1,2)
plot(t,u,'-r','linewidth',3),grid;
ylabel('u(t)')
xlabel('t')

Perfecto controleros y controleras, eso es todo por el día de hoy, espero hayan aprendido a como utilizar la integral de convolución en sistemas dinámicos lineales (LTI).

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Espero que esten muy bien y nos vemos en la próxima.

Mi nombre es Sergio Andres Castaño Giraldo, y en este sitio web voy a compartir una de las cosas que mas me gusta en la vida y es sobre la Ingeniería de Control y Automatización. El sitio web estará en constante crecimiento, voy a ir publicando material sobre el asunto desde temas básicos hasta temas un poco más complejos. Suscríbete al sitio web, dale me gusta a la página en Facebook y únete al canal de youtube. Espero de corazón que la información que comparto en este sitio, te pueda ser de utilidad. Y nuevamente te doy las gracias y la bienvenida a control automático educación.