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Sistemas Dinámicos Lineales

Modelos Dinámicos Lineales

Este es el primer capitulo que vamos a abordar sobre los modelos dinámicos lineales, vamos a entender un poco sobre el concepto, y sobre su representación, para posteriormente trabajar dichos sistemas en teoría de control o en el análisis de sistemas de procesos industriales.

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Modelos Dinámicos

En ingeniería es muy común tratar con infinidad de procesos, los cuales necesitaremos caracterizar de alguna forma, para poder llevar a cabo diversos análisis y poder obtener las especificaciones requeridas del mismo.

Por ejemplo, si nos encontramos en una industria, donde tenemos un proceso de intercambio de calor, necesitamos obtener un Modelo dinámico de dicho proceso, representado matemáticamente para por ejemplo analizar la estabilidad del proceso o para diseñar un controlador.

En nuestro curso vamos a analizar bastante los sistemas dinámicos lineales para tener las herramientas adecuadas para la interpretación de estos porcesos. Veamos a continuación que podremos obtener un modelo dinámico representado en una forma matricial muy simple de entender.

Los modelos dinámicos lineales son fundamentales para entender cómo los sistemas responden a diversas entradas. Uno de los conceptos clave en este análisis es la función de transferencia, que proporciona una visión clara de la relación entre la entrada y la salida de un sistema. Para aprender más sobre cómo se obtienen y utilizan las funciones de transferencia, consulta nuestro artículo sobre Función de Transferencia.

Modelos Dinámicos en Espacio de Estado

Este método tiene como objetivo la descripción de un modelo dinámico sistema) en función de ecuaciones en diferencias o diferenciales de primer orden, las cuales pueden combinarse para formar una ecuación matricial en diferencias o una diferencial de primer orden.

El diseño de sistemas en el espacio de estado se puede realizar con todo tipo de entradas, permite incluir condiciones iniciales y analizar los sistemas de control con respecto a índices de desempeño dados.

Representación en Variables de Estado

La representación por variables de estado de control en un sistema, puede ser obtenida directamente de las ecuaciones diferenciales (O ecuaciones en diferencia para el caso discreto)

Para ilustrar mejor esto, considere la siguiente ecuación diferencial de un modelo dinámico

\dfrac{d^2y}{dt}+4 \dfrac{dy}{dt} +3y= \dfrac{du}{dt} +2u

Se tiene que representar toda ecuación diferencial en un sistema de ecuaciones diferenciales de primer orden, como este modelo dinámico posee una EDO de segundo orden, podremos dividirla en dos EDOs de primer orden. Adicionalmente en este problema podemos notar que tenemos una derivada en la salida.

La mejor forma de solucionar este problema, es creando una variable auxiliar v(t) y reescribir el problema en función de esta nueva variable. Donde las variables de estado serán:

x_1=v

x_2=\dfrac{dv}{dt}

Reescribiendo las ecuaciones diferenciales

y= \dfrac{dv}{dt} +2v

u=\dfrac{d^2v}{dt}+4 \dfrac{dv}{dt} +3v

La representación en espacio de estados viene dado por:

\begin{bmatrix} x_1\\x_2 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 0&1\\-3&-4 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x_1\\x_2 \end{bmatrix}+\begin{bmatrix} 0\\1 \end{bmatrix}u(t)\\\\ y(t)=\begin{bmatrix} 2&1 \end{bmatrix}x(t)

Para entender mejor como funciona la variable auxiliar, podemos verlo a partir de la transformada de Laplace, para eso el sistema de ecuaciones diferenciales en transformada de laplace viene dado por:

\dfrac{y}{u}=\dfrac{s+2}{s^2+4s+3}

Agregando la variable auxiliar v(s)

\dfrac{y}{u} \dfrac{v}{v} =\dfrac{s+2}{s^2+4s+3}

donde separando tenemos

y =v(s+2)

\dfrac{v}{u} =\dfrac{1}{s^2+4s+3} \rightarrow u=v(s^2+4s+3 )

Aplicando transformada inversa de Laplace, vamos a llegar a la misma representación en ecuaciones diferenciales en base a la variable auxiliar v(t) que vimos anteriormente, donde se mantiene la relación existente entre la variable de salida y(t) y la variable de entrada u(t).

Aplicando transformada inversa de Laplace tenemos:

y= \dfrac{dv}{dt} +2v

u=\dfrac{d^2v}{dt}+4 \dfrac{dv}{dt} +3v

Eso es todo por la entrada del dia de hoy, espero les haya gustado y hayan aprendido algo nuevo. Si te ha servido el contenido de esta entrada, de los videos y los códigos de implementación y deseas apoyar mi trabajo invitandome a un café super barato, puedes hacerlo en el siguiente link:

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Que esten muy bien, nos vemos en la siguiente entrada.

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Giraldo, S. A. C. (2015). Modelos Dinámicos Lineales. Control Automático Educación. https://controlautomaticoeducacion.com/sistemas-dinamicos-lineales/modelos-dinamicos-lineales/