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Análisis de Sistemas

Modelado de Sistemas Traslacionales

El modelado de sistemas traslacionales es una herramienta esencial para describir, analizar y predecir el comportamiento de mecanismos y máquinas cuyo movimiento ocurre a lo largo de una trayectoria recta. Este tipo de movimiento es fundamental en sistemas como actuadores lineales, pistones, transportadores, robots móviles, sistemas de suspensión y plataformas de automatización industrial.

En ingeniería, comprender estos modelos es clave para:

  • Diseñar controladores que garanticen precisión y estabilidad.
  • Optimizar procesos industriales.
  • Predecir el comportamiento dinámico antes de la fabricación.
  • Integrar sensores y actuadores en sistemas mecatrónicos.
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Fundamentos Físicos del Movimiento Traslacional

El movimiento traslacional se estudia aplicando las Leyes de Newton y conceptos energéticos.

Primera Ley de Newton – Inercia

Un cuerpo en reposo o en movimiento rectilíneo uniforme mantendrá ese estado a menos que una fuerza neta actúe sobre él.
En el modelado, la masa mmm representa la medida de inercia.

Segunda Ley de Newton – Dinámica

La aceleración de un cuerpo es proporcional a la fuerza neta aplicada:

F = m\,a

Esta es la ecuación base para formular las ecuaciones diferenciales de un sistema traslacional.

Tercera Ley de Newton – Acción y Reacción

Toda fuerza ejercida por un cuerpo sobre otro genera una fuerza igual y opuesta.
En el modelado, esto es esencial para el Diagrama de Cuerpo Libre (DCL).

Energía en Sistemas Traslacionales

Un sistema mecánico de traslación puede almacenar y disipar energía:

  • Energía cinética (masa):
T = \frac{1}{2} m\,\dot{x}^2
  • Energía potencial (resorte):
V = \frac{1}{2} k\,x^2
  • Energía disipada (amortiguador viscoso):
P_{\text{dis}} = b\,\dot{x}^2

Analogía financiera:

  • Energía cinética = dinero en efectivo (movimiento actual).
  • Energía potencial = cuenta de ahorros (energía almacenada).
  • Disipación = gasto irrecuperable (calor por fricción).

Componentes Fundamentales del Modelo

Un sistema mecánico traslacional lineal se modela con tres elementos ideales:

ComponenteFunciónUnidad
Masa (m)Almacena energía cinéticakg
Resorte (k)Almacena energía potencialN/m
Amortiguador (b)Disipa energía (rozamiento viscoso)N·s/m

Ecuación del Movimiento – Ejemplo 1

Usando un Diagrama de Cuerpo Libre (DCL) y aplicando la segunda ley de Newton:

\sum F = m\,\ddot{x}(t)

Las fuerzas que actúan son:

  • Fuerza del resorte:
F_k = -k\,x(t)
  • Fuerza del amortiguador:
F_b = -b\,\dot{x}(t)
  • Fuerza externa:
F_{\text{ext}} = F(t)

Sustituyendo en la segunda ley de Newton:

m\,\ddot{x}(t) + b\,\dot{x}(t) + k\,x(t) = F(t)

Esta es la ecuación diferencial que describe el sistema.

Función de Transferencia

Aplicando la Transformada de Laplace (condiciones iniciales nulas):

(ms^2 + bs + k)X(s) = F(s)
\frac{X(s)}{F(s)} = \frac{1}{m s^2 + b s + k}

Modelo en Espacio de Estados

Definimos:

  • x_1 = x(t) desplazamiento
  • x_2 = \dot{x}(t) velocidad
  • Entrada u = F(t)
  • Salida y = x(t)

Ecuaciones:

\dot{x}_1 = x_2
\dot{x}_2 = -\frac{k}{m}x_1 - \frac{b}{m}x_2 + \frac{1}{m}u
y = x_1

Forma matricial:

\dot{\mathbf{x}} =
\begin{bmatrix}
0 & 1 \\
-\frac{k}{m} & -\frac{b}{m}
\end{bmatrix}
\mathbf{x} +
\begin{bmatrix}
0 \\[2pt]
\frac{1}{m}
\end{bmatrix}
u
y =
\begin{bmatrix}
1 & 0
\end{bmatrix}
\mathbf{x} +
\begin{bmatrix}
0
\end{bmatrix}
u

Simulación

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