▷ Cero de una Función de Transferencia - [Ceros de Fase NO Mínima ]

Hola controleros y controleras el día de hoy vamos a entender rápidamente cual es el concepto de un cero de una función de transferencia, aplicado a sistemas de control.

Esta entrada hace parte del curso gratuito de ANALISIS DE SISTEMAS

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Concepto de Cero en una Función de Transferencia

Recordemos que la trasnformada de Laplace la usamos en la teoría de control para poder determinar el comportamiento dinámico de un sistema resolviendo la ecuación diferencial a través de un tratamiento puramente algebraico (esa es la ventaja de la transformada de Laplace) y recordamos que siempre que aplicábamos las transformadas inversas de Laplace, llegábamos a sistemas de orden exponencial, es decir sistemas de la forma:

$f(t)=c_1e^{\alpha_1t}+c_2e^{\alpha_2t}+…+c_ne^{\alpha_nt}$

Esa respuesta en el tiempo, de la ecuación anterior, nos indica la influencia de los polos y los ceros de la propia función de transferencia, donde $\alpha_1,\alpha_2,…,\alpha_n$ son aportados por los POLOS y son quienes determinan en gran parte la dinámica del sistema y sobre todo la estabilidad del mismo (siempre será estable si todos los $\alpha$ son negativos) Por otro lado $c_1,c_2,…,c_n$ son los coeficientes que son aportados por los CEROS, esto nos indica que la función de los ceros en la respuesta del sistema es ponderar cada uno de las exponenciales dadas en la respuesta temporal.

Para entender completamente el impacto de los polos y ceros de una función de transferencia en la estabilidad de un sistema, es crucial comprender cómo estos elementos se distribuyen en el plano complejo «S». Si deseas profundizar en este tema y aprender a calcular y graficar los polos y ceros, te invitamos a revisar nuestro post sobre Función de Transferencia, donde exploramos detalladamente cómo estos conceptos influyen en la respuesta dinámica de un sistema.

Sin embargo, ¿Porqué se llama CERO?

Entendamos que el concepto de POLOS y CEROS no le pertenece al área de Control, es un concepto de Matemáticas, donde si se toma una FUNCIÓN, el cero de dicha función hace que la función de CERO y el polo de la función hace que de INFINITO.

Sin embargo, el CERO en el área de control en una función de transferencia de un sistema puede ser interpretado como una «transferencia nula» entre la entrada y la salida del sistema en la frecuencia del propio cero. Esto quiere decir que si exitamos el sistema justo en la frecuencia del cero, esta no se verá reflejada en la respuesta del sistema.

O sea, de forma general si tenemos un sistema dado por:

$H(s)=\dfrac{s+6}{(s+5)(s+7)}$

Implica que tenemos un Cero en $s=-6$ y dos Polos en $s=-5$ y $s=-7$ .

Esto quiere decir que si a ese sistema, le colocamos una entrada de $u=e^{-6t}$ que en el dominio de laplace equivale a $U(s)=\dfrac{1}{s+6}$ , por lo tanto la respuesta del sistema viene dado por:

$Y(s)=H(s)U(s)$

$Y(s)=\dfrac{1}{(s+5)(s+7)}$

Lo que nos muestra que en la salida de $Y(s)$ no aparece ninguna exponencial relacionada con la entrada que en este caso era $u=e^{-6t}$ .

Esto es totalmente equivalente a hacerlo en el tiempo, para eso transformamos la función de transferencia en su respectiva ecuación diferencial:

$H(s)=\dfrac{s+6}{(s+5)(s+7)}$

$\dfrac{d^2y(t)}{dt^2}+12\dfrac{dy(t)}{dt}+35y(t)=\dfrac{du(t)}{dt}+6u(t)$

sabemos que la entrada es $u=e^{-6t}$ , por lo tanto $\dfrac{du(t)}{dt}=-6e^{-6t}$ donde si sustituimos

$\dfrac{d^2y(t)}{dt^2}+12\dfrac{dy(t)}{dt}+35y(t)=-6e^{-6t}+6e^{-6t}$

$\dfrac{d^2y(t)}{dt^2}+12\dfrac{dy(t)}{dt}+35y(t)=0$

O sea el efecto de la exponencial no va a aparecer en la respuesta del sistema. Ese es el concepto del cero.

Analisando el Cero en la Frecuencia

Pensando en el dominio de la frecuencia, sabemos de nuestro curso de respuesta frecuencial que al aplicar una señal senoidal en la entrada, a la salida tendremos una señal senoidal con una determinada amplitud y desfase.

Si suponemos que nuestra señal de entrada tiene una frecuancia $\omega_0$ pero casualmente nuestro sistema tiene también un cero en $\omega_0$ , eso va hacer que nuestra respuesta en frecuencia sea nula en $\omega_0$ :

Suponiendo un sistema con $\omega_0=1$ de la siguiente forma:

$H(s)=\dfrac{s^2+1}{s^2+12s+35}$

tendríamos una respuesta:

Lo que nos podría decir que el sistema es un filtro que elimina la frecuencia $\omega_0$ .

Esto se puede apreciar en el diagrama de bode, donde vemos un pico que tiende al infinito en la frecuencia $\omega_0=1$

Matemáticamente sería:

$Y(s)=H(s)U(s)$

donde $U(s)=\dfrac{N_u}{D_u}$ y $H(s)=\dfrac{N_H}{D_H}$ , como vimos que $D_u$ cancela $N_H$ , si aplicamos este concepto a entradas del tipo sinusoidal:

$D_u=s^2+\omega^2$

En este caso supongamos un desfase en la señal por lo tanto tendremos una entrada del tipo $sin(\omega t+ \phi)$ con $\phi \neq 0$ .

Observando que $sin(\omega t+ \phi)=sin\omega t\ cos\phi + cos\omega t\ sin \phi$

$\mathscr{L}\left( sin(\omega t+ \phi)\right)=cos\phi \dfrac{\omega}{s^2+\omega^2}+sin\phi \dfrac{s}{s^2+\omega^2}$

Por lo tanto la entrada en Laplace viene dado por:

$U(s)=\dfrac{\omega(cos\phi) + s(sin\phi)}{s^2+\omega^2}$

Lo que implica que si el sistema tiene un cero en la frecuencia $\omega$ :

$N_H=s^2+\omega^2$

La salida sería:

$Y(s)= \dfrac{\omega(cos\phi) + s(sin\phi)}{D_H}$

por lo tanto los modos de $s=\pm j\omega$ no aparecen en la respuesta del sistema.

En conclusión:

El cero de una función de transferencia cancelan la señal de entrada del sistema a una determinada frecuencia.
El cero de una función de transferencia pondera las exponenciales que representan el comportamiento dinámico del sistema.

Alteración de la dinámica por causa de los ceros de la Función de Transferencia

Retomando nuestro sistema del ejemplo:

$H_2(s)=\dfrac{s+6}{(s+5)(s+7)}$

Supongamos inicialmente que el sistema no tiene cero

$H_1(s)=\dfrac{6}{(s+5)(s+7)}$

Tendríamos una respuesta del sistema ante un escalón unitario dada por:

$y(t)= 0.1714-0.6e^{-5t}+0.4286e^{-7t}$

Ahora colocando el cero

$H(s)=\dfrac{s+6}{(s+5)(s+7)}= \dfrac{6}{(s+5)(s+7)} \left( \dfrac{s}{6}+1\right)$

$H(s)=\dfrac{6}{(s+5)(s+7)}+ \dfrac{s}{6}\dfrac{6}{(s+5)(s+7)}$

En diagrama de bloques seria algo como:

La respuesta del sistema seria:

Note que si se varia el cero en el plano complejo S, la derivada tendrá un pico mayor o menor en el punto de inflexión, lo que va a provocar que la respuesta en el sistema presente un sobre impulso o no.

Analizando el sistema en el plano de polos y ceros:

Si el cero estuviera muy lejos del eje imaginario, implica que va a colocar una derivada al sistema muy pequeña, por otro lado si el cero está cerca del eje imaginario, dicho cero va a colocar una derivada muy grande, creando un mayor efecto en la respuesta del sistema, creando un sobreimpulso sin la necesidad de que el sistema posea polos complejos conjugados, dado que dicho sobreimpulso es un efecto de la propia derivada.

cero cerca del eje imaginario

Dominio Frecuencial

En el dominio de la frecuencia tenemos el siguiente efecto:

Vamos a suponer que el cero del sistema se ubica en $s=-20$

$H(s)=\dfrac{s+20}{(s+5)(s+7)}$

El diagrama de bode viene dado por

La respuesta del sistema a un escalón NO va a variar mucho porque como se ve en el diagrama de bode, el cero solo aparece en ALTAS frecuencias. Todas las frecuencias bajas tienen prácticamente toda la dinámica del sistema y dado que el escalón solo está en alta frecuencia al momento de ocurrir el cambio esa ganancia es muy pequeña en la respuesta del sistema.

Con el cero del sistema en $s=-6$

$H(s)=\dfrac{s+6}{(s+5)(s+7)}$

Se nota que todas las frecuencias a partir de 6, fueron amplificadas, por lo tanto la respuesta tiende a tener un comportamiento más rápido.

Con el cero del sistema en $s=-1$

$H(s)=\dfrac{s+1}{(s+5)(s+7)}$

Vemos que toda la frecuencia fue mucho más amplificadas en comparación con la frecuencia de regimen permanente provenientes del escalón, por lo tanto debo esperar una respuesta con mayor amplitud que el regimen permanente.

Ceros de Fase no Mínima

Que sucede si se cambia el signo del cero?

$H(s)=\dfrac{-s+6}{(s+5)(s+7)}$

Esto implica que la derivada en este caso va a cambiar de señal, por lo tanto su crecimiento es hacia abajo:

$H(s)=\dfrac{6}{(s+5)(s+7)}- \dfrac{s}{6}\dfrac{6}{(s+5)(s+7)}$

Por lo tanto el sistema tendrá una respuesta inversa, conocida como fase no mínima de la siguiente forma:

De la misma forma, entre más cerca el cero se encuentre del eje imaginario, mayor será su efecto sobre la respuesta del sistema.

En el dominio de la frecuencia, ya sabemos que el cero positivo (de fase no mínima) no afecta el modulo, pero si afecta la fase del sistema y es por eso que se llama de FASE NO MÍNIMA porque la fase no es infinita o mínima que sería la diferencia entre el numerador y denominador. Y a un desfasaje mayor provoco que el sistema se vaya en sentido contrario, o sea si mi desfase es mayor que 180, indica que el sistema toma el sentido contrario.

Eso es evidente en una senoide, cuando esta es desfazada, podemos notar que iremos en sentido contrario

Códigos en Matlab

A continuación te dejo los códigos en Matlab de los ejemplos tratados aquí. Para tener acceso a ellos basta con compartir el contenido de esta entrada para que más personas conozcan sobre estos temas.

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Eso es todo por la entrada del dia de hoy, espero les haya gustado y hayan aprendido algo nuevo. Si te ha servido el contenido de esta entrada, de los videos y los códigos de implementación y deseas apoyar mi trabajo invitandome a un café super barato, puedes hacerlo en el siguiente link:

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Sergio A. Castaño Giraldo

Mi nombre es Sergio Andres Castaño Giraldo, y en este sitio web voy a compartir una de las cosas que mas me gusta en la vida y es sobre la Ingeniería de Control y Automatización. El sitio web estará en constante crecimiento, voy a ir publicando material sobre el asunto desde temas básicos hasta temas un poco más complejos. Suscríbete al sitio web, dale me gusta a la página en Facebook y únete al canal de youtube. Espero de corazón que la información que comparto en este sitio, te pueda ser de utilidad. Y nuevamente te doy las gracias y la bienvenida a control automático educación.