Saltar al contenido
Control Automático Educación

Transformacion de Similitud en Espacio de Estados

En esta entrada aprenderemos sobre la transformación de similitud de un sistema en variables de estado y como esta herramienta matemática va a facilitarnos la vida en el análisis de sistemas de control en nuestra amada ingeniería de control.

Antes de comenzar puedes darle un vistazo a nuestro curso de Sistemas Dinámicos Lineales.

También puedes suscribirte al canal de YouTube para seguir recibiendo información sobre el análisis y proyecto de sistemas de control en espacio de estados.

Transformaciones de Similitud

Un sistema es representado usando variables de estado a través de realizaciones o representaciones equivalentes, las cuales consisten de una ecuación de estado y una ecuación de salida (en términos vectoriales).

Las realizaciones comúnmente conocida como Transformación de Similitud, Transformación de Similaridad o Transformación de Semejanza, básicamente son descripciones de un mismo sistema que dependen del método usado para obtenerlas y que en ciertos casos permiten visualizar o calcular facilmente algunas de las características o propiedades del sistema.

Cuando usamos transformaciones de similitud para representar nuestro sistema lineal de forma diferente, se puede comprobar que a pesar de cambiar la representación del sistema, la respuesta del sistema no cambia.

Transformaciones de Semejanza

En la literatura existen dos formas de hacer la transformación de semejanza de un sistema dinámico lineal (LTI) que son básicamente lo mismo, sin embargo se debe tener cuidado en identificar cuando se usa una o otra para que nuestros cálculos no sean erróneos.

Empecemos comprobando la transformación de similaridad con el siguiente ejemplo:

\dot{x}(t)=\begin{bmatrix} 0 & -1\\ 1 & -1 \end{bmatrix}x(t)+\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix}u(t)
y(t)=\begin{bmatrix} 0 & 1 \end{bmatrix}x(t)

Donde la función de transferencia viene dada por:

G(s)=C(sI-A)^{-1}B=\dfrac{1}{s^2+s+1}

Método 1

Donde podemos redefinir los estados a traves de la siguiente Matriz de Semejanza.

\xi(t)=Px(t)

donde P es una matriz cualquiera de transformación de estados o matriz de transición y semejanza que debe ser invertible

P=\begin{bmatrix}1 & 0\\1 & -1\end{bmatrix}

La característica de que esa matriz sea invertible, es para poder devolverme al estado original, o sea volver al estado x(t):

x(t)=P^{-1}\xi(t)

Multiplico por P a la izquierda del sistema

P\dot{x}(t)=PAx(t)+PBu(t), x(0)

y(t)=Cx(t)+Du(t)

Recordando que: x(t)=P^{-1}\xi(t)

\dot{\xi}(t)=PAP^{-1}\xi(t)+PBu(t)

y(t)=CP^{-1}\xi(t)+Du(t)

La transformación de Similitud en MATLAB puede ser calculado como:

>> [Ab,Bb,Cb,Db]= ss2ss(A,B,C,D,P)

La nueva representación del sistema en terminos del nuevo estado despues de usar la transformación de semejanza viene dado por:

\dot{\xi}(t)=\begin{bmatrix}-1 & 1\\-1 & 0\end{bmatrix}\xi(t)+\begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix}u(t)
y(t)=\begin{bmatrix} 1 & -1 \end{bmatrix}\xi(t)

La función de transferencia en esta nueva representación es:

G(s)=C_{\xi}(sI-A_{\xi})^{-1}B_{\xi}=\dfrac{1}{s^2+s+1}

Note que la función de transferencia (representación entrada-salida) no se altera cuando se usa una transformación de similitud. Lo único que cambia es el valor de los estados. Obviamente para que esto se cumpla, la condición inicial de la representación inicial es diferente a la condición inicial del sistema transformado.

Es posible también utilizar otros tipos de representaciones del sistema, como por ejemplo usar las formas canonicas del sistema que son formas especiales de nuevas representaciones.

Método 2

Podemos redefinir los estados a traves de la siguiente Matriz de Semejanza para realizar un cambio de base. Donde existe una matriz P no singular que permite hacer ese cambio.

x(t)=P\xi(t)

donde P es una matriz cualquiera de transformación de estados o matriz de transición y semejanza que debe ser invertible

P=\begin{bmatrix}1 & 0\\1 & -1\end{bmatrix}

Observemos que podemos llegar al estado transformado

\xi(t)=P^{-1}x(t)

Multiplico por P^{-1} a la izquierda del sistema

P^{-1}\dot{x}(t)=P^{-1}Ax(t)+P^{-1}Bu(t),\ x(0)\\ y(t)=Cx(t)+Du(t)

Sustituyendo por el estado transformado y Recordando que: x(t)=P\xi(t)

\dot{\xi}(t)=P^{-1}AP\xi(t)+P^{-1}Bu(t)\\ y(t)=CP\xi(t)+Du(t)

La transformación de Similitud en MATLAB puede ser calculado como:

>> [Ab,Bb,Cb,Db]= ss2ss(A,B,C,D,P)

La nueva representación del sistema en términos del nuevo estado después de usar la transformación de semejanza viene dado por:

\dot{\xi}(t)=\begin{bmatrix}-1 & 1\\-1 & 0\end{bmatrix}\xi(t)+\begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix}u(t)
y(t)=\begin{bmatrix} 1 & -1 \end{bmatrix}\xi(t)

La función de transferencia en esta nueva representación es:

G(s)=C_{\xi}(sI-A_{\xi})^{-1}B_{\xi}=\dfrac{1}{s^2+s+1}

Totalmente equivalente al método 1, pues es el mismo procedimiento

Tipos de Transformaciones Semejantes

Las realizaciones más usados son las formas canónicas: controlable, observable, de Jordan o diagonal o en paralelo, cascada o serie y las realizaciones físicas en las cuales los estados están asociados a la energía almacenada dinamicamente en el sistema.

Esas formas tienen una estructura conocida, que para determinado tipo de problemas es mucho más interesante usar esa representación, que la estructura original del sistema.

En MATLAB puedo calcularlo como:

>> [Ac,Bc,Cc,Dc]= canon(A,B,C,D,’tipo’)

La variable ‘tipo’ define la forma canónica que se quiere calcular.

Por ejemplo cuando queremos obtener matrices semejantes y diagonalización. Considere un sistema con una matriz diagonal con autovalores reales \lambda_1,\lambda_2 y complejos [/latex]\alpha\pm j\beta[/latex]

J=\begin{bmatrix}\lambda_1 & 0& 0& 0\\0& \lambda_2 & 0& 0\\0& 0 & \alpha+ j\beta& 0\\0& 0 & 0& \alpha- j\beta\end{bmatrix}

Esa representación no es muy util en la practica, pues la matriz no es real.

Para esto existe una versión para cuando los autovalores son complejos conjugados conocida como representación modal, donde en la diagonal principal quedan la parte real de los autovalores y en la diagonal secundaria queda la parte imaginaria de los autovalores.

\bar{A}=\begin{bmatrix}\lambda_1 & 0& 0& 0\\0& \lambda_2 & 0& 0\\0& 0 & \alpha& \beta\\0& 0 & -\beta& \alpha\end{bmatrix}

En Matlab:
>> [At,Bt,Ct,Dt]= canon(A,B,C,D,’modal’)

La matriz de transformacion de similitud para la forma modal es:

P^{-1}=\begin{bmatrix}v_1 & v_2& Re(v_3)& Im(v_3)\end{bmatrix}

Esta matriz de transformación o transición se basa en los auto vectores de la matriz, donde el primer y segundo autovetor son referentes al primer y segundo autovalor real, luego se toma la parte real del tercer autovalor y la parte imaginaria del tercer autovalor y si hago el producto [/latex]PAP^{-1}[/latex] llego a la matriz [/latex]\bar{A}[/latex].

Matriz Modal de un Sistema Dinámico – Ejemplo

Obtener la forma modal del siguiente sistema:

\dot{x}(t)=\begin{bmatrix} 0 & 1\\ -5 & -2 \end{bmatrix}x(t)+\begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix}u(t)

y(t)=\begin{bmatrix} 1 & 0 \end{bmatrix}x(t)

ECUACIÓN CARACTERISTICA:

(\lambda I-A)=\lambda^2+2\lambda+5=0

\lambda_{1,2}=-1\pm j2

forma modal

\dot{\bar{x}}(t)=\begin{bmatrix} -1 & 2\\ -2 & -1 \end{bmatrix}\bar{x}(t)+\bar{B}u(t)

y(t)=\bar{C}\bar{x}(t)+\bar{D}u

La matriz de transformacion de similitud para la forma modal es:

P^{-1}=\begin{bmatrix}Re(v_1)& Im(v_1)\end{bmatrix}

Realización de Funciones de Transferencia

Ya habiamos visto que podiamos pasar facilmente de espacio de estados a función de transferencia

\dot{x}(t)=Ax(t)+Bu(t)

y(t)=Cx(t)+Du(t)

usando

G(s)=C(sI-A)^{-1}B+D

El problema es la realización inversa (pasar de una función de transferencia a espacio de estados).

Para sistemas SISO se puede obtener una realización de G(s) utilizando las llamadas formas compañeras.

G(s)=\dfrac{b_1s^{n-1}+...+b_{n-1}s^{n-1}s+b_n}{s^n+a_1s^{n-1}+...+a_{n-1}s+a_n}+d

Forma Compañera Canónica Observable es:

\dot{x}(t)=\begin{bmatrix} 0 & 0 & \cdots & 0 & -a_n\\ 1 & 0 & \cdots & 0 & -a_{n-1}\\ 0 & 1 & 0 & \cdots & -a_{n-2}\\ \vdots & \vdots &\ddots & \vdots & \vdots\\ 0& \cdots & 0& 1 & -a_1 \end{bmatrix}x(t)+ \begin{bmatrix} b_n\\ b_{n-1}\\ b_{n-2}\\ \vdots \\ b_1 \end{bmatrix}u(t)

y(t)=\begin{bmatrix} 0 & \cdots & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}x(t)+du(t)

Nota: No toda función de transferencia es realizable. Por ejemplo sistemas com Retardo.

Para sistemas MIMO tenemos que:

G(s)=\dfrac{1}{det(sI-A)}N(s)+D

donde N es una matriz cuyos elementos son polinomios.

N(s)=CAdj(sI-A)B

Descomponiendo N(s)

N(s)=N_1s^{n-1}+N_2s^{n-2}+...+N_{n-1}s+N_n

N_i\in R^{q\times p}

Una particularización del sistema MIMO

\dot{x}(t)=\begin{bmatrix} -a_1I_p & -a_2I_p & \cdots & -a_{n-1}I_p & -a_nI_p\\ I_p & 0 & \cdots & 0 & 0\\ 0 & I_p & 0 & \cdots & 0\\ \vdots & \vdots &\ddots & \vdots & \vdots\\ 0& \cdots & 0& I_p & 0 \end{bmatrix}x(t)+ \begin{bmatrix} I_p\\ 0\\ 0\\ \vdots \\ 0 \end{bmatrix}u(t)

y(t)=\begin{bmatrix} N_1 & N_2 & \cdots & \cdots & N_n \end{bmatrix}x(t)+Du(t)

Transformación de Similitud – EJEMPLO MIMO

Considere el siguiente sistema MIMO.

G(s)=\begin{bmatrix} \dfrac{1}{s+1} & -\dfrac{1}{s+5}\\ \dfrac{1}{s+1} & \dfrac{5}{2}\dfrac{s+2}{s+5} \end{bmatrix}

Obtener una realización de G.

En la matriz de funciones de transferencia G, para poder calcular el determinate, es necesario separar la parte constante debido a que en la expresión del sistema MIMO, los polinomios N(s) debe ser de grado n-1.

Lo primero que se hace, es obtener la matriz D, y sustraerla de la representación matricial. Como puede observarse el único elemento que tiene constante, o respuesta instantánea es el elemento G_{22}.

s+2\ \ \ \ \underline{|s+5}\\ >\ \ \ \ -3\ \ \ \ \ \ 1

\dfrac{5}{2}\left(1+\dfrac{-3}{s+5}\right)

G(s)=\begin{bmatrix} \dfrac{1}{s+1} & -\dfrac{1}{s+5}\\ \dfrac{1}{s+1} & \dfrac{-7.5}{s+5} \end{bmatrix}+\begin{bmatrix} 0 & 0\\ 0 & \dfrac{5}{2} \end{bmatrix}

Esta ultima matriz corresponde a la matriz D.

El siguiente paso es calcular el determinante de G

det(G(s))=\dfrac{-7.5}{(s+1)(s+5)}+\dfrac{1}{(s+1)(s+5)}

det(G(s))=\dfrac{-6.5}{(s+1)(s+5)}

Se puede ver que los polos de G son (s+1)(s+5) asi reescribo la matriz como

\tilde{G}(s)=\dfrac{1}{(s+1)(s+5)}\begin{bmatrix} s+5 & -(s+1)\\ s+5 & -7.5(s+1) \end{bmatrix}

\tilde{G}(s)=\dfrac{1}{s^2+6s+5}\begin{bmatrix} s+5 & -(s+1)\\ s+5 & -7.5(s+1) \end{bmatrix}

Donde N(s) es:

N(s)=\begin{bmatrix} s+5 & -(s+1)\\ s+5 & -7.5(s+1) \end{bmatrix}

La matriz N(s) se puede expresar como:

N(s)=N_1s+N_2

N(s)=\begin{bmatrix} 1 & -1\\ 1 & -7.5 \end{bmatrix}s+\begin{bmatrix} 5 & -1\\ 5 & -7.5 \end{bmatrix}

Expresando el sistema en la forma compañera

\dot{x}=\begin{bmatrix} -6I_2 & -5I_2\\ I_2 & 0_2 \end{bmatrix}x+\begin{bmatrix}I_2\\0_2\end{bmatrix}u

y=\begin{bmatrix}N_1&N_2\end{bmatrix}x+\begin{bmatrix}0 & 0\\0 & 1\end{bmatrix}u

Expresado con todos los terminos expandidos seria representado como:

\dot{x}=\begin{bmatrix} -6 &0& -5&0\\ 0& -6& 0&-5\\ 1&0 & 0&0\\ 0&1&0&0 \end{bmatrix}x+\begin{bmatrix}1&0\\0&1\\0&0\\0&0\end{bmatrix}u

y=\begin{bmatrix}1 & -1&5 & -1\\1 & -7.5&5 & -7.5\end{bmatrix}x+\begin{bmatrix}0 & 0\\0 & 1\end{bmatrix}u

Eso es todo por la entrada del dia de hoy, espero les haya gustado y hayan aprendido algo nuevo. Si te ha servido el contenido de esta entrada, de los videos y los códigos de implementación y deseas apoyar mi trabajo invitandome a un café super barato, puedes hacerlo en el siguiente link:

👉 Invitar a Sergio a un Café ☕️

Que esten muy bien, nos vemos en la siguiente entrada.