En esta entrada aprenderemos sobre la transformación de similitud de un sistema en variables de estado y como esta herramienta matemática va a facilitarnos la vida en el análisis de sistemas de control en nuestra amada ingeniería de control.
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Transformaciones de Similitud
Un sistema es representado usando variables de estado a través de realizaciones o representaciones equivalentes, las cuales consisten de una ecuación de estado y una ecuación de salida (en términos vectoriales).
Las realizaciones comúnmente conocida como Transformación de Similitud, Transformación de Similaridad o Transformación de Semejanza, básicamente son descripciones de un mismo sistema que dependen del método usado para obtenerlas y que en ciertos casos permiten visualizar o calcular facilmente algunas de las características o propiedades del sistema.
Cuando usamos transformaciones de similitud para representar nuestro sistema lineal de forma diferente, se puede comprobar que a pesar de cambiar la representación del sistema, la respuesta del sistema no cambia.
Transformaciones de Semejanza
En la literatura existen dos formas de hacer la transformación de semejanza de un sistema dinámico lineal (LTI) que son básicamente lo mismo, sin embargo se debe tener cuidado en identificar cuando se usa una o otra para que nuestros cálculos no sean erróneos.
Empecemos comprobando la transformación de similaridad con el siguiente ejemplo:
Donde la función de transferencia viene dada por:
Método 1
Donde podemos redefinir los estados a traves de la siguiente Matriz de Semejanza.
donde es una matriz cualquiera de transformación de estados o matriz de transición y semejanza que debe ser invertible
La característica de que esa matriz sea invertible, es para poder devolverme al estado original, o sea volver al estado x(t):
Multiplico por
Recordando que:
La transformación de Similitud en MATLAB puede ser calculado como:
>> [Ab,Bb,Cb,Db]= ss2ss(A,B,C,D,P)
La nueva representación del sistema en terminos del nuevo estado despues de usar la transformación de semejanza viene dado por:
La función de transferencia en esta nueva representación es:
Note que la función de transferencia (representación entrada-salida) no se altera cuando se usa una transformación de similitud. Lo único que cambia es el valor de los estados. Obviamente para que esto se cumpla, la condición inicial de la representación inicial es diferente a la condición inicial del sistema transformado.
Es posible también utilizar otros tipos de representaciones del sistema, como por ejemplo usar las formas canonicas del sistema que son formas especiales de nuevas representaciones.
Método 2
Podemos redefinir los estados a traves de la siguiente Matriz de Semejanza para realizar un cambio de base. Donde existe una matriz
donde
Observemos que podemos llegar al estado transformado
Multiplico por
Sustituyendo por el estado transformado y Recordando que:
La transformación de Similitud en MATLAB puede ser calculado como:
>> [Ab,Bb,Cb,Db]= ss2ss(A,B,C,D,P)
La nueva representación del sistema en términos del nuevo estado después de usar la transformación de semejanza viene dado por:
La función de transferencia en esta nueva representación es:
Totalmente equivalente al método 1, pues es el mismo procedimiento
Tipos de Transformaciones Semejantes
Las realizaciones más usados son las formas canónicas: controlable, observable, de Jordan o diagonal o en paralelo, cascada o serie y las realizaciones físicas en las cuales los estados están asociados a la energía almacenada dinamicamente en el sistema.
Esas formas tienen una estructura conocida, que para determinado tipo de problemas es mucho más interesante usar esa representación, que la estructura original del sistema.
En MATLAB puedo calcularlo como:
>> [Ac,Bc,Cc,Dc]= canon(A,B,C,D,’tipo’)
La variable ‘tipo’ define la forma canónica que se quiere calcular.
Por ejemplo cuando queremos obtener matrices semejantes y diagonalización. Considere un sistema con una matriz diagonal con autovalores reales
Esa representación no es muy util en la practica, pues la matriz no es real.
Para esto existe una versión para cuando los autovalores son complejos conjugados conocida como representación modal, donde en la diagonal principal quedan la parte real de los autovalores y en la diagonal secundaria queda la parte imaginaria de los autovalores.
En Matlab:
>> [At,Bt,Ct,Dt]= canon(A,B,C,D,’modal’)
La matriz de transformacion de similitud para la forma modal es:
Esta matriz de transformación o transición se basa en los auto vectores de la matriz, donde el primer y segundo autovetor son referentes al primer y segundo autovalor real, luego se toma la parte real del tercer autovalor y la parte imaginaria del tercer autovalor y si hago el producto [/latex]PAP^{-1}[/latex] llego a la matriz [/latex]\bar{A}[/latex].
Matriz Modal de un Sistema Dinámico – Ejemplo
Obtener la forma modal del siguiente sistema:
ECUACIÓN CARACTERISTICA:
forma modal
La matriz de transformacion de similitud para la forma modal es:
%% ******************************************************************** %% % ****** FORMA MODAL ***** % ****** SERGIO ANDRES CASTAÑO GIRALDO % ++++++ https://controlautomaticoeducacion.com %% ******************************************************************** %% clc clear all close all % Sistema Lineal A=[0,1;-5,-2]; B=[0;1]; C=[1 0]; %Ecuacion caracteristica [ V,Adiag ]=eig(A); %Autovectores de A (Normalizados) y A diagonal %La matriz de transformacion P=inv([imag(V(:,2)),real(V(:,1))])
Realización de Funciones de Transferencia
Ya habiamos visto que podiamos pasar facilmente de espacio de estados a función de transferencia
usando
El problema es la realización inversa (pasar de una función de transferencia a espacio de estados).
Para sistemas SISO se puede obtener una realización de G(s) utilizando las llamadas formas compañeras.
Forma Compañera Canónica Observable es:
Nota: No toda función de transferencia es realizable. Por ejemplo sistemas com Retardo.
Para sistemas MIMO tenemos que:
donde N es una matriz cuyos elementos son polinomios.
Descomponiendo N(s)
Una particularización del sistema MIMO
Transformación de Similitud – EJEMPLO MIMO
Considere el siguiente sistema MIMO.
Obtener una realización de G.
En la matriz de funciones de transferencia G, para poder calcular el determinate, es necesario separar la parte constante debido a que en la expresión del sistema MIMO, los polinomios
Lo primero que se hace, es obtener la matriz D, y sustraerla de la representación matricial. Como puede observarse el único elemento que tiene constante, o respuesta instantánea es el elemento
Esta ultima matriz corresponde a la matriz D.
El siguiente paso es calcular el determinante de G
Se puede ver que los polos de G son
Donde N(s) es:
La matriz N(s) se puede expresar como:
Expresando el sistema en la forma compañera
Expresado con todos los terminos expandidos seria representado como:
Eso es todo por la entrada del dia de hoy, espero les haya gustado y hayan aprendido algo nuevo. Si te ha servido el contenido de esta entrada, de los videos y los códigos de implementación y deseas apoyar mi trabajo invitandome a un café super barato, puedes hacerlo en el siguiente link:
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Mi nombre es Sergio Andres Castaño Giraldo, y en este sitio web voy a compartir una de las cosas que mas me gusta en la vida y es sobre la Ingeniería de Control y Automatización. El sitio web estará en constante crecimiento, voy a ir publicando material sobre el asunto desde temas básicos hasta temas un poco más complejos. Suscríbete al sitio web, dale me gusta a la página en Facebook y únete al canal de youtube. Espero de corazón que la información que comparto en este sitio, te pueda ser de utilidad. Y nuevamente te doy las gracias y la bienvenida a control automático educación.