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Sistemas Dinámicos Lineales

Respuesta Temporal Sistema Discreto

En esta entrada aprenderemos como analizar la respuesta temporal de un sistema de control en el dominio discreto (transformada Z). Esta es la continuación de la entrada pasada donde aprendimos TODO sobre respuesta temporal en el dominio de Laplace (función de transferencia) y en el espacio de estados. Si todavia no lo has visto, puedes hacerlo dando 👉 CLICK AQUI.

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Respuesta Temporal de Un Sistema Discreto

Una forma de obtener la representación discreta del sistema representado en variables de estados es usando la aproximación de Euler

\dot{x}(t)\approx \dfrac{x(t+T)-x(t)}{T}

Con esto podemos aproximar o discretizar un sistema continuo tomando el próximo valor del estado menos el valor actual dividido por el periodo de muestreo. Note que esta ecuación es aproximada a una derivada. Esta aproximación se conoce como Euler para al frente.

Usando esa aproximación se tiene que:

x(t+T)=x(t)+TAx(t)+TBu(t)

y así estimando apenas los valores de x(t) y de y(t) apenas en los instantes t=KT se consigue llegar al siguiente modelo aproximado.

x[k+1]=(I+TA)x[k]+TBu[k]

y[k]=Cx[k]+Du[k]

Discretización por ZOH (Retenedor de Orden Cero)

ZOH

si la entrada u(t) es generada por un computador digital seguido por un conversor DA(digital Analogo) y manteniendo el valor durante el periodo de muestreo se tiene que:

u(t)=u(kT)=u[k], para kT< t \leq (k+1)T

para esa señal de entrada la solución del sistema continuo es dado por:

x[k]=e^{AkT}x(0)+\int_{0}^{kT}e^{A(kT-\tau)}Bu(\tau)d\tau

x[k+1]=e^{A(k+1)T}x(0)+\int_{0}^{(k+1)T}e^{A((k+1)T-\tau)}Bu(\tau)d\tau

Manipulando la expresión anterior

x[k+1]=e^{AT}\left [e^{AkT}x(0)+\int_{0}^{kT}e^{A(kT-\tau)}Bu(\tau)d\tau \right]+\int_{kT}^{(k+1)T}e^{A(kT+T-\tau)}Bu(\tau)d\tau

x[k+1]=e^{AT}x[k]+\left [\int_{0}^{T}e^{A\alpha}d\alpha\right]Bu[k]

Si las salidas también son determinadas en los instantes t=KT.

x[k+1]=A_dx[k]+B_du[k]

y[k]=C_dx[k]+D_du[k]

donde las matrices del modelo discretizado son:

A_d=e^{AT},B_d=\left (\int_{0}^{T}e^{A\alpha}d\alpha\right)B,C_d=C,D=D_d

La determinación de la matriz B puede simplificarse cuando A sea no singular.

B_d=A^{-1}(A_d-I)B

Este modelo no tiene ninguna aproximación y es una solución exacta del sistema en los instantes de tiempo t=KT

Respuesta temporal de un sistema de control discreto en MATLAB puede calcularse como:

>>[Ad,Bd]=c2d(A,B,T);

La expresión de la solución de sistemas discretos se puede obtener fácilmente como:

x[1]=Ax[0]+Bu[0]

x[2]=Ax[1]+Bu[1]=A^2x[0]+ABu[0]+Bu[1]

generalizando el termino k

x[k]=A^kx[0]+\sum_{m=0}^{k-1} A^{k-1-m}Bu[m]

y[k]=CA^kx[0]+\sum_{m=0}^{k-1} CA^{k-1-m}Bu[m]+Du[k]

 

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