4. Linealización de un Reactor de Van de Vusse NO Isotérmico (Proceso MIMO)

4. Linealización de un Reactor de Van de Vusse NO Isotérmico (Proceso MIMO)
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En esta entrada analizaremos el modelado fenomenológico de un reactor de Van de Vusse NO isotérmico, el cual será un proceso multivariable MIMO y será de gran ayuda para ejemplificar varios controladores Multivariables que trataremos en el Blog Control Automático Educación.

 

El modelado del Reactor de Van de Vusse No Isotérmico es básicamente el mismo modelado explicado en TOTAL DETALLE en la entrada pasada (Por favor dar Click Aquí para ver la entrada pasada si aún no la has visto) con la diferencia que vamos adicionar una tercera ecuación que representará el comportamiento de la temperatura del reactor, lo que nos permitirá ejercer control tanto en la concentración del producto B cuanto en la temperatura del reactor (Sistema MIMO). El esquema del proceso se muestra en la siguiente figura:

Reactor de Van de Vusse No Isotermico

A continuación son descritas las ecuaciones analíticas del balance de masa para los componentes A e B y el balance de energía en el reactor. Para esto es adoptada la siguiente nomenclatura:

  •  C_{a_0} concentración de A en la entrada del reactor;
  •  T_0 la temperatura de la carga;
  • C_a y C_b son las concentraciones de A y B en el reactor;
  • T es la temperatura del reactor;
  • F es el flujo de alimentación.

y es considerado:

  • que el reactor es perfectamente agitado;
  • que la densidad del líquido \rho y capacidad calorífica C_p constantes;
  • Flujos iguales a F en la entrada y en la salida del reactor;
  • reacción A\rightarrow B de 1a orden en relación a A;
  • reacción B\rightarrow C de 1a orden en relación a B;
  • reacción 2A\rightarrow D de 2a orden en relación a A;

 

Los parámetros de las tasas de reacción k_i,i = 1,2,3, dependen de la temperatura por medio de la ley de Arrhenius

 

K_i(T)=k_{i0} exp\left( \dfrac{-E_i/R}{T(C)+273.15} \right)

 

Donde E_i,i = 1,2,3, son las energías de activación de las tres diferentes reacciones que ocurren en el sistema y R es la constante universal de los gases.

 

  • En el flujo de entrada solo se considera el reagente A;
  • Se considera la dinámica de la camisa de refrigeración despreciable;
  • T_k temperatura de la camisa del reactor constante;
  • Calor transferido del reactor para la camisa como Q = K_w A_R (T - T_k), donde K_w es el coeficiente de transferencia de calor e A_R la área de superficie del reactor;
  • Las temperaturas de la reacción son llamados como (-\Delta H_{RAB}),(-\Delta H_{RBC}),(-\Delta H_{RAD}).

 

El proceso es descrito por el modelo no-adiabático representado por las ecuaciones de balance de masa por componente y energía en el reactor.

 

\dfrac{d(C_A)}{dt}=\dfrac{F}{V}(C_{Af}-C_A)-k_1(T)C_A-K_3(T)C_A^2

\dfrac{d(C_B)}{dt}=-\dfrac{F}{V}C_B+k_1(T)C_A-K_2(T)C_B

\dfrac{d(T)}{dt}=\dfrac{1}{\rho C_p} \left[k_1(T)C_a(-\Delta H_{RAB})+k_2(T)C_b(-\Delta H_{RBC})+k_3(T)C_a^2(-\Delta H_{RAD})\right]+\dfrac{F}{V} (T_0-T)+\dfrac{K_w A_R}{\rho C_p V} (T_k-T)

Los valores de los parámetros que describen este sistema fueron extraídos de (TRIERWEILER, 1997) e están descritos en la siguiente Tabla.

parametros reactor cstr

Aplicando el concepto de la Jacobiana, explicado en detalle en la entrada anterior (Click aquí para ver la entrada pasada) linealizamos el sistema sobre un punto de operación. El punto de operación escogido se da con la entrada de \dfrac{F}{V}=72h^{-1} y la entrada de temperatura T_k=128.95K.

 

Para este punto de Operación se llega a la siguiente matriz de funciones de transferencia MIMO 2×2:

P_n=\begin{bmatrix}  \dfrac{-1.1033 (s+26.52) (s+94.31)}{(s+162.2) (s^2 + 203s + 1.284e04)} & \dfrac{142.23 (s+31.3)}{(s+162.2) (s^2 + 203s + 1.284e04)}\\ \\  \dfrac{-6.7606 (s+159.2) (s-7.671)}{(s+162.2) (s^2 + 203s + 1.284e04)} & \dfrac{30.829 (s+131) (s+168.8)}{(s+162.2) (s^2 + 203s + 1.284e04)}  \end{bmatrix}

 

A continuación vemos una comparación entre el sistema Lineal y el Sistema NO Lineal haciendo una variación del tipo escalón igual a 5 sobre la variable de flujo, \dfrac{F}{V}=77h^{-1}.

Reactor CSTR Lineal vs no lineal

Reactor CSTR Lineal vs no lineal

A continuación se muestra el código en MATLAB que simula el modelo fenomenológico del reactor de Van de Vusse, realiza la linealización sobre el punto de operación y calcula la matriz de funciones de transferencia del sistema.

Archivo principal del programa, llamar como “mainVV.m”

 

Archivo función del modelo del Reactor, nombrar el archivo como “VanVusseModel.m”

Bibliografia

  • TRIERWEILER, J. (1997). A Systematic Approach to Control Structure Design, Tesis de Doctorado. Alemania: Universität Dortmund.

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