NMPC Usando Modelos de Hammerstein
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Es una estrategia de Control Predictivo basado en Modelo MPC que usa como base la describsión el sistema con un modelo lineal dinámico y un estático no lineal.N

NMPC con Modelos Estáticos No Lineales

Un ejemplo tipico en esta metodologia es cuando tenemos una valvula de control en un proceso. Dicha válvula tendrá una representación dinámica lineal que me indica el tiempo que ella demora en abrir o cerrar (es como considerar una constante de tiempo lineal), pero puede tener una característica estática que presenta una variación no lineal, el cual tipicamente depende de la construcción de la válvula y del tipo de obturador que ella tiene (obturador de abertura rápida, igual porcentaje, raíz cuadrada, hiperbólico, exponencial, etc).

Tipo de Obturadores en Válvulas de Control
Fugura 2. Tipo de Obturadores en Válvulas de Control

Válvula Pneumática normalmente (a) abierta y (b) cerrada

Vemos entonces que podemos representar el comportamiento de la válvula con 2 bloques, el primer bloque va a representar las características de la válvula por medio de una función. El segundo bloque, representa la dinámica de abertura y cierre de la válvula a través de una función de transferencia lineal (en este caso una función de transferencia de primer orden)

Modelo Hammerstein

Esta estrategia es muy utilizada en control clásico para realizar una estrategia conocida como Gain Schedule. Donde se ajusta la ganancia del sistema dependiendo del punto de operación. Por ejemplo, si tenemos un control PI controlando el flujo en una tubería:

GainSchedule

Si sintonizamos ese controlador con un único modelo, podría no funcionar bien por causa del comportamiento estático no lineal de la válvula, por lo tanto lo que se hace es tomar la función no lineal estática de la válvula, y se coloca la inversa de esa función dentro del controlador para obtener una ganancia lineal en la salida.

Así el control vería todo el sistema con comportamiento lineal.

En resumen, este tipo de modelos que tienen las no linealidades estáticas en la entrada del sistema son conocidos como modelos de Hammerstein.

Cuando las no linealidades estáticas estan en la salida son conocidos como modelos de Wiener.

Hammerstein y Wiener

Control MPC Linealizante

Podemos implementar el control MPC lineal que ya hemos visto acá en la pagina, utilizando un pre condicionador linealizante, que consiste en colocar la estructura con el inverso de la parte No Lineal, de esa forma puede aplicarse un control lineal porque el controlador va a ver todo el proceso como si fuera lineal. El esquema de este control ws presentado a continuación.

MPC Linealizante

NMPC basado en Modelo de Hammerstein

Para representar la dinámica lineal, se utiliza el modelo CARIMA. Por lo tanto, la planta a ser controlada puede ser descrita por el siguiente modelo discreto:

Modelo CARIMA Hammerstein

A(z^{-1})\Delta y(k)=B(z^{-1})\Delta x(k-d)+\epsilon(k)

donde la variable auxiliar x(k) (pseudo salida no medible) es el elemento no lineal. La estructura del bloque no lineal puede variar en funciones exponenciales (estructura clásica) a redes neuronales artificiales (estructuras avanzado)

A modo de ejemplo podemos representar este bloque como una serie de potencias:

x(k)=\sum_{i=1}^{n_{\gamma}}\gamma_iu^i(k)

y siendo \gamma_i los coeficientes del modelo no lineal. Se observa que el modelo adoptado presenta linealidad en los parámetros y, por lo tanto, pueden ser estimados a través del el algoritmo de los mínimos cuadrados recursivos.

Es interesante resaltar que existe una cierta redundancia de parámetros; de esta forma, el coeficiente \gamma_1 es usualmente arbitrado en 1 (uno). En este caso de proyecto, el número de los parámetros estimados, en general, es mayor que en el de un modelo lineal.

Si se desea realizar un control DMC o GPC se considera apenas la parte lineal del sistema siguiendo el mismo procedimiento abordado aquí en la página, solo basta con sustituir la ley de control u(k) por la pseudo-salida no lineal x(k).

Pero como ahora todo es hecho en base a la pseudo salida. ¿Como calculamos la ley de control?

Existen varias estrategias para el calculo del controlador predictivo usando Modelo de Hammerstein, en este caso al considerar el termino no lineal descrito como un polinomio, es necesario en este caso utilizar algún algoritmo numérico (Newton-Raphson por ejemplo) para poder determinar las raíces del polinomio y de esa forma poder determinar el valor de la ley de control u(k) que será aplicado en la planta.

La función costo pasa a ser representada como:

J=\sum_{j=N_1}^{N_2}(\hat{y}(k+j|t)-w(k+j))^2+\sum_{j=1}^{N_u}(\Delta x(k+j-1))^2

Vemos que la resolución es exactamente la misma vista en entradas anteriores, la diferencia es que sustituimos la acción de control por la variable x

Por lo tanto, como ya visto anteriormente sabemos que la predicción viene dado por

\hat{y}=G\Delta x + f

y que la solución analítica de la función consto viene dado por:

\Delta x=[G^TG + \lambda I]^{-1}G^T(f^T-w^T)

donde I es la matriz Identidad con el mismo orden de G^TG.

de la cual podemos obtener x(k)

x(k)=x(k-1)+\Delta x(k)

De la secuencia de señales de la pseudo-salida del modelo Hammerstein futuros calculados, sólo el primero es aplicado al sistema y la acción de control óptimo puede determinarse a partir de las raíces del polinomio que representa la no linealidad x(k).

Si hay más de una raiz real, se debe elegir entre ellas la que mejor se adecue al sistema y descartar las raíces complejas conjugadas. En el próximo instante de tiempo todo el procedimiento es repetido a través de la estrategia de Horizonte deslizante.

Por ejemplo, ya tenemos x(k), y supongamos que el polinomio que describe la no linealidad es de tercer orden, entonces tendríamos:

x(k)=\sum_{i=1}^{3}\gamma_iu^i(k)

x(k)=\gamma_1u(k)+\gamma_2u(k)^2+\gamma_3u(k)^3

Como x(k) es conocida, solo nos falta saber u(k) la cual se obtiene sacando las raíces del polinomio y escogiendo la que sea real y no tenga parte imaginaria.

u(k)=\begin{bmatrix}  \eta & \alpha +j\beta & \alpha -j\beta  \end{bmatrix}

 

Listo amigos, eso es todo por esta entrada, más adelante talvez coloque un código de implementación aquí en la página para que sirva como referencia. Saludos y no olviden compartir con los botones que están disponibles aqui al lado.

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Los modelos Hammerstein representan el comportamiento del sistema dividiendo el sistema en dos partes. Una parte no lineal la cual es instantánea y una parte lineal que puede representar el comportamiento dinámico del sistema. Estos modelos son empleados por ejemplo en el control NMPC para la solución de problemas de control no lineal.
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Control Automático Educación
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