Saludos controleros y controleras, en la entrada del día de hoy continuamos analizando sistemas y en esta oportunidad entenderemos como representar fenomenológicamente a través de ecuaciones diferenciales el comportamiento dinámico de un tanque cerrado.
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Proceso
En la siguiente figura veremos una representación gráfica del modelo que deseamos analizar y modelar:
Instrumentación Industrial
Del proceso anterior podemos evidenciar los instrumentos industriales de medida y de actuación que operan dentro de este sistema de automatización y control.
Como elementos actuadores, tenemos dos válvulas las cuales pueden ser válvulas de control o válvulas manuales que permitan regular la altura al interior del tanque cerrado.
Como elementos primarios de medición (sensores) tenemos instalado en la base del tanque un transmisor de presión diferencial el cual me sirver para monitorear o medir en todo momento la altura del liquido al interior del tanque empleando para eso la medición de presión.
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Hipotesis Iniciales
Para realizar el modelo matemático del sistema hidráulico conformado por un tanque cerrado, vamos a considerar las siguientes hipotesis para el levantamiento del modelo por primeros principios.
De manera general el flujo que pasa por una válvula en dado por:
𝑄_𝑣=𝐶_𝑣 𝑓(𝑥)\sqrt{\Delta 𝑃/\rho}𝑄_𝑣=K_𝑣 𝑓(𝑥)\sqrt{\Delta 𝑃/\rho}- Qv: Flujo a través da válvula
Hipotesis 1
- ΔP=constante
q_i=k_1a_1
Hipotesis 2
q_o=k_2a_2\sqrt{\Delta P / \rho}
Modelado Matemático Tanque Cerrado
Comenzamos realizando el balance de materia dentro del tanque, donde el cambio de materia es igual a el caudal másico que entra (
\dfrac{dm}{dt}=\dot{m_i}-\dot{m_o}\ (1)La densidad viene dado por la siguiente ecuación, donde podemos cambiar de caudal másico a caudal volumétrico:
\rho = \dfrac{m}{V} \rightarrow m=\rho V \dfrac{m}{t}=\rho \dfrac{V}{t} \rightarrow \dot{m}=\rho QLa ecuación anterior la podemos involucrar en la ecuación (1) asociando los caudales de entrada y salida del sistema:
\dfrac{dm}{dt}=\rho (q_i-q_o)\ (2)Note que dentro del tanque tengo dos materias diferentes debido a que el tanque está cerrado, materia del líquido (
\dfrac{dm_g+m_l}{dt}=\rho (q_i-q_o)\ (2)La materia del liquido es muchisimo mayor a la masa del gás, por lo tanto la masa del gas la podemos considerar constante (derivada de una constante es cero) y separando las derivadas:
\dfrac{dm_g}{dt}+\dfrac{dm_l}{dt}=\rho (q_i-q_o)0+\dfrac{dm_l}{dt}=\rho (q_i-q_o)\dfrac{dm_l}{dt}=\rho (q_i-q_o)\ (3)Si consideramos el tanque cilindrico, sabemos que el volumen de un cilindro es 
\dfrac{d(\rho Ah)}{dt}=\rho (q_i-q_o)\ (4)Dado que el área y la densidad se mantienen constantes puedo sacarlas de la derivada.
\rho A\dfrac{dh}{dt}=\rho (q_i-q_o)\ (5)A\dfrac{dh}{dt}=q_i-q_o\ (5)Ecuación de salida de la válvula
Partiendo de la ecuación de salida de la válvula:
q_o=k_2a_2\sqrt{\Delta P / \rho}Tenemos que
\Delta P = P_1-P_2
Mire que 
\Delta P = P_l+P_g-P_{atm}\Delta P = \rho g h+P_g-P_{atm} \ (6)Sustituyendo (6) en la ecuación del caudal de salida:
q_o=k_2a_2\sqrt{\dfrac{\rho g h+P_g-P_{atm}}{\rho}}\ (7)Ecuación diferencial de tanque cerrado
Sustituyendo (7) en (5) reemplazando directamente quien es el caudal de entrada que se obtiene de la hipotesis 1:
A\dfrac{dh}{dt}=k_1a_1-k_2a_2\sqrt{\dfrac{\rho g h+P_g-P_{atm}}{\rho}} \ (8)Para modelar la presión del gas (
PV=nRT\ (9)
Despejando de (9) podemos saber cual es la presión del gas:
P_g=\dfrac{nRT}{V_g}
El volumen del gas (
P_g=\dfrac{nRT}{A(H-h)}\ (10)Sustituyendo (10) en (8)
A\dfrac{dh}{dt}=k_1a_1-k_2a_2\sqrt{\dfrac{\rho g h+\dfrac{nRT}{A(H-h)}-P_{atm}}{\rho}} \ (11)Curso de Simulink
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Eso es todo por la entrada del dia de hoy, espero les haya gustado y hayan aprendido algo nuevo. Si te ha servido el contenido de esta entrada, de los videos y los códigos de implementación y deseas apoyar mi trabajo invitandome a un café super barato, puedes hacerlo en el siguiente link:
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¡Hola! Soy Sergio Andrés Castaño Giraldo. Bienvenidos a Control Automático Educación, un espacio dedicado a una de mis grandes pasiones: la Ingeniería de Control y la Automatización.
Mi objetivo aquí es tender un puente entre la teoría académica y la práctica profesional. Como profesor e investigador, he tenido la oportunidad de trabajar en proyectos complejos —desde sistemas de compresión en plataformas offshore hasta modelos de control avanzado— y todo ese aprendizaje lo vuelco en este sitio.
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