En este post, profundizaremos en la teoría del Control Predictivo Generalizado (GPC), un tema esencial para quienes están interesados en el control avanzado de procesos. Comenzaremos con una breve explicación sobre qué es el GPC y por qué es relevante, seguido de una serie de videos que ilustrarán detalladamente su funcionamiento.
Si eres nuevo en el tema, te recomiendo comenzar viendo nuestros videos sobre el Control DMC (Dynamic Matrix Control), ya que proporcionan fundamentos cruciales para entender el GPC. Haz clic aquí para ver los videos del DMC.
¿Qué es el Control GPC?
El Control Predictivo Generalizado, conocido por sus siglas GPC, es una técnica de control avanzada que utiliza modelos matemáticos para predecir y optimizar la respuesta del sistema en futuras etapas de control. A diferencia del DMC, donde el modelo se basa en los coeficientes de la respuesta al escalón, el GPC utiliza una Función de Transferencia Discreta para anticipar las dinámicas futuras.
¿Cual es la diferencia del GPC y el DMC?
Para el estudio del control predictivo GPC (Generalized Predictive Controller ó Control Predictivo Generalizado) al igual que el DMC, vamos a necesitar obligatoriamente tener un modelo matemático que represente el comportamiento dinámico de mi sistema. La diferencia es que en el GPC mi modelo ya NO van a ser los coeficientes de mi respuesta al Escalón (Tal y como vimos que sucedía con el DMC) si no que ahora mi modelo va a ser basado en Función de Transferencia Discreta, con la cual vamos a calcular una predicción de lo que va a suceder en el futuro.
Historia
El GPC fue inicialmente propuesto por D. W. Clarke, C. Mohtadi y P. S. Tuffs en dos artículos fundamentales:
- Generalized Predictive Control Algorithm Part I, the Basic
- Generalized Predictive Control Part II. Extensions and Interpretations
Estos documentos sentaron las bases teóricas del GPC y sus extensiones.
Objetivo del GPC
El principal objetivo del GPC es determinar una secuencia de control óptima que permita alcanzar un objetivo específico mientras minimiza la variación en las acciones de control.
Modelo
Para el modelo del GPC, se utiliza una estructura de un modelo CARIMA, donde se tiene típicamente una función de transferencia junto con un termino adicional que representa algún modelo desconocido como por ejemplo una perturbación, que será una dinámica estocástica (Es algo que no sabremos como se comportará en el futuro)
Función de Costo
La función costo o función objetivo que pondera el error del sistema y las acciones de control del GPC esta dado por la siguiente ecuación:
J=\sum_{j=N1}^{N2}\delta (j)\left [ \hat{y}(k+j/k)-W(k+j) \right ]^2 + \sum_{j=1}^{Nu}\lambda (j)\left [ \Delta u(k+j-1) \right ]^2- N1 y N2 son los límites del horizonte de predicción.
- Nu es el horizonte de control.
- δ(j) y λ(j) son pesos que equilibran la importancia entre el error de predicción y el esfuerzo de control.
- W(k+j) representa el valor deseado o referencia en el tiempo futuro (k+j).
Importancia de los Pesos en la Función de Costo
Los pesos 𝛿(𝑗)δ(j) y 𝜆(𝑗)λ(j) en la función de costo son cruciales porque permiten al diseñador del control ajustar la respuesta del controlador. Un mayor peso en 𝛿(𝑗)δ(j) enfatiza la importancia de seguir la trayectoria deseada, mientras que un mayor 𝜆(𝑗)λ(j) pone énfasis en minimizar el cambio en la señal de control, lo que es particularmente útil para evitar acciones de control excesivas que podrían desestabilizar el sistema o acelerar el desgaste de los actuadores.
Ecuaciones Diofantinas en el Control GPC
Las ecuaciones diofantinas juegan un papel clave en el cálculo de los parámetros de control en el GPC. Estas ecuaciones permiten resolver el problema de control de manera que se satisfaga la ecuación del modelo del sistema junto con la minimización de la función de costo.
Aplicación de las Ecuaciones Diofantinas
En el contexto del GPC, las ecuaciones diofantinas ayudan a determinar los valores futuros de la señal de control 𝑢(𝑘) que minimizarán la función de costo dada. La solución típica involucra:
- Establecer la relación deseada entre la salida futura y la señal de control usando una función de transferencia deseada.
- Resolver la ecuación diofantina para encontrar los polinomios que describen cómo las entradas afectarán las salidas dentro del horizonte de predicción.
Ecuación Diofantina Típica en GPC
Una forma de ecuación diofantina que se puede utilizar en el GPC es:
A(z ^{−1} )Y(z)=B(z ^{−1} )U(z)+C(z ^{−1} )E(z)Donde:
- Y(z), U(z), E(z) son las transformadas Z de la salida, entrada, y error de predicción, respectivamente.
- A, B, C son polinomios que representan el comportamiento del sistema y la estructura del controlador.
Esta ecuación se resuelve para 𝑈(𝑧), proporcionando la ley de control que minimiza la función de costo sobre el horizonte de predicción y control establecidos.
Control Predictivo GPC
A continuación vamos a realizar un ejemplo de un control GPC sin Restricciones, para esto vamos a utilizar 3 funciones de transferencia distintas para observar el comportamiento y funcionamiento del control predictivo GPC.
Para este ejemplo usaremos un horizonte de predicción (N2=3) y un horizonte de control (Nu=3)
Función de transferencia 1 (Ejemplo 1)
Función de transferencia 2 (Ejemplo 2)
Función de transferencia 3 (Ejemplo 3)
Código de Implementación:
Código Principal
%% Control GPC
% Sergio Andres Castaño G.
% controlautomaticoeducacion.com
%___________________________________________________________________
clc
clear all
close all
w=menu('Seleccione el ejemplo','Ejemplo 1','Ejemplo 2','Ejemplo 3');
if w==1
%Ejemplo 1
T=1;
B=[0 0.5];
A=[1 -0.5];
%Retardo de la planta
d=0; %Ejemplo 1
%% Parametros de sintonia del GPC
%Ventana de prediccion
N=3; %Ejemplo
N1=d+1; %Horizonte Inicial
N2=d+N; %Horizonte final de salida
Nu=5; %Horizonte de entrada
lambda=1; %Parametro de ponderacion
delta=1;
end
if w==2
%Ejemplo 2
T=2;
B=[0 0.07056 0.0621];
A=[1 -0.7788];
%Retardo de la planta
d=1; %Ejemplo 2
%% Parametros de sintonia del GPC
%Ventana de prediccion
N=3; %Ejemplo
N1=1; %Horizonte Inicial
N2=N; %Horizonte final de salida
Nu=2; %Horizonte de entrada
lambda=1; %Parametro de ponderacion
delta=1;
end
if w==3
%Ejemplo 3
T=0.5;
B=[0 0.4 0.2];
A=[1 -0.6 0.4];
%Retardo de la planta
d=2; %Ejemplo 3
%% Parametros de sintonia del GPC
%Ventana de prediccion
N=3; %Ejemplo
N1=d+1; %Horizonte Inicial
N2=d+N; %Horizonte final de salida
Nu=3; %Horizonte de entrada
lambda=1.5; %Parametro de ponderacion
delta=1;
end
ftz=filt(B,A,T);
ftz.iodelay=d
Ql=eye(Nu)*lambda;
Qd=eye(N)*delta;
%% Calculo de la ecuacion Diofantina
[En,F] = diophantine(A,N,d); %Calculo de la funcion Diofantina
E=En(end,:); %Polinomio E seria la ultima fila arrojada por la funcion
%% Determina los coeficientes de control pasados
%Elimino el cero de la primera posicion de B
if B(1)==0
B=B(2:end);
end
uG=zeros(N1,N)'; %Vector de controles pasados (Pertenece a la respuesta libre)
j=2;
for i=N1:N2
aux=conv(En(i-N1+1,1:end),B);
if length(aux) < N1+j-1 %Si la longitud del auxiliar es menor que j
aux=[aux zeros(1,(N1+j-1)-length(aux))]; %Completar con ceros
end
uG(j-1,1:N1)=aux(j:N1+j-1);
j=j+1;
end
g=conv(E,B); %Calcula polinomio g
G=zeros(N,Nu); % Inicializa la matriz G
for k=1:Nu
G(k:end,k)=g(1:N-k+1); % Forma a matriz G
end
Mn=inv(G'*Qd*G+Ql)*G'*Qd; %Calculo de la Funcion de Costo sin Restriccion
%Calculo do controldor K1 (Primeira fila de Mn)
K1=Mn(1,:);
%% Loop de Controle
%% inicializa parametros de Simulacion
nit=160; %Numero de interacciones
inc_u=0;
u_ant(1:10) = 0;
u(1:20+d) = 0; ym(1:20+d) = 0; r(1:20+d) = 0;
% Referência
r(d+5:40) = 1; r(41:80) = 3; r(81:120) = 2; r(120:nit) = 2;
%Perturbacion
do(1:119)= 0;do(120:nit) = 0.1;
lduf=size(F); %Averiguo la longitud del polinomio F
lduf=lduf(1,2);
luG=size(uG); %Longitud de uG
luG=luG(1,2);
duf=zeros(1,luG); %Vector incrementos de control pasados libre
for k=9+d:nit
% Salida del proceso
if w==1
ym(k)=B(1)*u(k-1-d)-A(2)*ym(k-1)+do(k); %Ejemplo 1
end
if w==2
ym(k)=B(1)*u(k-1-d)+B(2)*u(k-2-d)-A(2)*ym(k-1)+do(k); %Ejemplo 2
end
if w==3
ym(k)=B(1)*u(k-1-d)+B(2)*u(k-2-d)-A(2)*ym(k-1)-A(3)*ym(k-2)+do(k); %Ejemplo 3
end
%Calculo de la respuesta libre
free=0;
for i=1:lduf
free=free+ym(k-i+1)*F(:,i);
end
free=free+uG*duf';
%free=ym(k)*F(:,1) + ym(k-1)*F(:,2) + ym(k-2)*F(:,3) +uG*duf';
%Calculo do Controle
%Projeto onde nao tenho as referencias futuras
inc_u=K1*(r(k)-free);
if k==1
u(k)=inc_u;
else
u(k)=u(k-1)+ inc_u;
end
% actualiza vector de control
%actualiza duf
% duf= [du(k-1) du(k-2) ..... du(k-N)]
aux_2=duf(1:end-1);
duf=[inc_u aux_2];
end
nm=nit;
t = 0:T:(nm-1)*T;
figure
subplot(2,1,1),plot(t,r,'--k',t,ym,'-r','Linewidth',2)
xlabel('Tempo (s)');
ylabel('Saida');
legend('y_r','y','Location','SouthEast')
grid on;
hold
subplot(2,1,2),plot(t,u,'b','Linewidth',2)
xlabel('Tempo (s)');
ylabel('Controle');
legend('u')
grid on;
Función Diofantina
% Example extracted from the book:
% Control of Dead-time Processes, Springer-Verlag, 2007
% by Julio Normey-Rico & Eduardo F. Camacho
%
%---------------------------------------------------------- %
% %
% Solution of the Diophantine equation %
% %
%---------------------------------------------------------- %
%[E,F] = diophantine(A,N,d)
% A = Denominator
% N = Prediction Horizon
% d = Transport delay
function[E,F] = diophantine(A,N,d)
%clear all
% Computes polynomials E(z^-1) e F(z^-1)
% delta = 1-z^(-1)
delta = [1 -1];
% A = 1 + a1 z^(-1) + ... + a2 z(-na)
%A = [1 -0.8]
%A = [1 -0.905]
%A = [1 -1.8 0.81]
% Ã = Adelta
AD = conv(A,delta);
% note that nAD = n~a + 1
nAD = size(AD);
nAD = nAD(2);
% compute horizons
N1 = d +1;
N2 = d + N;
% Compute F(z^-1)
% inilialization vector f
f(1,:)= [1 zeros(1,nAD-2)];
% i = 0 ... nã-1
for j = 1: N2;
% Note that for i = 1 corresponds to f(j,0)
for i = 1:nAD-2
f(j+1,i) = f(j,i+1)-f(j,1)*AD(i+1);
end
f(j+1,nAD-1) = -f(j,1)*AD(nAD);
end
F = f(1+N1:1+N2,:);
% Computes E(z^-1)
E = zeros(N2);
e(1) = 1; % for the special case 1/~A
E(1,1) = e(1);
for i = 2: N2
e(i) = f(i,1);
E(i,1:i)=e;
end
E = E(N1:N2,:);
Eso es todo por la entrada del dia de hoy, espero les haya gustado y hayan aprendido algo nuevo. Si te ha servido el contenido de esta entrada, de los videos y los códigos de implementación y deseas apoyar mi trabajo invitandome a un café super barato, puedes hacerlo en el siguiente link:
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Que esten muy bien, nos vemos en la siguiente entrada.
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Mi objetivo aquí es tender un puente entre la teoría académica y la práctica profesional. Como profesor e investigador, he tenido la oportunidad de trabajar en proyectos complejos —desde sistemas de compresión en plataformas offshore hasta modelos de control avanzado— y todo ese aprendizaje lo vuelco en este sitio.
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