Descripción Matemática Sistemas Lineales

Descripción Matemática Sistemas Lineales
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Continuamos viendo un poco más sobre la temática de sistemas dinámicos lineales.

Las dos representaciones mas utilizadas para describir los sistemas dinámicos lineales e invariantes en el tiempo son:

Entrada – Salida

y=\int_{0}^{t}G(t-\tau )u(\tau )d\tau

Variables de Estado

\left\{\begin{matrix}  \dot{x}(t)=Ax(t)+Bu(t) & \\  y(t)=Cx(t)+Du(t) &  \end{matrix}\right.

  • A= Matriz dinámica
  • B= Matriz de control
  • C= Matriz de lectura
  • D= Matriz de paso

Normalmente usamos la representación entrada salida en el dominio transformado, aplicando la transformada de Laplace

y(s)=\int_{0}^{\propto }y(t)e^{-st}dt

Aplicando la transformada de Laplace a la ecuación integral (1) se lega a la siguiente expresión algebraica suponiendo que el sistema es monovariable (SISO)

\hat{y}(s)=\hat{g}(s)\hat{u}(s)

Donde

\hat{g}(s)=\int_{0}^{\propto }g(t)e^{-st}dt\\ \hat{u}(s)=\int_{0}^{\propto }u(t)e^{-st}dt

Para un sistema que no tiene retardo, la función de transferencia g ̂(s) es una función racional en s.

\hat{g}(s)=\frac{N(s)}{D(s)}=\frac{\beta _0s^m+\beta _1s^{m-1}...\beta _{m-1}s+\beta _m}{s^n+\alpha _1s^{n-1}...\alpha _{n-1}s+\alpha _n}

De acuerdo a los grados de los polinomios N(s) y D(s) una función de transferencia g(s) puede ser clasificada de la siguiente forma.

1.n≥m, g(s) es propia.

2.n>m g(s) es estrictamente propia

3.n=m, g(s) es bi-propia

4.n<m, g(s) no es propia

Por otro lado aplicando la transformada de Laplace a la representación por variables de estado, se puede encontrar una relación directa entre las dos representaciones

Considere la siguiente representación por variables de estado.

\left\{\begin{matrix}  \dot{x}(t)=Ax(t)+Bu(t) & \\  y(t)=Cx(t)+Du(t) &  \end{matrix}\right.

Considerando que x(s)=L\left \{ x(t) \right \} se obtiene que

\left\{\begin{matrix}  s\hat{x}(s)=A\hat{x}(s)+B\hat{x}(s) & \\  \hat{y}(s)=C\hat{x}(s)+D\hat{x}(s) &  \end{matrix}\right.

\hat{x}(s)=\left ( sI_n-A \right )^{-1}Bu(s)\\  \hat{G}(s)=\frac{y(s)}{u(s)}=C\left ( sI_n-A \right )^{-1}B+D

Cabe resaltar que la mayoría de los sistemas físicos son descritos por sistemas no lineales e variantes en el tiempo.

En general un sistema no lineal puede ser descrito por la siguiente representación en variables de estado

\left\{\begin{matrix}  \dot{x}(t)=f(x(t),u(t),t) & \\  y(t)=h(x(t),u(t),t) &  \end{matrix}\right.

Sin embargo se puede aproximar un sistema NO lineal a través de un sistema lineal aproximado en torno a un punto de equilibrio.

Veamos un ejemplo de aproximación lineal considerando un sistema de péndulo.

pendulo

aproximacion

Ejemplo 1

Considere el siguiente sistema de un péndulo invertido.

Pendulo Invertido

  • Linealizando en torno al punto θ=0
  • senθ≈θ y cosθ≈1
  • Considerando las funciones lineales apenas en θ(t) y θ̇(t)
  1. (M+m)\ddot{y}(t)-ml\ddot{\theta }(t)=u(t)
  2. l\ddot{\theta }(t)-g\theta(t)=\ddot{y}(t)

Reemplazo 2. en 1.

(M+m)(l\ddot{\theta }(t)-g\theta(t))=u\\Ml\ddot{\theta }(t)=(M+m)+g\theta(t)+u

3. \ddot{\theta}=\frac{M+m}{Ml}g\theta+\frac{u}{Ml}

Reemplazo 3. en 2.

4. \ddot{y}=\frac{m}{M}g\theta+\frac{u}{M}

Determino las variables de estado

x1(t)=y(t)\\x2(t)=\dot{y}(t)\\x3(t)=\theta(t)\\x4(t)=\dot{\theta}(t)

Obtengo mis ecuaciones Dinámicas

\dot{x}1(t)=x2(t)\\\dot{x}2(t)=\ddot{y}(t)=\frac{m}{M}gx3+\frac{u}{M}\\\dot{x}3(t)=x4(t)\\\dot{x}4(t)=\ddot{\theta}(t)=\frac{M+m}{Ml}gx3+\frac{u}{Ml}

Mi sistema en representación por variables de estado queda:

\dot{x}(t)=\begin{bmatrix}  0 & 1& 0& 0\\  0 & 0& \frac{mg}{M}& 0\\  0 & 0& 0& 1\\  0 & 0& \frac{M+m}{Ml}& 0  \end{bmatrix}x(t)+\begin{bmatrix}  0\\  \frac{1}{M}\\  0\\  \frac{1}{Ml}  \end{bmatrix}u(t)\\  y(t)=\begin{bmatrix}  1 & 0& 0& 0  \end{bmatrix}x(t)+\begin{bmatrix}  0  \end{bmatrix}u(t)

 

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