Descripción Matemática Sistemas Lineales
5 (100%) 4 votes

Continuamos viendo un poco más sobre la temática de sistemas dinámicos lineales.

Las dos representaciones mas utilizadas para describir los sistemas dinámicos lineales e invariantes en el tiempo son:

Entrada – Salida

y=\int_{0}^{t}G(t-\tau )u(\tau )d\tau

Variables de Estado

\left\{\begin{matrix}  \dot{x}(t)=Ax(t)+Bu(t) & \\  y(t)=Cx(t)+Du(t) &  \end{matrix}\right.

  • A= Matriz dinámica
  • B= Matriz de control
  • C= Matriz de lectura
  • D= Matriz de paso

Normalmente usamos la representación entrada salida en el dominio transformado, aplicando la transformada de Laplace

y(s)=\int_{0}^{\propto }y(t)e^{-st}dt

Aplicando la transformada de Laplace a la ecuación integral (1) se lega a la siguiente expresión algebraica suponiendo que el sistema es monovariable (SISO)

\hat{y}(s)=\hat{g}(s)\hat{u}(s)

Donde

\hat{g}(s)=\int_{0}^{\propto }g(t)e^{-st}dt\\ \hat{u}(s)=\int_{0}^{\propto }u(t)e^{-st}dt

Para un sistema que no tiene retardo, la función de transferencia g ̂(s) es una función racional en s.

\hat{g}(s)=\frac{N(s)}{D(s)}=\frac{\beta _0s^m+\beta _1s^{m-1}...\beta _{m-1}s+\beta _m}{s^n+\alpha _1s^{n-1}...\alpha _{n-1}s+\alpha _n}

De acuerdo a los grados de los polinomios N(s) y D(s) una función de transferencia g(s) puede ser clasificada de la siguiente forma.

1.n≥m, g(s) es propia.

2.n>m g(s) es estrictamente propia

3.n=m, g(s) es bi-propia

4.n<m, g(s) no es propia

Por otro lado aplicando la transformada de Laplace a la representación por variables de estado, se puede encontrar una relación directa entre las dos representaciones

Considere la siguiente representación por variables de estado.

\left\{\begin{matrix}  \dot{x}(t)=Ax(t)+Bu(t) & \\  y(t)=Cx(t)+Du(t) &  \end{matrix}\right.

Considerando que x(s)=L\left \{ x(t) \right \} se obtiene que

\left\{\begin{matrix}  s\hat{x}(s)=A\hat{x}(s)+B\hat{x}(s) & \\  \hat{y}(s)=C\hat{x}(s)+D\hat{x}(s) &  \end{matrix}\right.

\hat{x}(s)=\left ( sI_n-A \right )^{-1}Bu(s)\\  \hat{G}(s)=\frac{y(s)}{u(s)}=C\left ( sI_n-A \right )^{-1}B+D

Cabe resaltar que la mayoría de los sistemas físicos son descritos por sistemas no lineales e variantes en el tiempo.

En general un sistema no lineal puede ser descrito por la siguiente representación en variables de estado

\left\{\begin{matrix}  \dot{x}(t)=f(x(t),u(t),t) & \\  y(t)=h(x(t),u(t),t) &  \end{matrix}\right.

Sin embargo se puede aproximar un sistema NO lineal a través de un sistema lineal aproximado en torno a un punto de equilibrio.

Veamos un ejemplo de aproximación lineal considerando un sistema de péndulo.

pendulo

aproximacion

Ejemplo 1

Considere el siguiente sistema de un péndulo invertido.

Pendulo Invertido

  • Linealizando en torno al punto θ=0
  • senθ≈θ y cosθ≈1
  • Considerando las funciones lineales apenas en θ(t) y θ̇(t)
  1. (M+m)\ddot{y}(t)-ml\ddot{\theta }(t)=u(t)
  2. l\ddot{\theta }(t)-g\theta(t)=\ddot{y}(t)

Reemplazo 2. en 1.

(M+m)(l\ddot{\theta }(t)-g\theta(t))=u\\Ml\ddot{\theta }(t)=(M+m)+g\theta(t)+u

3. \ddot{\theta}=\frac{M+m}{Ml}g\theta+\frac{u}{Ml}

Reemplazo 3. en 2.

4. \ddot{y}=\frac{m}{M}g\theta+\frac{u}{M}

Determino las variables de estado

x1(t)=y(t)\\x2(t)=\dot{y}(t)\\x3(t)=\theta(t)\\x4(t)=\dot{\theta}(t)

Obtengo mis ecuaciones Dinámicas

\dot{x}1(t)=x2(t)\\\dot{x}2(t)=\ddot{y}(t)=\frac{m}{M}gx3+\frac{u}{M}\\\dot{x}3(t)=x4(t)\\\dot{x}4(t)=\ddot{\theta}(t)=\frac{M+m}{Ml}gx3+\frac{u}{Ml}

Mi sistema en representación por variables de estado queda:

\dot{x}(t)=\begin{bmatrix}  0 & 1& 0& 0\\  0 & 0& \frac{mg}{M}& 0\\  0 & 0& 0& 1\\  0 & 0& \frac{M+m}{Ml}& 0  \end{bmatrix}x(t)+\begin{bmatrix}  0\\  \frac{1}{M}\\  0\\  \frac{1}{Ml}  \end{bmatrix}u(t)\\  y(t)=\begin{bmatrix}  1 & 0& 0& 0  \end{bmatrix}x(t)+\begin{bmatrix}  0  \end{bmatrix}u(t)

 

Si te sirvió de algo la información de la pagina, podrías invitarme a un café y ayudarme a seguir manteniendo en pie el sitio WEB. Solo cuesta $2USD y me ayudarías enormemente a seguir con mi trabajo. Muchas Gracias por tu visita.




Deja un comentario

Este sitio usa Akismet para reducir el spam. Aprende cómo se procesan los datos de tus comentarios.

Descripción Matemática Sistemas Lineales
Menú de cierre