4. Representación Equivalente

4. Representación Equivalente
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Un sistema es representado usando variables de estado a través de realizaciones, las cuales consisten de una ecuación de estado y una ecuación de salida (en términos vectoriales).

 

Las realizaciones básicamente son descripciones de un mismo sistema que dependen del método usado para obtenerlas y que en ciertos casos permiten visualizar o calcular facilmente algunas de las características o propiedades del sistema.

 

Cuando usamos transformaciones de similitud para representar nuestro sistema lineal de forma diferente, se puede comprobar que a pesar de cambiar la representación del sistema, la respuesta del sistema no cambia.

 

Empecemos comprobando esto con el siguiente ejemplo:

\dot{x}(t)=\begin{bmatrix}  0 & -1\\  1 & -1  \end{bmatrix}x(t)+\begin{bmatrix}  1 \\  0  \end{bmatrix}u(t)

y(t)=\begin{bmatrix}  0 & 1  \end{bmatrix}x(t)

Donde la función de transferencia viene dada por:

G(s)=C(sI-A)^{-1}B=\dfrac{1}{s^2+s+1}

Donde podemos redefinir los estados a traves de la siguiente matriz de Similitud.

\xi(t)=Px(t)

donde P es una matriz cualquiera de transformación de estados que debe ser inversible

P=\begin{bmatrix}1 & 0\\1 & -1\end{bmatrix}

La caracteristica de que esa matriz sea inversible, es para poder devolverme al estado original, osea volver al estado x(t):

x(t)=P^{-1}\xi(t)

La nueva representación del sistema en terminos del nuevo estado viene dado por:

\dot{\xi}(t)=\begin{bmatrix}1 & 0\\1 & -1\end{bmatrix}\xi(t)+\begin{bmatrix}  1 \\  1  \end{bmatrix}u(t)

y(t)=\begin{bmatrix}  1 & -1  \end{bmatrix}\xi(t)

La función de transferencia en esta nueva representación es:

G(s)=C_{\xi}(sI-A_{\xi})^{-1}B_{\xi}=\dfrac{1}{s^2+s+1}

Note que la funcion de transferencia (representación entrada-salida) no se altera cuando se usa una transformación de similitud. Lo unico que cambia es el valor de los estados. Obviamente para que esto se cumpla, la condición inicial de la representación inicial es diferente a la condición inicial del sistema transformado.
En resumen, la transformación de similitud consiste en tomar mi sistema dado por:

\dot{x}(t)=Ax(t)+Bu(t)

y(t)=Cx(t)+Du(t)

Defino una matriz:

\xi(t)=Px(t),det(P)\neq0

Multiplico por P a la izquierda del sistema

P\dot{x}(t)=PAx(t)+PBu(t), x(0)

y(t)=Cx(t)+Du(t)

Recordando que: x(t)=P^{-1}\xi(t)

\dot{\xi}(t)=PAP^{-1}\xi(t)+PBu(t)

y(t)=CP^{-1}\xi(t)+Du(t)

Esto en MATLAB puede ser calculado como:

>> [Ab,Bb,Cb,Db]= ss2ss(A,B,C,D,P)

Es posible también utilizar otros tipos de representaciones del sistema, como por ejemplo usar las formas canonicas del sistema que son formas especiales de nuevas representaciones.

 

Las realizaciones más usados son las formas canónicas: controlable, observable, de Jordan o diagonal o en paralelo, cascada o serie y las realizaciones físicas en las cuales los estados están asociados a la energía almacenada dinámicamente en el sistema.

 

Esas formas tienen una estructura conocida, que para determinado tipo de problemas es mucho más interesante usar esa representación, que la estructura original del sistema.

En MATLAB puedo calcularlo como:

>> [Ac,Bc,Cc,Dc]= canon(A,B,C,D,’tipo’)

La variable ‘tipo’ define la forma canonica que se quiere calcular.

Por ejemplo, considere un sistema con una matriz diagonal con autovalores reales \lambda_1,\lambda_2 y complejos [/latex]\alpha\pm j\beta[/latex]

J=\begin{bmatrix}\lambda_1 & 0& 0& 0\\0& \lambda_2 & 0& 0\\0& 0 & \alpha+ j\beta& 0\\0& 0 & 0& \alpha- j\beta\end{bmatrix}

Esa representación no es muy util en la practica, pues la matriz no es real.

Para esto existe una versión para cuando los autovalores son complejos conjugados conocida como representación modal, donde en la diagonal principal quedan la parte real de los autovalores y en la diagonal secundaria queda la parte imaginaria de los autovalores.

\bar{A}=\begin{bmatrix}\lambda_1 & 0& 0& 0\\0& \lambda_2 & 0& 0\\0& 0 & \alpha& \beta\\0& 0 & -\beta& \alpha\end{bmatrix}

En Matlab:
>> [At,Bt,Ct,Dt]= canon(A,B,C,D,’modal’)

La matriz de transformacion de similitud para la forma modal es:

P^{-1}=\begin{bmatrix}v_1 & v_2& Re(v_3)& Im(v_3)\end{bmatrix}

Esta matriz de transformación se basa en los autovectores de la matriz, donde el primer y segundo autovector son referentes al primer y segundo autovalor real, luego se toma la parte real del tercer autovalor y la parte imaginaria del tercer autovalor y si hago el producto [/latex]PAP^{-1}[/latex] llego a la matriz [/latex]\bar{A}[/latex].

Ejemplo

Obtener la forma modal del siguiente sistema:

\dot{x}(t)=\begin{bmatrix}  0 & 1\\  -5 & -2  \end{bmatrix}x(t)+\begin{bmatrix}  0 \\  1  \end{bmatrix}u(t)

y(t)=\begin{bmatrix}  1 & 0  \end{bmatrix}x(t)

ECUACIÓN CARACTERISTICA:

(\lambda I-A)=\lambda^2+2\lambda+5=0

\lambda_{1,2}=-1\pm j2

forma modal

\dot{\bar{x}}(t)=\begin{bmatrix}  -1 & 2\\  -2 & -1  \end{bmatrix}\bar{x}(t)+\bar{B}u(t)

y(t)=\bar{C}\bar{x}(t)+\bar{D}u

La matriz de transformacion de similitud para la forma modal es:

P^{-1}=\begin{bmatrix}Re(v_1)& Im(v_1)\end{bmatrix}

 

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Realización de Funciones de Transferencia

Ya habiamos visto que podiamos pasar facilmente de espacio de estados para funcion de transferencia

\dot{x}(t)=Ax(t)+Bu(t)

y(t)=Cx(t)+Du(t)

usando

G(s)=C(sI-A)^{-1}B+D

El problema es la realización inversa (pasar de una función de transferencia para el espacio de estados).

Para sistemas SISO se puede obtener una realización de G(s) utilizando las llamadas formas compañeras.

G(s)=\dfrac{b_1s^{n-1}+...+b_{n-1}s^{n-1}s+b_n}{s^n+a_1s^{n-1}+...+a_{n-1}s+a_n}+d

Forma Compañera Observable es:

\dot{x}(t)=\begin{bmatrix}  0 & 0 & \cdots & 0 & -a_n\\  1 & 0 & \cdots & 0 & -a_{n-1}\\  0 & 1 & 0 & \cdots & -a_{n-2}\\  \vdots & \vdots &\ddots & \vdots & \vdots\\  0& \cdots & 0& 1 & -a_1  \end{bmatrix}x(t)+  \begin{bmatrix}  b_n\\  b_{n-1}\\  b_{n-2}\\  \vdots \\  b_1  \end{bmatrix}u(t)

y(t)=\begin{bmatrix}  0 & \cdots & 0 & 0 & 1  \end{bmatrix}x(t)+du(t)

Nota: No toda función de transferencia es realizable. Por ejemplo sistemas com Retardo.

Para sistemas MIMO tenemos que:

G(s)=\dfrac{1}{det(sI-A)}N(s)+D

donde N es una matriz cuyos elementos son polinomios.

N(s)=CAdj(sI-A)B

Descomponiendo N(s)

N(s)=N_1s^{n-1}+N_2s^{n-2}+...+N_{n-1}s+N_n

N_i\in R^{q\times p}

Una particularización del sistema MIMO

\dot{x}(t)=\begin{bmatrix}  -a_1I_p & -a_2I_p & \cdots & -a_{n-1}I_p & -a_nI_p\\  I_p & 0 & \cdots & 0 & 0\\  0 & I_p & 0 & \cdots & 0\\  \vdots & \vdots &\ddots & \vdots & \vdots\\  0& \cdots & 0& I_p & 0  \end{bmatrix}x(t)+  \begin{bmatrix}  I_p\\  0\\  0\\  \vdots \\  0  \end{bmatrix}u(t)

y(t)=\begin{bmatrix}  N_1 & N_2 & \cdots & \cdots & N_n  \end{bmatrix}x(t)+Du(t)

EJEMPLO

Considere el siguiente sistema MIMO.

G(s)=\begin{bmatrix}  \dfrac{1}{s+1} & -\dfrac{1}{s+5}\\  \dfrac{1}{s+1} & \dfrac{5}{2}\dfrac{s+2}{s+5}  \end{bmatrix}

Obtener una realización de G.

En la matriz de funciones de transferencia G, para poder calcular el determinate, es necesario separar la parte constante debido a que en la expresión del sistema MIMO, los polinomios N(s) debe ser de grado n-1.

Lo primero que se hace, es obtener la matriz D, y substraerla de la representacion matricial. Como puede observarse el unico elemento que tiene constante, o respuesta instantanea es el elemento G_{22}.

s+2\ \ \ \ \underline{|s+5}\\  >\ \ \ \ -3\ \ \ \ \ \ 1

\dfrac{5}{2}\left(1+\dfrac{-3}{s+5}\right)

G(s)=\begin{bmatrix}  \dfrac{1}{s+1} & -\dfrac{1}{s+5}\\  \dfrac{1}{s+1} & \dfrac{-7.5}{s+5}  \end{bmatrix}+\begin{bmatrix}  0 & 0\\  0 & \dfrac{5}{2}  \end{bmatrix}

Esta ultima matriz corresponde a la matriz D.

El siguiente paso es calcular el determinante de G

det(G(s))=\dfrac{-7.5}{(s+1)(s+5)}+\dfrac{1}{(s+1)(s+5)}

det(G(s))=\dfrac{-6.5}{(s+1)(s+5)}

Se puede ver que los polos de G son (s+1)(s+5) asi reescribo la matriz como

\tilde{G}(s)=\dfrac{1}{(s+1)(s+5)}\begin{bmatrix}  s+5 & -(s+1)\\  s+5 & -7.5(s+1)  \end{bmatrix}

\tilde{G}(s)=\dfrac{1}{s^2+6s+5}\begin{bmatrix}  s+5 & -(s+1)\\  s+5 & -7.5(s+1)  \end{bmatrix}

Donde N(s) es:

N(s)=\begin{bmatrix}  s+5 & -(s+1)\\  s+5 & -7.5(s+1)  \end{bmatrix}

La matriz N(s) se puede expresar como:

N(s)=N_1s+N_2

N(s)=\begin{bmatrix}  1 & -1\\  1 & -7.5  \end{bmatrix}s+\begin{bmatrix}  5 & -1\\  5 & -7.5  \end{bmatrix}
Expresando el sistema en la forma compañera

\dot{x}=\begin{bmatrix}  -6I_2 & -5I_2\\  I_2 & 0_2  \end{bmatrix}x+\begin{bmatrix}I_2\\0_2\end{bmatrix}u

y=\begin{bmatrix}N_1&N_2\end{bmatrix}x+\begin{bmatrix}0 & 0\\0 & 1\end{bmatrix}u

Expresado con todos los terminos expandidos seria representado como:

\dot{x}=\begin{bmatrix}  -6 &0& -5&0\\  0& -6& 0&-5\\  1&0 & 0&0\\  0&1&0&0  \end{bmatrix}x+\begin{bmatrix}1&0\\0&1\\0&0\\0&0\end{bmatrix}u

y=\begin{bmatrix}1 & -1&5 & -1\\1 & -7.5&5 & -7.5\end{bmatrix}x+\begin{bmatrix}0 & 0\\0 & 1\end{bmatrix}u

 

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