Sistemas Dinámicos Lineales

Este es el primer capitulo que vamos a abordar sobre sistemas dinámicos lineales, vamos a entender un poco sobre el concepto, y sobre su representación, para posteriormente trabajar dichos sistemas en teoría de control.

Espacio de Estado

Este método tiene como objetivo la descripción de un sistema en función de ecuaciones en diferencias o diferenciales de primer orden, las cuales pueden combinarse para formar una ecuación matricial en diferencias o una diferencial de primer orden.
El diseño de sistemas en el espacio de estado se puede realizar con todo tipo de entradas, permite incluir condiciones iniciales y analizar los sistemas de control con respecto a índices de desempeño dados.

Representación en Variables de Estado

La representación por variables de estado de un sistema, puede ser obtenida directamente de las ecuaciones diferenciales (O ecuaciones en diferencia para el caso discreto)

Para ilustrar mejor esto, considere la siguiente ecuación diferencial

\dfrac{d^2y}{dt}+4 \dfrac{dy}{dt} +3y= \dfrac{du}{dt} +2u

Se tiene que representar toda ecuación diferencial en un sistema de ecuaciones diferenciales de primer orden, como aca tenemos una EDO de segundo orden, podremos dividirlo en dos EDOs de primer orden. Adicionalmente en este problema podemos notar que tenemos una derivada en la salida.

La mejor forma de solucionar este problema, es creando una variable auxiliar v(t) y reescribir el problema en función de esta nueva variable. Donde las variables de estado serán:

x_1=v

x_2=\dfrac{dv}{dt}

Reescribiendo las ecuaciones diferenciales

y= \dfrac{dv}{dt} +2v

u=\dfrac{d^2v}{dt}+4 \dfrac{dv}{dt} +3v

La representación en espacio de estados viene dado por:

\begin{bmatrix} x_1\\x_2 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 0&1\\-3&-4 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x_1\\x_2 \end{bmatrix}+\begin{bmatrix} 0\\1 \end{bmatrix}u(t)\\\\ y(t)=\begin{bmatrix} 2&1 \end{bmatrix}x(t)

Para entender mejor como funciona la variable auxiliar, podemos verlo a partir de la transformada de Laplace, para eso el sistema de ecuaciones diferenciales en transformada de laplace viene dado por:

\dfrac{y}{u}=\dfrac{s+2}{s^2+4s+3}

Agregando la variable auxiliar v(s)

\dfrac{y}{u} \dfrac{v}{v} =\dfrac{s+2}{s^2+4s+3}

donde separando tenemos

y =v(s+2)

\dfrac{v}{u} =\dfrac{1}{s^2+4s+3} \rightarrow u=v(s^2+4s+3 )

Aplicando transformada inversa de Laplace, vamos a llegar a la misma representación en ecuaciones diferenciales en base a la variable auxiliar v(t) que vimos anteriormente, donde se mantiene la relación existente entre la variable de salida y(t) y la variable de entrada u(t).

Aplicando transformada inversa de Laplace tenemos:

y= \dfrac{dv}{dt} +2v

u=\dfrac{d^2v}{dt}+4 \dfrac{dv}{dt} +3v

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Esta entrada tiene 2 comentarios

  1. Jimmy

    14 Ene 2019 Responder

    Excelentes vídeos, sigue adelante

    1. Sergio C

      14 Ene 2019 Responder

      Gracias Jimmy

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