1. Introducción Espacio de Estados

1. Introducción Espacio de Estados

1. Introducción Espacio de Estados
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Espacio de Estados:

  • Es una forma de representar un sistema dinámico en función de n ecuaciones en diferencia
  • Variables de Estado: son el conjunto más pequeño de variables que determina el comportamiento dinámico de un sistema.

Si tuviéramos un sistema representado por el siguiente bloque:

Variables de Estado

La entrada del sistema puede ser un conjunto de señales que comandan el comportamiento del sistema, en cuanto la salida puede estar conformado por un conjunto de respuestas a las entradas. Asi internamente, podriamos decir que el sistema esta conformado por unas variables de estado, la cual podriamos representarla como:

Variables de Estado

En el enfoque clásico del control, los sistemas dinámicos son modelados por un sistema entrada-salida (Funciones de Transferencia) donde únicamente se dispone de una variable la cual será controlada.

Pero en muchas situaciones, además de la salida del sistema, es posible contar con variables adicionales para realizar el control.

Por ejemplo, si tuviésemos dos tanques en cascada, con los que se muestran en figura en los que se quisiera controlar el nivel del segundo tanque (h2) con el flujo de entrada al primero (qin), en el enfoque clásico solo se utilizaría, como información para el control, el nivel del segundo tanque, pero, ¿por que no usar la información sobre el nivel del primer tanque que también es fácilmente medible?.

Tanques en cascada

En el control clásico solo usaría la función de transferencia de los tanques para controlar la altura 2, la cual vendría dada por:

G(s)=\dfrac{H_2(s)}{Q_{in}(s)}=\dfrac{K_2}{A_1(s+K_3)(s+K_1)}

 

las constantes A_1,K_i, i = 1; 2; 3, están asociadas a las áreas de los tanques y a las aperturas (orificios) de salida del liquido.

 

De igual forma, al sistema de tanques los podemos representar, basandonos en las ecuaciones diferenciales de primer orden que relacionan flujo y nivel en cada tanque, de la forma:

 

\dfrac{dh_1(t)}{dt}=\dfrac{1}{A_1}q_{in}(t)-K_1h_1(t)

 

\dfrac{dh_2(t)}{dt}=K_2h_1(t)-K_3h_2(t)

 

Definimos los estados:

x_1(t)=h_1(t)

 

\dot{x}_1(t)=\dfrac{dh_1(t)}{dt}

 

x_2(t)=h_2(t)

 

\dot{x}_2(t)=\dfrac{dh_2(t)}{dt}

 

u(t)=q_{in}(t)

Reemplazamos en las ecuaciones diferenciales
\dot{x}_1(t)=\dfrac{1}{A_1}u(t)-K_1x_1(t)

 

\dot{x}_2(t)=K_2x_1(t)-K_3x_2(t)

 

La representación matricial de las ecuaciones de estado es:

\begin{bmatrix}  \dot{x}_1\\  \dot{x}_2  \end{bmatrix} =  \begin{bmatrix}  -K_1 & 0\\  K_2& -K_3  \end{bmatrix}  \begin{bmatrix}  x_1\\  x_2  \end{bmatrix}+  \begin{bmatrix}  \dfrac{1}{A_1}\\  0  \end{bmatrix}  u

 

y=\begin{bmatrix}  0 & 1  \end{bmatrix}  \begin{bmatrix}  x_1\\  x_2  \end{bmatrix}

 

Simplificadamente se representa por:

 

\dot{x}(t)=Ax(t)+Bu(t)

 

y(t)=Cx(t)+Du(t)

 

Discreto:

x(k+1)=Ax(k)+Bu(k)

 

y(k)=Cx(k)+Du(k)

 

Representación del espacio de estados

Espacio de Estados

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