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Control Automático Educación

Ziegler Nichols – Sintonia de Control PID

Hola controleros y controleras sean bienvenidos una vez más a otra entrada de la página de Control Automático Educación, donde vamos a continuar con nuestro curso de Control Realimentado. Hoy vamos a aprender cómo utilizar las reglas clásicas de sintonía del controlador PID propuestas por Ziegler-Nichols, veremos sus ventajas, desventajas y en que situaciones es más conveniente utilizarlas. Todo muy bien explicado y hasta con videos, ejemplos y ejercicios resueltos.

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Control PID

PID ISA

Los controladores PID (proporcional, integral y derivativo) son ampliamente utilizados en la industria como sistemas de control, y como ya lo hemos visto en nuestro curso, la función de transferencia del PID viene dado por:

G_c(s)=K_p\left(1+\dfrac{1}{\tau_is}+\tau_ds\right)

donde K_p es la ganancia proporcional, \tau_i el tiempo integral y \tau_d el tiempo derivativo.

Si el controlador recibe la señal de error e(t) como entrada (ver figura arriba), la salida del controlador u(t) es dada por:

u(t)=K_p\left[e(t)+\dfrac{1}{\tau_i}\int_{0}^{t}e(t)dt+\tau_d\dfrac{de(t)}{dt}\right]

Donde la ecuación anterior la podemos reescribir en términos de ganancias de la siguiente forma:

G_c(s)=K_p+\dfrac{K_i}{s}+K_ds

donde K_p es la ganancia proporcional, K_i la ganancia integral y K_d la ganancia derivativa.

Sintonía de Controladores PID usando Ziegler-Nichols

Video en EspañolVideo em Português

Existen dos reglas de sintonía propuesta por los ingenieros Ziegler y Nichols en 1942 para poder determinar los parámetros del controlador PID tomando como base la respuesta transitoria del sistema.

Por lo tanto, este tipo de sintonía es especialmente útil, principalmente cuando NO SE CONOCE EL MODELO MATEMÁTICO DE LA PLANTA. Obviamente también puede ser aplicado si el modelo de la planta es conocido, sin embargo, podemos coincidir que existen estrategias más interesantes cuando el modelo es conocido.

Los dos métodos de Ziegler-Nichols apuntan a obtener un sobre impulso máximo del 25% ante una entrada del tipo escalón.

Se cree que en aquella época Ziegler, que era del departamento de ventas, necesitaba un procedimiento de ajuste para los PID para aumentar las ventas del controlador, fue así como comenzó a trabajar con Nichols en el departamento de investigación, realizando centenas de pruebas sobre sistemas con las más variadas dinámicas.

Ziegler y Nichols – Método 1 (Lazo Abierto)

Este primer método de ajuste se realiza con el sistema en lazo abierto, donde el controlador se coloca en modo manual para poder generar una variación del tipo escalón en la propia salida del controlador PID.

Control PID en Manual

Esto quiere decir que la planta, en su entrada recibirá una entrada del tipo escalón (generalmente escalón unitario) y a partir de la respuesta de salida se obtienen los parámetros del PID.

Sin embargo, para poder usar este método es necesario que el sistema tenga un comportamiento del tipo sigmoidal o forma de S, esto quiere decir que la respuesta no puede tener sobre impulsos en lazo abierto, ni poseer una dinámica integradora que crezca constantemente con el tiempo.

Forma S Ziegler Nichols

La curva S esta definida por 2 constantes. Por el retardo en el tiempo L y por la constante de tiempo \tau, es decir viene dado por un sistema de primer orden con retardo, cuya función de transferencia es:

G_p(s)=\dfrac{C(s)}{U(s)}=\dfrac{Ke^{-Ls}}{\tau s+1}

Por lo tanto podemos obtener los parámetros del sistema de primer orden de la siguiente forma: El retardo y la constante de tiempo se obtiene dibujando la tangente en el punto de inflexión de la curva sigmoidal y determinar las intersecciones de la línea tangente con el eje del tiempo y el eje donde c(t)=K como se muestra en la siguiente figura:

Ziegler Nichols

De esa forma Ziegler y Nichols sugirieron establecer los valores de K_p, \tau_i y \tau_d de acuerdo con la siguiente tabla:

Controlador K_p \tau_i \tau_d
P \dfrac{\tau}{KL} \infty0
PI 0.9\dfrac{\tau}{KL} \dfrac{L}{0.3}0
PID 1.2\dfrac{\tau}{KL} 2L 0.5L

Si reemplazamos estos valores en la ecuación del PID

G_c(s)=K_p\left(1+\dfrac{1}{\tau_is}+\tau_ds\right)G_c(s)=1.2\dfrac{\tau}{L}\left(1+\dfrac{1}{2Ls}+0.5Ls\right)G_c(s)=0.6\tau\dfrac{\left(s+\dfrac{1}{L}\right)^2}{s}

Podemos notar que el controlador está colocando un polo en el origen y dos ceros en s=-1/L

NOTA: Muchas veces para mejorar la respuesta del sistema, deberemos disminuir la ganancia del controlador. Una practica común es dividir K_p/2, para obtener una respuesta más suave.

Cuidados del Metodo 1

  • Según el autor Corripio (1990) las ecuaciones de sintonia de Ziegler y Nichols es buena cuando el factor de incontrolabilidad (L/\tau) está entre 0.1 y 0.3, o sea para procesos que no tengan un retardo dominante. Sin embargo algunos autores admiten que puede subir hasta 1.4
  • Esta sintonia fue creada para controles analógicos y no para controles digitales. Por lo tanto si el periodo de muestreo (T_s) del sistema es grande, las formulas anteriormente vistas pueden generar un declino mayor al 25% tendiendo para la inestabilidad. Una opción es aumentar el retardo a un valor igual a la mitad del periodo de muestreo L'=L+T_s/2 antes de utilizar los valores de la tabla.

Ziegler y Nichols – Método 2 (Lazo Cerrado)

Este segundo método de ajuste debe realizarse con el sistema en lazo cerrado donde inicialmente colocaremos la parcela integral y derivativa en cero y únicamente comenzaremos a aumentar experimentalmente la ganancia proporcional del controlador paulatinamente, hasta conseguir en la salida (variable medida por los sensores) una respuesta oscilatoria con una amplitud constante.

Ganancia Limite Ziegler y Nichols

Si NO se encuentra ninguna ganancia que consiga hacer oscilar el sistema, entonces este segundo Método de Ziegler y Nichols NO puede ser aplicado.

Una vez se consigue la respuesta oscilatoria con una amplitud constante, nos indica que dicha ganancia que consiguió esa respuesta será nuestra Ganancia Limite, Ganancia Ultima o Ganancia Crítica: K_u, y a partir del gráfico podemos calcular el Periodo Crítico: P_u que puede ser calculado también a través de la frecuencia critica como: P_u=2\pi/\omega_u

Con estos dos parámetros procedemos a encontrar las constantes de nuestro controlador siguiendo las siguientes tablas:

Controlador K_p \tau_i \tau_d
P 0.5K_u \infty0
PI  0.45K_u \dfrac{1}{1.2}P_u0
PID  0.6K_u 0.5P_u 0.125P_u

Si reemplazamos estos valores en la ecuación del PID

G_c(s)=K_p\left(1+\dfrac{1}{\tau_is}+\tau_ds\right)G_c(s)=0.6K_u\left(1+\dfrac{1}{0.5P_us}+0.125P_us\right)G_c(s)=0.075K_u P_u\dfrac{\left(s+\dfrac{4}{P_u}\right)^2}{s}

Podemos notar que el controlador está colocando un polo en el origen y dos ceros en s=-4/P_u

Sobre el Método 2

  1. Es claro que este tipo de sintonía tiene su mayor ventaja principalmente cuando no conocemos el modelo matemático de la planta que deseamos controlar, y por eso simplemente incrementando la ganancia podremos encontrar la ganancia y periodo críticos.
  2. Cuando el sistema llega a la ganancia crítica o ganancia límite, indica que esta al borde de la inestabilidad. Gráficamente en el diagrama de polos y ceros, nos indica que los polos del sistema de lazo cerrado se encuentran sobre el eje imaginario, y un pequeño incremento en la ganancia provocará la inestabilidad.
  3. Para que el sistema oscile, deberá tener un orden igual o superior a 3, o por lo menos deberá tener un retardo de tiempo, que hará que los polos crucen por el eje imaginario.

Con estos valores de Ku y Pu en la tabla de Ziegler y Nichols se usa como criterio de sintonia de desempeño una razón de declino igual a ¼ (igual a C/A de la siguiente figura). Sin embargo, a pesar de esta razón de declino ser considerada la mas óptima los autores alertan que no siempre debe ser usado esta sintonia, como por ejemplo en el control de nivel de un tanque pulmón.

Podemos notar que, en la práctica, colocar el sistema en forma oscilatoria puede provocar que llevemos nuestro sistema a variar dentro de una zona de operación no segura y no existen garantías de que la variable controlada estará en todo momento dentro de un rango con limites específicos. Por lo tanto, esta sintonia no es muy utilizada en plantas industriales.

Respuesta de un Sistema en Lazo Cerrado

Generalmente para plantas con dinámicas complicadas, pero sin términos integradores, las sintonias de Ziegler y Nichols pueden ser aplicadas. Sin embargo, si la planta tiene un polo integrador, no se pueden aplicar estas sintonias. Una forma rápida de poder entender esto, es como vimos al comienzo, en el controlador desactivamos las acciones integral y derivativa para solo variar la proporcional hasta alcanzar la ganancia limite. Solo que en un sistema con un polo integrador, implica como si la parcela integral del lazo de control no se pudiera desactivar, y por lo tanto, no vamos a alcanzar esas oscilaciones.

Observaciones Generales de la sintonia de Z&N

  • Se observa que la ganancia del controlador (K_p) es inversamente proporcional a la ganancia del sistema (K)
  • La ganancia del controlador (K_p) es inversamente proporcional a la razón entre el tiempo muerto y la constante de tiempo (L/\tau) conocida como el factor de incontrolabilidad. Cuanto más grande sea esta razón más difícil será controlar el sistema y más pequeño tendrá que ser la ganancia del controlador.
  • El tiempo integral del controlador (\tau_i) está relacionado con la dinámica del proceso (L), o sea entre más lento (mayor retardo) mayor deberá ser el tiempo integral. Esto quiere decir que el controlador deberá esperar más tiempo antes de repetir la acción proporcional.
  • El tiempo derivativo del controlador (\tau_d) también está relacionado con la dinámica del proceso (L), o sea entre más lento (mayor retardo) mayor deberá ser el tiempo derivativo. Ziegler y Nichols siempre utilizaron una razón de ¼ entre \tau_d/\tau_i, por lo tanto \tau_i=4\tau_d.

Consideraciones Finales con Ziegler y Nichols

La sintonía con Ziegler y Nichols sirve como una referencia inicial, sin embargo esta sintonía puede inestabilizar algunos lazos de control por diversas razones

  • Errores de modelado
  • Interacciones entre los lazos de control en sistemas multivariables (MIMO)
  • Por el motivo del PID actualmente ser usado como un control digital y no uno analógico.
  • Por el criterio utilizado por Z&N de usar una razón de declino de ¼ (25%), dado que muchas veces es poco robusto, dando una holgura muy pequeña del limite de estabilidad, con lo que cualquier no linealidad del proceso puede inestabilizarlo.
  • De forma práctica, se sugiere disminuir las ganancias propuestas por los autores e irlas aumentando gradualmente en función del comportamiento del sistema. Recuerda que estas formulas no garantizan un desempeño especifico ni la estabilidad de lazo cerrado.

Ejemplos de Sintonia de PID por Ziegler y Nichols

Vamos a solucionar algunos sistemas utilizando ambos métodos de sintonia PID con Ziegler-Nichols y veremos algunos conceptos personales que tengo con relación a este método.

Metodo 1 (Lazo Abierto)

Considere que tenemos un sistema el cual no sabemos su modelo matemático, sin embargo presenta un comportamiento en forma de S de la siguiente forma:

Ziegler Nichols Metodo 1

Trazando la tangente en el punto de inflexión podemos encontrar los parametros de una función de transferencia de primer orden con retardo.

ZieglerNichols Lazo Abierto
G_p=\dfrac{2e^{-2s}}{9s+1}

El factor de incontrolabilidad para este sistema esta dentro de la zona controlable (0.1 a 0.3)

\dfrac{L}{\tau}=\dfrac{2}{9}=0.222

Aplicando las ecuaciones de la tabla del método 1, tenemos los siguientes parametros para los controles:

Control proporcional

K_p=\dfrac{\tau}{K\ L}=\dfrac{9}{(2)(2)}=2.25

Control Integral

K_p=0.9\dfrac{\tau}{K\ L}=0.9\dfrac{9}{(2)(0)}=2.025\tau_i=\dfrac{L}{0.3}=\dfrac{2}{0.3}=6.66

Control Derivativo

K_p=1.2\dfrac{\tau}{K\ L}=1.2\dfrac{9}{(2)(2)}=2.7\tau_i=2L=2(2)=4\tau_d=0.5L=0.5(2)=1

La respuesta del control en los tres casos es la siguiente

Control PID Ziegler Nichols Metodo 1

Mi opinion del Método

Este es un método clasico, donde como ya lo hablé la ganancia del controlador tiende a ser elevada. Si ustedes dividen la ganancia del control por 2, van a ver una mejora significativa en los controladores P y PI (Queda como tarea para ustedes).

Podemos ver que con la tangente, se intenta identificar el sistema en una función de transferencia de primer orden con retardo, sin embargo en mi opinion, los parametros no son los más adecuados, principalmente cuando comparamos ambas graficas:

Se puede notar que ambas graficas no son tan próximas en el trasiente. Además por ser una respuesta en forma de S, es sencillo determinar los parametros del sistema directamente de la grafica. Aplicando las tecnicas de identificación de la curva de reacción, o simplemente en una inspección gráfica, ese sistema estabiliza en un tiempo=20 y podria aproximar el retardo en 3. Sabiendo que la constante de tiempo es tomar el tiempo de estabilización y dividirlo por 4, con una simple inspección consigo determinar que el sistema tiene la siguiente función de transferencia:

G_p=\dfrac{2e^{-3s}}{5s+1}
Metodo Grafico

Podemos ver como mejoramos la aproximación del sistema notoriamente. Si aplicamos las ecuaciones de la tabla del metodo 1 con este nuevo sistema y lo comparamos con el sistema encontrado con el punto de inflexión, veremos una mejora en el control. Comparando el PID tenemos.

PID por Ziegler Nichols

Ejemplo Método 2 de Ziegler – Nichols

Suponga que un proceso industrial se encuentra representado por el siguiente diagrama de bloques y obtenga la sintonia de Ziegler y Nichols usando el Método 2 y un software de Simulación para verificar los resultados.

Ejemplo Ziegler Nichols Ganancia Limite

Aumentando la ganancia se obtiene que:

K_u=10P_u=1.9

Aplicando las ecuaciones de la tabla del método 1, tenemos los siguientes parametros para los controles:

Control proporcional

K_p=0.5(10)=5

Control Integral

K_p=0.45(10)=4.5\tau_i=1.9/1.2= 1.5833

Control Derivativo

K_p=0.6(10)=6\tau_i=1.9/2= 0.95\tau_d=1.9/8=0.2375

Forma analítica

Cuando tenemos el modelo del sistema, no es necesario hacer experimentos para encontrar la ganancia limite, pues podemos valernos del modelo para ese objetivo.

Función de transferencia de lazo cerrado:

G_{LC}=\dfrac{CVPS}{1+ CVPS }G_{LC}=\dfrac{1}{1/6s^3+s^2+11/6s+1+K_c }

Ecuación característica

1/6s^3+s^2+11/6s+1+K_c=0

Dominio de la frecuencia s=(j\omega)

1/6(j\omega)^3+(j\omega)^2+11/6(j\omega)+1+K_c=0

donde

j=\sqrt{-1}; j^2=-1; j^3=j^2j=-j

de esa forma, se tiene que:

-1/6j\omega^3-\omega^2+11/6j\omega+1+K_c=0j\left( 11/6\omega-1/6\omega^3\right)+1+k_c-\omega^2=0

Encontrando las raíces, igualando a cero la parte real y la parte imaginaria.

Parte imaginaria:

\left( 11/6-1/6\omega^2\right) \omega=0,

Soluciones:

\omega=0\omega=\sqrt{11}=\pm 3.316

Parte real

Si\ \omega=0 ,\ entonces\ K_c=-1Si\ \omega=3.316,\ entonces\ k_c=10

Periodo

Pu=2\pi/\omega = 1.8945

Descargar Diagramas de Simulink y Códigos en MATLAB

Método 1

Archivo de la sintonia Metodo 1: click aqui

 

 

Método 2

Archivos del método 2 click aqui.

 

 

Eso es todo por la entrada del dia de hoy, espero les haya gustado y hayan aprendido algo nuevo. Si te ha servido el contenido de esta entrada, de los videos y los códigos de implementación y deseas apoyar mi trabajo invitandome a un café super barato, puedes hacerlo en el siguiente link:

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Que esten muy bien, nos vemos en la siguiente entrada.

Bibliografia

  • Ingeniería de Control Moderna. Katsuhiko Ogata. Editorial Prentice Hall.
  • Controles Típicos de Equipamentos e Processos Industriais. Eng. Mario Cesar M. Massa de Campos , Eng. Herbert Campos Gonçalves Teixeira
  • Tuning of Industrial Control Systems by Armando B. Corripio (1990)
Summary
Sintonía de Control PID usando Ziegler - Nichols
Article Name
Sintonía de Control PID usando Ziegler - Nichols
Description
Ziegler y Nichols fueron dos ingenieros que elaboraron la primera metodología inovadora objetiva y muy simple para la sintonia de controladores PID. Su trabajo tuvo un papel determinante en la diseminación de los algorítmos de control en la industria. Sus dos métodos mas populares permiten obtener los parametros del control PID sin necesidad de conocer el modelo del proceso.
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Comentarios (9)

Hola Sergio! Puedes colocar los archivos en Simulink para estos métodos?
Te felicito por tu excelente trabajo!!!

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Moisés, ai en la pagina están los Archivos de SIMULINK para descargarlos. Siempre han estado aí. En la parte del código donde dice click aqui. Saludos

Responder

¿Hace falta una libreria para trabajar con los archivos .m?
No los puedo correr.

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Talvez algo que tenga que ver con Latex, porque me aparecen errores a partir de la linea 56(
“A quoted character vector is unterminated”)

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Volvi a montar el código. A veces esos códigos generan problemas aca el sitio web y se desorganizan. Gracias por informar. Saludos

Responder

Como hago en matlab para encontrar el punto de inflexión, ya que hacerlo al ojo es muy difícil y este controlador necesita precisión, gracias.

Responder

Hola Felipe, coloqué el código en Matlab que usé para solucionar ese ejemplo, en el código encuentro el punto de inflexión a través de la derivada de la FT. Saludos

Responder

EXCELENTES TUS VIDEOS!!!! el método 2 de ziegler-nichols, dónde está?? del lugar de las raices no tenes ninguno? y de nyquist? abrazo gigante!!!

Responder

Todavía no he grabado el método 2, y todos los temas que comentas también los iré montando poco a poco. Como me gustaría tener tiempo completo para el canal, pero lastimosamente no es así. Lento pero seguro vamos colocando contenido. un abrazo Barby!!

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