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Control Realimentado

Sistemas de Tercer Orden

Si estas estudiando ingeniería de control o estas viendo una disciplina sobre sistemas de control, será fundamental entender sobre los sistemas, en este caso vamos a ver como resolver SISTEMAS DE TERCER ORDEN, cuales son sus parámetros y los efectos que causan en la respuesta transitoria y en que sistemas reales puedes aplicarlos.

Para entender todo el concepto matemático mostrado en esta pagina, te hará falta 👉 descargar la tabla de la transformada de Laplace.

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Sistemas de Tercer Orden Control

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En la ingeniería de control los sistemas de tercer orden comúnmente aparecen en los lazos cerrados de control, especialmente cuando proyectamos controladores PI o PID, por eso es necesario tener nociones de como poder analizar este tipo de sistemas.

Que es un sistema de Tercer Orden?

 Los sistemas de tercer orden tienen tres polos y están representados tipicamente por ecuaciones diferenciales ordinarias de tercer orden. Considerando el caso de las ecuaciones diferenciales lineales de tercer orden, con coeficientes constantes y condición inicial cero, tenemos:

a_3\dfrac{d^3y(t)}{dt^3}+a_2\dfrac{d^2y(t)}{dt^2}+a_1\dfrac{dy(t)}{dt}+a_0y(t)=b_0u(t),\ \ con:\ \
y(0)=0;\ \left.\begin{matrix} \dfrac{dy(t)}{dt} \end{matrix}\right|_{t=0} =0;\ \left.\begin{matrix} \dfrac{d^2y(t)}{dt^2} \end{matrix}\right|_{t=0} =0

En este caso, si notas el orden de la máxima derivada, verás que es 3, lo que nos indica que es un sistema de tercer orden.

Ejemplos de Sistemas de Tercer Orden

 Algunos ejemplos de sistemas de tercer orden pueden ser:

  1. Modelado del viento de un huracán.
  2. Modelado de un vehículo todo terreno
  3. El ángulo de un motor DC

Función de Transferencia de un Sistema de Tercer Orden

En nuestro contexto hablaremos un poco sobre la forma clásica de un sistema de tercer orden el cual puede ser encontrado muy comúnmente en los sistemas de lazo cerrado de controladores clásicos como el control PID.

Es importante destacar que un sistema de tercer orden puede aparecer con:

  1. Dos polos complejos conjugados y un polo real.
  2. Tres polos reales y distintos
  3. Tres polos reales iguales
  4. Pueden aparecer 0, 1, 2 o hasta 3 ceros en el sistema acompañando los polos citados anteriormente.

En este caso, solo vamos analizar el primer caso y ustedes podrán analizar los demás casos.

Respuesta Transitória

La función de transferencia del sistema de tercer orden es:

\dfrac{Y(s)}{U(s)}=\dfrac{\omega_n^2p}{(s^2+2\zeta\omega_ns+\omega_n^2)(s+p)},\ \ 0<\zeta<1

 Si definimos la entrada del sistema (para efectos de análisis) como un escalón unitário

U(s)=\dfrac{1}{s}

Para encontrar la respuesta transitória del sistema resolvemos usando las fracciones parciales que ya hemos explicado en detalle en este sitio web.

Y(s)=\dfrac{\omega_n^2p}{s(s^2+2\zeta\omega_ns+\omega_n^2)(s+p)}

expandiendo en fracciones parciales

Y(s)=\dfrac{A}{s}+\dfrac{Bs+C}{s^2+2\zeta\omega_ns+\omega_n^2}+\dfrac{D}{s+p}

El término del medio, corresponde a un sistema de segundo orden cuyas raíces son:

s_{1,2}=-\zeta\omega_n\pm j\omega_d

donde

\omega_d=\omega_n\sqrt{1-\zeta^2}

En la entrada de las fracciones parciales vista en este sitio web, vimos que la forma más fácil de resolver ese término del medio es representándolo de la siguiente forma para que aparezcan los senos y cosenos de la transformada de Laplace.

Y(s)=B\left [ \dfrac{s+\alpha}{(s+\alpha)^2+\beta^2} \right ]+\dfrac{B\alpha+C}{\beta}\left[\dfrac{\beta}{(s+\alpha)^2+\beta^2}\right]

donde las raíces son:

s_{1,2}=-\alpha\pm j\beta

De esa forma la expansion en fracciones parciales viene dado por:

Y(s)=\dfrac{A}{s}-B\left [ \dfrac{s+\zeta\omega_n}{(s+\zeta\omega_n)^2+\omega_d^2} \right ]-\dfrac{B\zeta\omega_n+C}{\omega_d}\left[\dfrac{\omega_d}{(s+\zeta\omega_n)^2+\omega_d^2}\right]+\dfrac{D}{s+p}

Se procede a solucionar el sistema. En este caso yo obtuve la siguiente resolución la cual puedes descargar a continuación, sin embargo, vamos a usar la resolución del libro de Ogata para continuar con nuestro análisis, la cual es una resolución equivalente.

Descargar mi resolución

Solución del libro de Ogata:

y(t)=1-\dfrac{e^{-\zeta\omega_nt}}{\beta\zeta^2(\beta-2)+1}\left[\beta\zeta^2(\beta-2)cos(\sqrt{1-\zeta^2}\omega_nt)+\dfrac{\beta\zeta[\zeta^2(\beta-2)+1]}{\sqrt{1-\zeta^2}}sin(\sqrt{1-\zeta^2}\omega_nt)\right]-\dfrac{e^{-pt}}{\beta\zeta^2(\beta-2)+1}

Donde el factor de proporción entre el polo real y los dos polos complejos conjugados viene dado por:

\beta=\dfrac{p}{\zeta\omega_n}

El efecto del polo real s=-p ante una entrada escalón unitario es la de reducir el máximo sobreimpulso y incrementar el tiempo de acomodación.

Si el polo real se localiza a la derecha de los polos complejos conjugados, la respuesta tiende a ser lenta.

Caso contrario el sistema tenderá a tener un comportamiento similar a un sistema subamortiguado.

Respuesta del Sistema de Tercer Orden

Claramente la respuesta del sistema viene dado por el factor de proporcionalidad el cual indica la distancia entre el polo real con relación a los dos polos complejos conjugados.

A continuación vemos la ubicación de los polos con distintos valores de la constante de proporcionalidad y la respuesta del sistema de tercer orden:

Respuesta del Sistema de Tercer Orden
Respuesta del Sistema de Tercer Orden

Códigos

A continuación puedes descargar el código que simula el comportamiento dinámico del sistema de tercer orden aplicado a los sistemas de control usando MATLAB o PYTHON.

Recuerda que para poder descargar el código, solo debes compartir el contenido de este post para que más personas tengan acceso a esta información.

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DESCARGAR CÓDIGOS EN MATLAB + PYTHON

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Eso es todo por la entrada del dia de hoy, espero les haya gustado y hayan aprendido algo nuevo. Si te ha servido el contenido de esta entrada, de los videos y los códigos de implementación y deseas apoyar mi trabajo invitandome a un café super barato, puedes hacerlo en el siguiente link:

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Que esten muy bien, nos vemos en la siguiente entrada.

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