GPC con Perturbaciones

GPC con Perturbaciones
CALIFICA EL POST

En esta entrada vamos a aprender como involucrar el modelo de perturbaciones conocidas en la estructura del GPC y con esto podriamos pensar en realizar con control con acción FeedForward.

 

Para el caso de un control convencional tenemos la siguiente representación:

Control Convencional

Si tengo un sensor que mida la entrada q, podría hacer un controlador para ayudar al control principal para rechazar esa perturbación. En otras palabras podría realizar un control FeedForward.

Control FeedForward

El problema de esta abordaje, es que muchas veces ese bloque FeedForwrd muchas veces no es realizable, por ejemplo si el sistema G fuera de fase no mínima, el sistema se volvería inestable, o si tuviera más polos en G que en Gq, va a quedar con más ceros y por ende queda No realizable. Pero en términos generales, si yo consigo llevar mi sistema a esta forma, voy a poder rechazar mis perturbaciones de una mejor forma

 

En el control GPC, tendremos que modificar el modelo CARIMA para poder incluir el efecto de la perturbación. Esto quiere decir que básicamente el control GPC no cambia, solo que ahora con ayuda de mi modelo, el controlador tendrá que efectuar las predicciones teniendo en consideración la presencia de una perturbación medible dentro del lazo de control.

 

Ay(k)=Bu(k-1)+\dfrac{C}{\Delta}\varepsilon(k)+Dq(k)

 

Veamos un Ejemplo con dos funciones de transferencia, una para la perturbación y otra para la planta:

 

G_q=\dfrac{1-0.9z^{-1}}{1-0.8z^{-1}}

 

 

G=\dfrac{0.5z^{-1}}{1-0.5z^{-1}}

Vemos que como en este caso, los denominadores NO son iguales, debemos obtener un polinomio común para que sea nuestro polinomio A, asi los polinomios A,B y C quedan como:

A=(1-0.5z^{-1})(1-0.8z^{-1})=1-1.3z^{-1}+0.4z^{-2}

 

 

B=0.5(1-0.8z^{-1})=0.5-0.4z^{-1}

 

 

D=(1-0.5z^{-1})(1-0.9z^{-1})=1-1.4z^{-1}+0.45z^{-2}

 

 

Multiplicando el modelo CARIMA por E_j las predicciones pasan a ser>

 

 

E_j\tilde{A}y(k+1)=E_jB\Delta u(k-1+j)+E_jD\Delta q(k+j)+E_jC\varepsilon(k+j)

 

 

[1-z^{-j}F_j]y(k+1)=E_jB\Delta u(k-1+j)+E_jD\Delta q(k+j)+E_jC\varepsilon(k+j)

 

 

\hat{y}(k+1|k)=F_jy(k)+E_jB\Delta u(k-1+j)+E_jD\Delta q(k+j)

 

 

El término E_jD\Delta q(k+j) puede contener información de perturbaciones pasadas y de perturbaciones futuras. Veamos que la perturbación es algo conocido, si bien puede que yo no conozca las perturbaciones futuras, eventualmente voy a terminar conociéndolas cuando entren al sistema, así entonces yo colocaría las perturbaciones futuras igual a cero (En el caso de no conocerlas) y voy a tener valores de perturbación pasada. Osea que las perturbaciones van a pertenecer únicamente a la respuesta FORZADA del sistema.

 

Sabemos que por definición la respuesta forzada es la respuesta provocada por una variación de la señal de control. Osea que las perturbaciones NO van a provocar nada en la variación de control, por eso es respuesta libre.

 

 

E_jD\Delta q(k+j)=L\Delta q(k+j)+F_q

 

 

Donde

 

 

L\Delta q(k+j) son los terminos del futuro (Si no se conocen entonces se coloca \Delta q(k+j)=0)

 

F_q son los terminos del pasado.

 

L es igual que el G solo que con los coeficientes de la perturbación con una excitación del tipo escalón

 

Sabemos que las predicciones viene dado por:

Y=G\Delta u +\tilde{f}
\tilde{f}=f+L\Delta q(k+j)+F_q

 

f es la respuesta libre normal del MPC

 

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Ejemplo

Proyectar un control predictivo GPC teniendo en consideración la perturbación medible del sistema. La función de transferencia del proceso, cuanto de la perturbación se describen a contrinuación:

 

G_p=\dfrac{0.2713z^{-3}}{1- 0.8351z^{-1}}

 

G_q=\dfrac{0.05z^{-3}}{1- 0.91z^{-1}}

 

Código de implementación:

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