Modelado de Sistemas Traslacionales

El modelado de sistemas traslacionales es una herramienta esencial para describir, analizar y predecir el comportamiento de mecanismos y máquinas cuyo movimiento ocurre a lo largo de una trayectoria recta. Este tipo de movimiento es fundamental en sistemas como actuadores lineales, pistones, transportadores, robots móviles, sistemas de suspensión y plataformas de automatización industrial.

En ingeniería, comprender estos modelos es clave para:

• Diseñar controladores que garanticen precisión y estabilidad.
• Optimizar procesos industriales.
• Predecir el comportamiento dinámico antes de la fabricación.
• Integrar sensores y actuadores en sistemas mecatrónicos.

Fundamentos Físicos del Movimiento Traslacional

El movimiento traslacional se estudia aplicando las Leyes de Newton y conceptos energéticos.

Primera Ley de Newton – Inercia

Un cuerpo en reposo o en movimiento rectilíneo uniforme mantendrá ese estado a menos que una fuerza neta actúe sobre él.
En el modelado, la masa mmm representa la medida de inercia.

Segunda Ley de Newton – Dinámica

La aceleración de un cuerpo es proporcional a la fuerza neta aplicada:

F = m\,a

Esta es la ecuación base para formular las ecuaciones diferenciales de un sistema traslacional.

Tercera Ley de Newton – Acción y Reacción

Toda fuerza ejercida por un cuerpo sobre otro genera una fuerza igual y opuesta.
En el modelado, esto es esencial para el Diagrama de Cuerpo Libre (DCL).

Energía en Sistemas Traslacionales

Un sistema mecánico de traslación puede almacenar y disipar energía:

• Energía cinética (masa):

T = \frac{1}{2} m\,\dot{x}^2

• Energía potencial (resorte):

V = \frac{1}{2} k\,x^2

• Energía disipada (amortiguador viscoso):

P_{\text{dis}} = b\,\dot{x}^2

Analogía financiera:

• Energía cinética = dinero en efectivo (movimiento actual).
• Energía potencial = cuenta de ahorros (energía almacenada).
• Disipación = gasto irrecuperable (calor por fricción).

Componentes Fundamentales del Modelo

Un sistema mecánico traslacional lineal se modela con tres elementos ideales:

Ecuación del Movimiento – Ejemplo 1

Usando un Diagrama de Cuerpo Libre (DCL) y aplicando la segunda ley de Newton:

\sum F = m\,\ddot{x}(t)

Las fuerzas que actúan son:

• Fuerza del resorte:

F_k = -k\,x(t)

• Fuerza del amortiguador:

F_b = -b\,\dot{x}(t)

• Fuerza externa:

F_{\text{ext}} = F(t)

Sustituyendo en la segunda ley de Newton:

m\,\ddot{x}(t) + b\,\dot{x}(t) + k\,x(t) = F(t)

Esta es la ecuación diferencial que describe el sistema.

Función de Transferencia

Aplicando la Transformada de Laplace (condiciones iniciales nulas):

(ms^2 + bs + k)X(s) = F(s)

\frac{X(s)}{F(s)} = \frac{1}{m s^2 + b s + k}

Modelo en Espacio de Estados

Definimos:

• desplazamiento
• velocidad
• Entrada
• Salida

Ecuaciones:

\dot{x}_1 = x_2

\dot{x}_2 = -\frac{k}{m}x_1 - \frac{b}{m}x_2 + \frac{1}{m}u

y = x_1

Forma matricial:

\dot{\mathbf{x}} =
\begin{bmatrix}
0 & 1 \\
-\frac{k}{m} & -\frac{b}{m}
\end{bmatrix}
\mathbf{x} +
\begin{bmatrix}
0 \\[2pt]
\frac{1}{m}
\end{bmatrix}
u

y =
\begin{bmatrix}
1 & 0
\end{bmatrix}
\mathbf{x} +
\begin{bmatrix}
0
\end{bmatrix}
u

Simulación

Ejemplo 2: Sistema Masa-Resorte (Traslacional)

En este ejemplo analizamos la dinámica de una masa M sujeta a un resorte de constante K. El desplazamiento se mide desde la posición de equilibrio estático, lo que permite omitir la fuerza de gravedad en el balance dinámico.

Modelado Dinámico

Aplicando la segunda ley de Newton y considerando que la única fuerza actuante es la del resorte (opuesta al movimiento), establecemos la ecuación diferencial del sistema:

\ddot{x}(t) + \frac{K}{M}x(t) = 0

Solución mediante Transformada de Laplace

Para resolver el sistema bajo las condiciones iniciales y , aplicamos la transformada de Laplace:

s^2X(s) - sx(0) - \dot{x}(0) + \frac{K}{M}X(s) = 0

Sustituyendo los valores iniciales y despejando la variable de interés:

X(s) = \frac{x_0s}{s^2 + \frac{K}{M}}

Finalmente, aplicando la transformada inversa, obtenemos la respuesta temporal:

x(t) = x_0 \cos \left( \sqrt{\frac{K}{M}} t \right)

Representación en Espacio de Estados

Para el análisis en variables de estado, definimos la posición como y la velocidad como . El sistema se representa matricialmente de la siguiente forma:

\begin{bmatrix} \dot{x}_1 \\ \dot{x}_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ -\frac{K}{M} & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \end{bmatrix}

y = \begin{bmatrix} 1 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \end{bmatrix}

Simulación

Modelado de un Sistema Traslacional con 3 Puntos de Análisis

En este ejercicio de modelado de sistemas mecánicos traslacionales, analizamos la dinámica de un sistema compuesto por una masa de 8 kg, un resorte de 2 N/m y dos amortiguadores (4 N-s/m y 2 N-s/m). La clave de este problema es identificar correctamente los puntos de desplazamiento para plantear los Diagramas de Cuerpo Libre (DCL).

Tal como desarrollamos en el video, definimos tres puntos de interés para capturar la dinámica completa, incluyendo el nodo sin inercia (Punto 2):

Punto 3 (): Desplazamiento de la masa de 8 kg.

Punto 1 (): Donde se aplica la fuerza de entrada .

Punto 2 (): Nodo de unión entre el resorte y el primer amortiguador (sin masa).

Para cerrar el ciclo de diseño, es fundamental validar que el modelo matemático coincide con el comportamiento dinámico real. En la sección final del video, realizamos una comparación entre la solución numérica de las EDO y la respuesta de la Función de Transferencia utilizando bloques de Simulink.

Simulación

Modelado de un Sistema Traslacional con Dos grados de Libertad

En este ejercicio de modelado de sistemas mecánicos traslacionales, analizamos la dinámica de un sistema compuesto por dos masas, la idea es poder obtener la ecuación diferencial que representa el sistema, y adicionalmente obtener su modelo en función de transferencia y en espacio de estados.

En el siguiente video aprenderemos como simular un sistema traslacional usando Matlab y Simulink. Tienes dos formas de simularlo con este software.

Simulación

Eso es todo por la entrada del dia de hoy, espero les haya gustado y hayan aprendido algo nuevo. Si te ha servido el contenido de esta entrada, de los videos y los códigos de implementación y deseas apoyar mi trabajo invitandome a un café super barato, puedes hacerlo en el siguiente link:

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Sergio A. Castaño Giraldo

¡Hola! Soy Sergio Andrés Castaño Giraldo. Bienvenidos a Control Automático Educación, un espacio dedicado a una de mis grandes pasiones: la Ingeniería de Control y la Automatización.

Mi objetivo aquí es tender un puente entre la teoría académica y la práctica profesional. Como profesor e investigador, he tenido la oportunidad de trabajar en proyectos complejos —desde sistemas de compresión en plataformas offshore hasta modelos de control avanzado— y todo ese aprendizaje lo vuelco en este sitio.

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