1. Concepto básico. Función de Transferencia

1. Concepto básico. Función de Transferencia
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En la teoría de control, el concepto de función de transferencia es algo que encontraras continuamente en varios textos y cursos que te dispongas a realizar. Y no es para menos, pues la función de transferencia es una herramienta importantísima que nos permitirá analizar cómo se comportará un determinado proceso, bien sea industrial o académico, a medida que el tiempo va pasando.

 

Pero comencemos despacio…

 

Sabemos que cuando nos encontramos en frente de algún proceso, sea cual sea, este proceso por lo general contará con actuadores y sensores. Los actuadores harán con que mis variables (presión, temperatura, nivel, humedad, velocidad, etc) comiencen a variar con el tiempo, mientras que los sensores se encargan de medir y mostrarme como dichas variables están cambiando con el tiempo.

 

Obviamente nosotros vamos a querer controlar estas variables del proceso, porque simplemente no vamos a dejar que estas variables evolucionen con el tiempo de la manera que ellas quieran. Por decir algo, si tenemos un horno, donde estamos cocinando galletas. No vamos a dejar que la variable temperatura suba a valores muy elevados, porque el resultado sería tener unas galletas totalmente quemadas. Es por eso que debemos controlar la temperatura para que esta se mantenga sobre una determinada zona y nos permita obtener una galletas perfectas!

 

Pero aquí llega el primer inconveniente. Para poder hacer los cálculos matemáticos de nuestros controladores, es de vital importancia, primero y antes que nada, conocer y entender cómo se comporta nuestro proceso. Y tenemos que hallar la forma de representar ese proceso que está en la industria en el Papel. Es decir encontrar alguna ecuación matemática que me permita modelar y simular el comportamiento real de mi proceso.

 

Ahí es donde tiene origen las funciones de transferencia. Si observamos los datos que nos entrega algún sensor de nuestro proceso, después de haber aplicado alguna perturbación (es decir después de prender los quemadores, después de abrir una válvula, etc) veremos que la variable comenzará a evolucionar en el tiempo hasta alcanzar otro estado donde se quedara estable, conocido en la literatura como el estado estacionario. Entonces de ese movimiento dinámico podemos clasificar el comportamiento del proceso en el tiempo de dos formas, como lo vemos en la siguiente figura:

Comportamiento Dinámico

En la zona dinámica el sistema va variando con el tiempo, y en la zona estacionaria, el sistema ya no depende más del tiempo, porque sin importar si el tiempo sigue creciendo, la variable se mantiene en el mismo valor.

Los físicos, matemáticos, químicos, necesitaban modelar los procesos industriales, es por eso que en base a estas respuestas dinámicas, se consiguen elaborar ecuaciones diferenciales que representan la evolución de las variables con el tiempo (Como ejemplo se muestra una ecuación diferencial de un reactor)

\dfrac{d(C_A)}{dt}=\dfrac{F}{V}(C_{Af}-C_A)-k_1C_A-K_3C_A^2
\dfrac{d(C_B)}{dt}=-\dfrac{F}{V}C_B+k_1C_A-K_2C_B

Ahora trabajar con este tipo de ecuaciones diferenciales puede llegar a ser un poco complicado, es por eso que aplicando el concepto de Tylor para linealizar aquellas ecuaciones diferenciales que fueran NO lineales y luego aplicando un herramienta conocida como la transformada de Laplace, podemos representar nuestro sistema que originalmente estaba en el tiempo en forma de ecuaciones diferenciales a representarlo en una nueva variable, llamada variable compleja “S” en forma de ecuaciones algebraicas.

 

Asi surgen nuestras funciones de transferencia, las cuales relacionan la salida del sistema sobre la entrada. De esa manera puedo yo saber cómo se comporta mi sistema de una forma matemática y puedo posteriormente hacer los cálculos para un controlador.

Función de Transferencia

Si analizamos, veremos que las funciones de transferencia se componen de un numerador que es un polinomio y un denominador, que también es un polinomio. Y como todo polinomio tiene raíces, aquí aparece otro concepto que debemos tener claro.

Cuando igualamos el polinomio del numerador a cero, vamos a obtener unas raíces que llamaremos como los “Ceros del Sistema” y haremos lo mismo con el polinomio del denominador, el cual igualaremos a cero y sus raíces se llamaran “Polos del Sistema

Plano Complejo S

Los ceros y polos pueden ser graficados en el plano complejo “S” y aquí podremos determinar si una función de transferencia es estable o inestable. Simplemente con mirar la ubicación de los Polos del Sistema. Si algún polo del sistema se encuentra ubicado en el semiplano derecho del plano “S”, automáticamente sabremos que el sistema es Inestable. Si encontramos algún cero en esta zona, nuestro sistema NO será inestable, apenas tendrá un determinado comportamiento en su respuesta dinámica que analizaremos más adelante.

Ejemplo

Ejemplo de Función de Transferencia

Ejercicios

Determinar los ceros y los polos de las siguientes funciones de transferencia y graficarlos en el plano complejo S, decir si el sistema es Estable o Inestable. La solución se muestra al final junto con el código en MATLAB para que aprendas desde ya a ingresar funciones de transferencia usando este software.

  1. G(s)=\dfrac{(s+1)(s-1)}{s(s+2)(s+10)}
  2. G(s)=\dfrac{s^2+2}{s^2-10s+8}
  3. G(s)=\dfrac{1}{(s+2)(s^2+10s+7)}
  4. G(s)=\dfrac{(s+1)}{(s+1)(10s+4)}

Solución

Para ver la solución de los ejercicios, junto con los códigos en matlab, debes compartir el contenido de este post, para que más personas se beneficien de esta información y también para contribuir con que este sitio web siga aportando más contenido gratuito.

Ejercicio 1

Ceros: s=1s=-1

Polos: s=0s=-2s=-10

plano s

tiene un polo en el origen s=0, por lo tanto es inestable.

Ejercicio 2

Ceros: s=-1.4142is=1.4142i

Polos: s=9.1231s=0.8769

plano s

Sistema inestable, pues tiene dos polos en el plano derecho

Ejercicio 3

Polos: s=-9.2426, s=-0.7574  y s=-2

Plano s

Sistema estable, pues todos sus polos están en el semiplano izquierdo

 

Ejercicio 3

Polos: s=-4/10

Plano s

Sistema estable, tiene un unico polo en el semiplano izquierdo. Notar que el cero de (s+1) del numerador se cancela con el polo (s+1) del denominador.

 

Código en Matlab:

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Esta entrada tiene 5 comentarios

  1. Muchas gracias! Dios te cuide!

  2. sergio ne en verdad que estas haciendo una labor supero educativa, creo que es la única pagina donde en verdad explican muy bien todo el control.

  3. Por algo digo que los ingenieros del poli son calidosos

  4. Hola Segio,… tus aportaciones son de gran utilidad para comprender mejor los tópicos de control, estaremos al pendiente de las siguientes… Saludos cordilaes.

    1. Gracias Francisco por el comentario. Saludos.

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