5.2 Estabilidad Interna

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5.2 Estabilidad Interna
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La condición de estabilidad interna esta asociada a como los estados se comportan a partir de la imposición de una condición inicial. Lo que quiere decir, para este análisis de estabilidad interna, se desconsidera la entrada del sistema y únicamente se analizan los estados cuando se parte de una condición inicial.

 

Recordando que el sistema que hemos venido trabajando se representa por:

\dot{x}=Ax+Bu, y=Cx+Du

y que una matriz de función de transferencia es calculada por:

G(s)=C(sI-A)^{-1}B+D=\dfrac{1}{det(sI-A)}CAdj(sI-A)B+D

 

Lo que demuestra que idealmente POLOS y AUTOVALORES son para ser idénticos idealmente, pues se evidencia que en la función de transferencia los polos están relacionados al determinante de la matriz A, lo que me permite obtener la ecuación característica de la matriz.

 

Solo que los autovalores y los polos NO son identicos cuando existen cancelamientos por la izquierda por la mariz C y por la derecha por la matriz B:

CAdj(sI-A)B y det(sI-A)

Esos modos cancelados no apareceran en G(s) y por lo tanto no van a influenciar en la estabilidad Entrada – Salida.

Consideremos el siguiente ejemplo

\dot{x}(t)=\begin{bmatrix}  1 & 0\\  0 & -1  \end{bmatrix}x(t)+\begin{bmatrix}  1 \\  1  \end{bmatrix}u(t)

y(t)=\begin{bmatrix}  0 & 1  \end{bmatrix}x(t)

Donde la función de transferencia es:

G(s)=\dfrac{1}{s+1}-> Sistema BIBO estable.

Observe que la función de transferencia es de orden uno y que el sistema tiene dos estados, entonces ciertamente aquí hubo un cancelamiento. Donde uno de los autovalores es -1 que es el que aparece en la función de transferencia, solo que hay otro autvalor que NO aparece en la representación entrada-salida.

Si fueramos a analizar la respesta de los estados con un escalón unitario tendriamos que:

x(t)=\begin{bmatrix}  e^{t}-1 \\  1-e^{-t}  \end{bmatrix}u(t)

el e^{t} del primer estado va para infinito por causa de su exponencial ser positivo. Solo que ese estado x_1(t) no aparece en la representación entrada-salida del sistema.
Entonces si fuéramos a analizar únicamente la función de transferencia del sistema, dicho sistema es ESTABLE, pero, se puede ver que este mismo sistema es internamente inestable.
La estabilidad interna intenta capturar la evolución de todos los estados a lo largo del tiempo.
Teorema:
Para tener estabilidad interna se debe cumplir que toda condición inicial la trayectoria de los estados x(t) tienden a cero cuando el tiempo tiende a infinito (Estabilidad asintomática).

Para una dada condición inicial x(0)=x_0, todos los estados deben asintoticamente converger para cero a medida que el tiempo tiende a infinito.

Como solo me tengo que preocupar con la respuesta de la condición inicial del sistema, es mucho más facil de calcular:

x(t)=e^{\mathbf{A}t}x_0

Donde el exponencial debe tender a cero cuando el tiempo va para infinito, para que sea asintoticamente estable. Y esto esta relacionado directamente con la respuesta al impulso del sistema.

Para analizar la estabilidad interna del sistema analizamos apenas la matriz A.

Suponiendo que la matriz A esta en la forma diagonal la respuesta en el tiempo para una condición inicial x(0) es dada por:

x(0)=\begin{bmatrix}  x_1(0) \\\vdots \\  x_n(0)  \end{bmatrix}\rightarrow x(t)=\begin{bmatrix}  x_1(0)e^{\lambda_1t} \\\vdots \\  x_n(0)e^{\lambda_nt}  \end{bmatrix}

Todos los estados del sistema van a tender para cero cuando el tiempo tiende para infinito si y solamente si la parte real de los autovalores es negativa.

EJEMPLO.

Si retomamos el caso del ejemplo de la entrada de Estabilidad Entrada – Salida, teníamos que:

\dot{x}(t)=\begin{bmatrix}  -2 & 0\\  0 & 5  \end{bmatrix}x(t)+\begin{bmatrix}  1 \\  0  \end{bmatrix}u(t)

y(t)=\begin{bmatrix}  -0.1 & 4  \end{bmatrix}x(t)

Donde la función de transferencia es:

G(s)=C(sI-A)^{-1}B=\dfrac{-0.1}{s+2}\rightarrow Sistema BIBO Estable.

Como se evidencia en la función de transferencia, el sistema es BIBO Estable visto del punto de vista Entrada-Salida, pero también notamos que el sistema es de dos estados y que la función de transferencia es de orden uno, lo que nos indica que hubo un cancelamiento de uno de los autovalores.

Analicemos entonces la estabilidad interna del sistema, si consideremos la siguiente condición inicial x(0)=[1,1]'

De esa forma la respuesta en el tiempo para la condición inicial x(0) es dada por

x(t)=\begin{bmatrix}  1e^{-2t} \\  1e^{5t}  \end{bmatrix}

Aqui se puede apreciar que el sistema es INTERNAMENTE INESTABLE, porque el estado x_2 se vá para el infinito cuando el tiempo es infinito.

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SISTEMAS DISCRETOS

Para sistemas discretos tenemos que un sistema representado por:

x[k+1]=Ax[k]+Bu[k]

Donde para analizar la estabilidad interna del sistema, únicamente se considera la respuesta al estado cero

x[k+1]=Ax[k]

Suponiendo que la matriz A esta en la forma diagonal la respuesta en el tiempo para una condición inicial x(0) es dada por

x(0)=\begin{bmatrix}  x_1(0) \\\vdots \\  x_n(0)  \end{bmatrix}\rightarrow x(k)=\begin{bmatrix}  x_1(0)\lambda_1^k \\\vdots \\  x_n(0)\lambda_n^k  \end{bmatrix}

Para el caso discreto todos los módulos de los autovalores tienen que ser menor que uno.

EJEMPLO

Determinar la estabilidad asintotica del siguiente sistema

x[k+1]=\begin{bmatrix}  0 & 1\\  -0.45 & 1.40  \end{bmatrix}x[k]

Como voy analizar la estabilidad interna, no me interesa la salida, únicamente me interesa la matriz dinámica A.

La ecuación característica:

det(\lambda I-A)=0

\lambda^2-1.4\lambda+0.45=0\rightarrow (\lambda-0.9)(\lambda-0.5)=0

Entonces es un sistema es internamente Estable, porque los autovalores son de modulo menor que uno. Lo que quiere decir que si yo aplico cualquier condición inicial, al momento en que k tienda a infinito todo va para cero.

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