5.1 Estabilidad Entrada – Salida

5.1 Estabilidad Entrada – Salida

5.1 Estabilidad Entrada – Salida
CALIFICA EL POST

Los sistemas dinámicos son proyectados para realizar determinado tipo de tareas o para procesar una determinada señal.

 

Pero debemos entender que si un sistema dinámico no es estable, este no podrá desempeñar su función cuando una determinada señal de entrada es aplicada al sistema.

Por lo tanto en la práctica un sistema dinámico debe operar siempre en una región de estabilidad.

 

Esta definición de estabilidad se realiza con base en la representación matemática usada:

  • Estabilidad Entrada-Salida
  • Estabilidad Interna.

Ya habíamos visto que la respuesta en el tiempo de los estados de un sistema LTI podia dividirse en dos partes:

x(t)=x_{zi}(t)+x_{zs}(t)

Donde x_{zi}(t) es conocida como respuesta a la entrada cero y x_{zs}(t) como respuesta al estado cero.

Y que para un sistema con la forma de \dot{x}=Ax+Bu, y=Cx+Du la respuesta de los estados:

x_{zi}(t)=e^{\mathbf{A}t}x(0) y x_{zs}(t)=\int_{0}^{t}e^{\mathbf{A}(t-\tau)}Bu(\tau)d\tau

La estabilidad del punto de vista entrada salida considera la respuesta al estado zero, ejemplo x(0)=0

y(t)=C\int_{0}^{t}e^{\mathbf{A}(t-\tau)}Bu(\tau)d\tau+Du(t)

Estabilidad Entrada Salida

Una entrada u(t) limitada implica en que la salida y(t) es limitada (bounded-input bounded-output BIBO estable)

El analisis de estabilidad BIBO puede ser analizado utilizando la respuesta al impulso

y(t)=\int_{0}^{t}g(t-\tau)u(\tau)d\tau

donde g(t) es la respuesta al impulso del sistema.

Teorema

Un sistema SISO es BIBO estable si y solamente si g(t) es absolutamente integrable en el intervalo de [0,\infty)

\int_{0}^{\infty}|g(t)|dt\leq M<\infty

Supongamos que la siguiente figura representa la respuesta del impulso del sistema:

Respuesta al impulso

Basta integrar desde cero a t del modulo del sistema

Respuesta al impulso

Al integrar, se puede apreciar que el sistema evidentemente es un sistema estable, pues el area de la curva es un area finita y limitada. Esto nos dice que de forma general, un sistema con una entrada impulso debe de tender para cero en el tiempo.

 

Si el sistema no va para cero al momento de hacer la integral va a dar ilimitada.

 

EJEMPLO 1

Considere el siguiente sistema Lineal

\dot{x}(t)=\begin{bmatrix}  -2 & 0\\  0 & -5  \end{bmatrix}x(t)+\begin{bmatrix}  1 \\  3  \end{bmatrix}u(t)

y(t)=\begin{bmatrix}  -0.1 & 4  \end{bmatrix}x(t)

y(t)=\begin{bmatrix}  -0.1 & 4  \end{bmatrix}  \begin{bmatrix}  \int_{0}^{t}e^{-2(t-\tau)}u(\tau)d\tau\\  \int_{0}^{t}e^{-5(t-\tau)}3u(\tau)d\tau  \end{bmatrix}

Para u(t)=1 se obtiene que y(t)=-0.05e^{-2t}(e^{2t}-1)+2.4e^{-5t}(e^{5t}-1)

Sistema estable, pues con una entrada limitada se tiene una salida limitada.

 

EJEMPLO 2

Considere el siguiente sistema Lineal

\dot{x}(t)=\begin{bmatrix}  -2 & 0\\  0 & 5  \end{bmatrix}x(t)+\begin{bmatrix}  1 \\  0  \end{bmatrix}u(t)

y(t)=\begin{bmatrix}  -0.1 & 4  \end{bmatrix}x(t)

y(t)=\begin{bmatrix}  -0.1 & 4  \end{bmatrix}  \begin{bmatrix}  \int_{0}^{t}e^{-2(t-\tau)}u(\tau)d\tau\\  \int_{0}^{t}e^{5(t-\tau)}0u(\tau)d\tau  \end{bmatrix}

Para u(t)=1 se obtiene que y(t)=-0.05e^{-2t}(e^{2t}-1). Este sistema es estable a pesar de que tenga un autovalor positivo. El estado de X2 va para infinito, solo que ese estado no aparece en la salida. En este caso se va a apreciar la DIFERENCIA que existe entre el concepto de estabilidad ENTRADA-SALIDA y el concepto de Estabilidad Interna.

Una de las ventajas de representar un sistema por variables de estado es que podemos tener todos los modos dinámicos del sistema inclusive aquellos que no tienen influencia en la salida.

 

Utilizando la transformada de Laplace podemos llegar a un teste de estabilidad BIBO facil

Si g(s)=L(g(t)) entonces

 

g(s)=\sum_{i=1}^{m}\frac{1}{(s-p_i)} +\sum_{i=n-m}^{n}\frac{b_i(s+\alpha_i)+c_i\beta_i}{(s+\alpha_i)^2+\beta_i^2}

Aplicando L^{-1}(g(s)u(s))

 

y(t)\approx\sum_{i=1}^{m}a_ie^{p_it}+\sum_{i=n-m}^{n}e^{\alpha_it}(c_isen(\beta_it)+b_icos(\beta_it))

Por lo tanto el sistema es BIBO estable si y solamente si todos los polos de g(s) tienen parte real negativa.

 

Para sistemas MIMO

  • Un sistema MIMO con respuesta al impulso G(t)=[g_{ij}(t)] es BIBO estable si y solamente si cada elemento [g_{ij}(t) es absolutamente integrable en el intervalo de [0,\infty)
  •  Un sistema MIMO con una matriz de función de transferencia propia G(s)=[g_{ij}(s)] es BIBO estable si y solamente si los polos de cada elemento g_{ij}(s) tienen parte real negativa.

Para sistemas Discretos

Para sistemas discretos la estabilidad entrada salida es caracterizada por la respuesta al impulso discreta.

y[k]=\sum_{m=0}^{k}g[k-m]u[m]

Una secuencia de entrada se dice que es limitada si

u[k]:|u[k]|\leq u_m<\infty,k=0,1,2,...

Un sistema discreto LTI es BIBO estable si toda secuencia de entrada limitada genera una secuancia de salida limitada (considerando condiciones iniciales nulas)

Un sistema discreto LTI con respuesta al impulso g[k] es BIBO estable si y solamente si g[k] es absolutamente sumable en el intervalo de [0,\infty).

\sum_{k=0}^{\infty}|g[k]|\leq M<\infty

utilizando el concepto de transformada Z podemos facilmente verificar la estabilidad BIBO de un sistema discreto.

Recordemos que:

y(z)=Z(g[k]u[k])\approx \sum_{j=1}^{n}\dfrac{1}{z-p_i}

aplicando Z^{-1}(y(z))

y[k]\approx \sum_{j=1}^{n}p_i^k

Por lo tanto esa secuencia es sumable si todos los polos de g(z) tienen un modulo menor que 1.

Para sistemas Discretos MIMO

  1. un sistema multivariable discreto con respuesta al impulso G[k]=[g_{ij}[k]] es BIBO estable si y solamente si cada elemento [g_{ij}[k] es absolutamente sumable en el intervalo de [0,\infty)
  2. Un sistema MIMO con una matriz de función de transferencia propia G(z)=[g_{ij}(z)] es BIBO estable si y solamente si los polos de cada elemento g_{ij}(z) tienen modulo menor que uno.

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